В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 72
Текст из файла (страница 72)
4 Доказательство утверждения 5 проводится дословно так же, как и рассмотренное в гл. ХП, 2 3, п. 2 доказательство анапа. гичного утверждения 2 для поверхностей, лежащих в (к". ~ О и р е д е л е н и е 17. Если А (М) =1(Н", фь (7д) () ((Р', ф~, 0~) ~ — ориентирующий многообразие М атлас, то А (дМ) = =((Р ',ф; ~ен я -м д(7;)) есть ориентирующий атлас края дМ многообразия М.
Задаваемая этим атласом ориентация края называется ориентацией края, согласованной с ориентацией многообразия. Важные и часто используемые на практике способы задания ориентации лежащей в (ч" поверхности и согласованной ориентации ее края подробно описаны. в Я 2, 3 гл. ХП. 4. Разбиение единицы и реализация многообразий в виде поверхностей в Р. Здесь будет изложена одна специальная конструкция, называемая в математике разбиением единицы. Эта 11» 324 ГФ ХЧ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 4 2.
МНОГООБРАЗИЕ х конструкция часто бывает основным приемом сведения глобальных вопросов к локальным. В дальнейшем мы продемонстрируем это при выводе формулы Стокса на многообразии, а здесь используем разбиение единицы для пояснения возможности реализации любого многообразия в виде некоторой поверхности в пространстве !Хр достаточно большой размерности и. Лемма.
На м ложно построить функцию )ЕЕСс '(«х, «х) такую, что 1(х) =0 'при (х()3, !(х)= — 1 при (х((1 и 0< < ! (х) < 1 при 1 < ! х ( < 3. 4 Проведем построение одной такой функции, исходя из знас комой нам функции д(х)=~ е *НРИ хт-О В свое время (см. 10 при Х=О. часть 1, стр. 232) мы проверили, что д ~ Сс 'с(Р, Я), показав, что дсес(0)=0 при любом значении а ~14. В таком случае неотрицательная функция е с" — '1 *.е — ы+сс ' при (х!<1, 6(х)= ' 0 при !х!)! также принадлежит классу Сс 1(Р, Р), а вместе с нею и функция Р( ) = ~ 6(!)д!/ ~ 6(!)б( принадлежит этому классу, поскольку г'(х)=6(х)( ~ 6(!)й. Функция Р строго возрастает на промежутке [ — 1, 1], с''(х) — = .
=0 при х--.— 1 и Г (х) =1 при х)1. В качестве искомой функции можно теперь взять 1(х) = — (Р(х+2)+Р( — х —.2)) 6' За меч'ание. Если 1: Р-~Р— построенная в дока ательстве леммы функция, то определенная в Р" функция 9 (х1 хр) с (х1 а1) .. с (хр ар) такова, что 8 ЕЕСс"'(кр, Я), 0<9(х)<! в любой точке хенР, 6(х) — 1 на промежутке У(а) =«х ~ ЯИхс — ас(<1, 1=1, .„, п) и носитель (знрр 9) функции 9 содержится в промежутке 3(а) = = «х е= ~ ! (хс — а' , '=. 3, с = 1, ..., и). Определение 13.
Пусть М вЂ” 'многообразие класса гладкости ССРС, а Х вЂ” подмножество М. Говорят, что система Е = = «ес„и ~ А) функций е„я Сри (М, «х) является Ьгладкил разбиением единицы на множестве Х, если 1' О~си(х) <1 для любои Функции еи ев Е и любого х я М; 2' каждая точка хенХ обладает такой окрестностью У(х) в М, что только конечное число функций системы Е отлично от. тождественного нуля на У(х); 3' ~ еч(х) 1 на Х. е, ее Заметим, что в силу условия 2' при любом х ~ Х в послед. ней сумме лишь конечное число слагаемых отлично от нуля. Оп редел.ение 19.
Пусть са «оа, «) Г В) — открытое покрытие множества Х ~ М. Говорят, что рпзбиение единицы Е = «е„, а а= А) на Х подчинено покрытию ссе, если носитель любой функции из системы Е содержится по крайней мере в одном из множеств системы Ю. Утверждение 6. Пусть «(Ус, ср;), 1 =1, ..., т) — конечный набор карт некоторого Ьгладкого атласа многообразия М, районы У„с'=1, ..., т, дейспиия которых образуют покрытие компакта сер" ~ М. Тогда на еФ" существует разбиение единицы класса Ссь', подчиненное покрытию «У,; 1= 1„..., т). Для любой точки хр ев рФ проведем сначала следующее построение. Берем последовательно область Уи содержащую хр соответствующую карту срй Р' (Н') -е- Ус, точку !р = фс ' (х,) ен ен «д'(Н"), функцию 9 (! — !р) (где 6 (!) указанная в замечании' к лемме функция) и сужение 91, функции 8(! — !р) на область параметров карты срс.
Пусть !с, — пересечение единичного куба с центром !р е= Гсв и области параметров карты фь Реально 91, отличается.от 9(! — !р), а 11, от соответствующего единичного куба, только когда областью параметров карты фс является полупространство Н". Открытые в М множества фс(!с), построенные по каждой точке х~ееь и соответствующей ей точке (=фс'(х) для всех допустимых значений 1=1, 2, ..., т, в совокупности образуют открытое покрытие компакта еФ". Пусть «69 (11), 1=1, 2, ...„!)-извлеченное ИЗ НЕГО КОНЕЧНОЕ ПОКрЫтИЕ КОМПаКта еФ'. ОЧЕВИДНО, 191 (11 ) ~ УС .
с Определим на У, функцию 8,(х)=9с срс.'(х). Распространим 61(х) с с на все многообразие М, полагая функцию равной нулю вне Ус., Сохраним за этой распространенной на М функцией прежнее обозначение .6р По построению 9с я Ссьс (М, Я), зпрр 61 с Ус, 0<8с(х) =.1 на М и 6~(х) =1 на срс (Ус ) с Ус.. Тогда функции е, (х) = 61 (х), е, (х) = 6, (х) (1 — 6„(х)), ...ес(х) = 61 (х) (1 — 9с-1 (х)) ... (1 — 61(х)) составят искомое разбиение единицьс. Проверим с лишь, что Я ес(х) — 1 иа Фй', поскольку остальным требованиям с= с к разбиению единицы иа Ю, подчиненному покрытию «Ус,, Ус,)с=«Ус, 1 1, ..., т) компакта рер, система функций 326 г .
хч. интнгнировкнии диннинннцилльных норм (е,, ..., ег), очевидно, удовлетворяет. Но 1 — ~Ч, 'еу(х) =(1 — 6,(х)) ... (1 — 6,(х)) =О на Ю, /=1 поскольку каждая точка хен Л' покрыта некоторым множеством ф (11 ), на котором соответствующая функция 6, тождественно О равна единице.
3 Следствие ! . Если !( — компактное многообразие и А — атлас класса С!а! на М, пю на М существует конечное. разбиение единицы (е„..., ег), подчиненное покрытию многообразия районами действия карт атласа А. 4 Поскольку М вЂ” компакт, атлас А можно считать конечным. Теперь мы оказываемся в условиях утверждения б, если положить в нем йь =М. , Следс та не 2. Для любого лежаи!его на многообразии М компакта Ю и любого содержащего Ю открьппого множества 6 с- М существует функция 7': М -ь (с класса гладкосгии многообразия М гпакая, что 1(х) =— 1 на Ю и зпрр)'с: 6.
м Покроем каждую точку хенел" окрестностью (/(х), лежащей в 6 и в пределах района действия некоторой карты многообразия М. Из открытого покрытия ((/(х), х них!') компакта Ю извлекаем конечное покрытие и строим подчиненное ему разбиение единицы (е„..., ег) иа Ю.
Функция 1= У, 'е1 будет 1 1, искомой. Ь Следствие 3. Каждое (абстрактно заданное) компактное гладкое и-мерное многообразие М диффеоморфно некоторой компактной гладкой поверхности, лежащей в пространстве Ян достаточно большой размерности 1у'. 4 Чтобы не осложнять идею доказательства несущественными деталями, проведем его для случая компактного многообразия М .
без края. В этом случае на М есть гладкий конечный атлас А =(дй 1- (11, 1'=1, ..., т), где 1 — открытый и-мерный куб в (ск. Подберем чуть меньший куб 1' такой, что 1'с:1, а мно-: жества ((7,'=ф1(1'), 1=1, ..., т) все еще образуют покрытие М.
Полагая в следствии 2 Л'=1', 6=1, М=Яг, построим функцию ) я С'"'(Р, Р) такую, что ((1) =— ! при 1еи1' и зпрр(с1. Рассмотрим теперь координатные функции !11 (х), ..., 1," (х) отображений 1р1'! 01 — 1, 1'=1, .;., т, и введем с их помощью ка М следующие функции: ( ).ф;)(х).(гг(х) прн х иь уг (х) = О при хед(/1, 1 = 1, ..., т; (г = 1, ..., и. 327 4 к многоонркзнв В любой точке х еэ М ранг отображения М:-э х у(х) = = (у,'...
у",, ..., у„', ..., у,"„)(х) вил'к максима)уен и равен и. .Действительно, если хен(/1, то ф11(х) =1я1', 1 ° 1р,— '(х) =1 н уа(1р;(1))=1ь, й= 1, ..., п. Если, наконец, рассмотреть отображение М =э х У (х) = =(у(х), 1 1р!'(х), ..., ! 1р '(х))еи(с '"", полагая 1 ° 1р (х)=О вне 01, 1'= 1, ..., т, то это отображение, с одной стороны, очевидно, будет иметь тот же ранг и, что и отображение х у(х), а с другой стороны, будет заведомо взаимно однозначным отображением М на образ М в (с " ". Проверим последнее утверждение. Пусть р, д — различные точки М.
Найдем область (1; из системы (1'„1=1, ..., и), покрывающей М, которая содержит точку р. огда 1 1р!'(р)=1. Если !' р,'(д).(1, то уже 1'(р) ФУ(д). Если же 1 фг' (д) = 1, то р, д ~ (7„уг1 (р) = (г (р), уа1 (д) = (а (д) и й (р) Ф чй11 (д) хотя бы для одного значения й~(1, ..., п). Тв есть и . в этом случае У (р) чь У(д). м По поводу общей теоремы Уитни о реализации произвольного многообразия в виде поверхности в (ск читатель может обратиться к специальной геометрической литературе. Задачи н упражнения 1.
Проверьте, что вводимый определением ! объект (многообразие) не нзменнтся, если потребовать лишь, чтобы каждая точка х 1м М имела окрест. ность У (х) ~ М. гомеоморфную открытому подмножеству нолунространсгза Нк 2. Покажите, что а) многообразне о!.(и, Р) нз примера 6 некомпактно, я имеет точно дзе связные компоненты; Ь) многообразие 50(п, Р) (см, пример 7) связно; с) многообразие О (и, Р) компактно н нмеег точно дае связные компоненты 3. Пусть (М, А) н (М, А) — многообразяя с заданнымн на ннх гладкнмн сгруктурамн одной н той же степени гладкости С'"', Гладкие многообразия (М, А), (М, А) (гладкиг структуры) считаются изоморфными, если существует такое отображение 1: М-ь М класса С'г', которое имеет обратное отображенне 1-1; М-ь М того же класса гладкости С'г' а атласах А, А. а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
