В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Р с. Покажите, что если пУти Уь т, касаютсЯ в точке РаМ, а /ла ли Сп' (М, П), то й/ Тл й/ Уз. — (о) = ' ! (о) . й! йг б. Покажите, как каждому вектору $ га ТМ сопоставляется функционал !=13(=РЬ): С"."(М, Р)- П, обладающий свойствами (8), (9), где хг=р. Обладающий этими свойствами функционал назовем дифференцированием в точке р М. Проверьте, что дифференцирование ! в точке р есть локальная операция, т, е. если /ь /г еа С"" (М, П) н /,(х) Гв /,(х) в некоторой окрестности точки р, !/1 — 1/г. е.
Покажите, что если хл, ..., х"-локальные координаты в окрестности д' д точки р, то != У (1х,) †:, где †. — операция вычисления частной произ. ' дх' ' дхг 1=1 водной по хл в точке х, отвечающей точке р. (Указание. Запишите функцию /111 )1М-ч.)й в локальных координатах; всполшнте, что для функции й 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 341 У ч /га Сох" (Пч, )с) имеет место разложение /(х)=/(О)+ ~ х191(х), где йч еа 1=1 ха С" ($~ч, П) и йг(0) = —,(0), 1=1, °, л ) д/ 1. Проверьте, что если М вЂ” многообразие нласса С'о", то линейное про- странство дифференцирований в точке Р ш М нзоморфно построенному в и. 1 настоян!его параграфа пространству ТМр. касательному к М в точке р.
2. а, Если в каждой точке р ш М гладкого многообразия М фиксирован вектор Цр) ла ТМр, то говорят, что яо многообразии М задано векторное лоле. Пусть Х вЂ” векторное поле на М. Поскольку а силу предыдущей задачи любой вентор Х (р) =$ ш ТМР можно интерпретировать как дифференцирование в соответствующей точке р, то по любой, функции / ла С'хч' (М, (с) можно по- строить фуницию Х(р), значение которой в любой точке ршМ вычасляется применением Х (р) к /, т.
е. диф3юренцировааием / по вектору Х (р) поля Х. Поле Х на М называется гладким (класса С' "), если для любой функции /ла еа Сиш (я, )х) функция Х/ тоже принадлежит классу С'о" (М, П). Дайте локальную координатную запись векторного поля и эквивалентное приведенному, но ноординатное определеаие гладкого (класса С"") векторного пбдя на гладком многообразии. Ь.
Пусть Х и У вЂ д гладких векторных поля на многообразии М. Для функций /ш С<' ' (М, Щ построим следующий функционал: (Х, У1/:= Х (!'/)— — У(Х/), Проверьте, «то (Х, У) — тоже гладкое векторное поле на М. Оно называется скобкой Пуассона ггкторных лелей Х я У. с. Наделите гладнне векторные поля на миогообразяи структурой алгеб- .ры Ли. 3. а. Пусть Х и а — 'гладкое векторное поле и гладкая 11форма иа глад.
ком многообразии М. Пусть ФХ означает применение ю н вектору поля Х в соответствующих точках многообразия М. Покажите, что юХ вЂ” гладкэя функ- ция на М, Ь. Учитывая задачу 2, покюкнте, что имеет место следующее соотношение: , йал(Х, У)=Х (ылУ) — У (ол'Х) — а'((Х, У)), где Х, У вЂ” гладкяе векторные поля, йы' — дифференциал формы юл, йа' (Х, У)— пряменеине йа' к парам связанных с одной точной векторов полей Х, У.
с. Проверьте. что в общем случае формы е порядка и справедливо соотвошенне т -1-1 йе (Хл, ..., Хм+О= ~1 ( — 1)гм Х;а (Хл, ..., Х1, ..., Хмлл) + 1= 1 ° + ~'~ ( — 1)1+та ((хь хг), хь ° ., хг, . °, хл "., хмлл), 1~1</~а+1 где символ отмечает выпускаемый член, (ХЬ Х.)-скобна Пуассона полей Х1, Хг, а Х;а — дифференцирование функции ы(ХЬ ..., Х1, ..., Хмы) по векторам поля Хь Поскольку скобка Пуассона определена инвариантно, то ,,:полученное соотношение можно расценить как довольно сложное, но инварн. антное определение, оператора й: () †ь () внешнего дифференцирования.
й. Пусть а †гладк ш-форма на гладком л-мерном многообразии 'М. Пусть (й„..., 3,„)1 — векторы в ь!л, отвечающие в карте фп )сг — ь П ш М вен'„'торам 3„.:., 3„, ш ТМР. Обозначим через П, образованный векторами (9„... , ° -, Ем)1 В Пя ПараЛЛЕЛЕПИПЕд, И ПуСтЬ АП1 — ПараЛЛЕЛЕПИПЕд, НатяНутЫй На менторы (Азл, ..., Х$,„)ь Образы 1р(П1), ф(АП1) ЭТИХ параллелеПИПеДОв в М 1вбозиачим через П и )лП соответственно. Пока!ките, что ! йю(р)(ял, ..., 9 ы)=!пп — ~ а.
д 1ЬП! Гл. ХЧ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 4 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 343 4. а. Пусть 1 М -г У вЂ” гладкое отображение гладкого т-мерного многооб- разна М в гладкое и-мерное многообразис А' Используя интерпретацию наса- тельного вектора к многообразисо как пучка касающихся путей (см задачу 1), постройте индуцируемое отображением С ,>тобоажгнис с (р) ТМ -+ ТУ р С Срс' Ь. Покан(ите, что отображение ) линейно и тапи(ссите его в соответствую- щих локальных координатах многообразий М и У Объясните, почему 1, (р) НаЗЫВаЮт доффЕрЕНцваЛОМ Отабражсиня 1 Е ТОЧКЕ П ИЛИ атебпажЕНИЕМ, КаСа- тельным к С в этой точке с.
Касательное отображение ), (р); ТМР -ь ТУе с,р, касательных прост- ранств, нак известно из 4 1, порождает сопряженное отображение (" (р) сопря- женных пространств и вообще определенных на ТУ(,, и ТМ пространств й-форм. 1 ~рс. р !(усть е — й-форма на У; й-форма !'е на М опредспяется соотношением ()'е) (р) (4(, " йа)1= е (! (р)) ()чй ° " ',йа), где $„..., ~ ш ТМр. Так возникает отображение )ь; Ие(У) — Иа(М) про.
странства И (У) заданных на У й-форм в пространство Иа(М) й-форм на М. Проверьте, следующие свойства отображения )». считая М и У многообра- зиями класса гладносгн С'"' 1' (* — линейное отображение; 2' )ь(ан Л е,)=!"е, Л Ф'сае 3' д С' С* д, т. е д(7ье)=С'(с(е); 4 (И. 1~)* )7.)е Пусть М и У вЂ” гладкие и-мерные ориентированные многообразия, а ср: М -» У вЂ” диффеоморфизм М на У.
Покажите, что если е-и-форма на У с компактным носителем, то Е =в ) (Р'Е, Е(М( М где е= 1, если ср сохраняет ориентапию, — 1, если ср меняет ориентацию е. Пусть А ~ В. Отображение й В'-» А, которое наждой точке х ез В ста вит в соответствие ее же как точку множества А называют каноническим эло. жеиием В е А Если е †фор на многообразии М, а М' — подмногообразие М, то кано. ническое вложение й М'-ь М порождает на М' форму (че, которую называют сужением или ограничением формы е на М'. Покажите, что правильная ааоись формулы Стокса (18) должна иметь вид 1 ('е, М дМ где П: дМ ь М вЂ каноническ вложение дМ в М, а ориентация на дМ бе- рется согласованной с ориентацией М. ' б.
а. Пусть М вЂ гладк (С'"') ориентируемое п-мерное многообразие, а И,"(М) †пространст гладких (С'"') и-форм с компактным носителем на М. Покажите, что существует и притом единственное отображение )1 И"(М)- с м обладающее следующими свойствами. 1' отображение ~ линейно; М 2' если (р; (и (!ч) -ь (С ~ М вЂ” карта задающего ориентацию М атласа, апрр е ш 4( и в локальных координатах х(, ..., х" этой карты е =а, (х) дх( Л ... ..Лдхи, то ')е= ~ а(х)дх'...с(хи, га (Т«! где справа стоит интеграл Римана от функции и по соответствующему кубу !л (Тп) Ь Всегда лн указанное выше отображение можно продолжить до обладающего теми же свойствами отображения ~: И" (М) -+(2 пространства И" (М) М всех гладких и-форм на М? с.
Используя то, что в любое открытое покрытие многообразия М можит вписать не более чем счетное лонально конечное покрыти~ М и то. что для любого такого покрытия на М существует подчиненное э~ому покрытию разбиение единицы (см. задачу 9 из 4 2), определите интеграл от и-формы по ориентированному гладкому и-мерному (не обязательно компактному) многообразию так, чтобы он обладал указанными выше свойствами !', 2' примени'тельно к формам, для которых интеграл конечен.
Покажите, что для этого интеграла формула (18Ь вообще говоря, ие имеет места; и дайте условия на е, достаточные для справедливости формулы (!8) в случае, когда М =Пи. и в слу. чаю когда М=У". 8. а. Используя теорему существования и единственности решения дифференциального уравнения х=о(х), а также гладкую зависимость решения от начальных ((аннах, покажите, что гладкое векторное поле о(х) в Ия можно рассматривать кан поле скоростей установившегося течения. Точцее, покажите, что существует такое гладко зависящее оп параметра (времени) ! семейство диффеоморфизмов Фр Ии-ьИи, что Фс(х) прн фиксированном значении хсе(;м ЯвлЯетсЯ интегРальной кРивой нашего УРавнении, т е — =о(фс(х)), пРидф» (х) д! ЧЕМ срз (Х) =Х ОтОбражЕНИЕ ср(.
'Р" -ь И", ОЧЕВНдиа, ХараКтЕрвэуЕт. ПЕРЕМЕщсинс частиц среды эа время ' Проверьте, что семейство отображений фс. И" -ь И" является однопараметпической группой диффеоморфизмов, т. е, (фс) я=ф с, (Р(,'фс, =(Р(,+1,. Ь. Пусть о †векторн поле Ия, а 4(1 — однопараметрическая группа диффеоморфизмов Ич, порожденная полем о. Проверьте, что для любой гладкой функции )ш С("((И", И) имеет место соотношение 1 1пп — (1 ((р, (х)) — 1 (х)) = Ве схс).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
