В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 68
Текст из файла (страница 68)
х'а. (1) Таким образом, после задания базиса в Х, й-форму Ра1 Ха-» '»»м можно отождествить с набором определяющих ее чисел ;а>,„1 =г"а(е;,',,, е1„). ;1 Если е,, ..., е,— другой базис в Х и В;,, 1 =ра(ей, ..., ег„), „:ааз, полагая еу=о,'е„)=1, ..., л, находим (тензорный) закон а1 1 =ра1'о'>е>, ..., о'.ае> )=аг .,1 о" ... с'.а . (2) „уареобразования числовых наборов а1,.;„, ай , >а, отвечающих 1с)ханой и той же форме га. ;"." Множество У':= (Ра1 Ха-»(с) й-форм на линейном . прост:-Ранстве Х само является линейным пространством относительно й(етандартных операций (р", + р,")(х):= р," (х)+ р,'(х), (з) ()ьра) (х): = )>рь (х) (4) ':вложения й-форм и умножения й-формы на число.
Для форм Ра, Р> произвольных степеней й и 1'определяется следующая операция (х) их тензорного проиоеедения1 -(Р."врн „....", "„, ",",):= =)оа(х>, ...,'ха)Р>(ха+>, ° ° ., ха+>). (5) ЗОЕ Гл, хч. НИГБГРНРОВАние диФФеРенцилльных ФОРМ Е !. АЛГЕБРА ФОРМ 307 Таким образом, Р»ЯР! является формой Р»+' степени й+1. Очевидны соотношения: (6) (7) (6) (9) (ХР») Я Рс = ).(Р» Я Р'), ' (Р,'+Р,') ЯР'=Р'ЯР'+ Р, "ЯР', Р" Я(Р,'+Р,') =Р'ЯР,'+Р" ЯР„' (Р»ЯРс) ЯР-=Р»Я(Р'ЯР.). Итак, множество Р'=( У») форм на линейном пространстве Х относительно введенных операций является градуированной алгеб! рой У = О+ Р», в которой линейные операции выполняются в пределах каждого входящего в прямую сумму пространства Р», и если Р» ее,р»„Рс ен Р', то Р» 3 Р' ен Р»+с.
П р и м е р 1. Пусть Х' — сопряженное к 'Х пространство (состоящее из линейных функций на Х) и е', ..., е" — базис в ХФ, взаимный с базисом е„..., е„в Х, т. е. е'(ес)=бс. Поскольку ес(х)=ес(ХСес)=хсес(ес)=хсб';=хс, то, учитывая (1! и (9), любую деформу Р": Х-с-Р можно записать в виде (10) Р»= а! „; е' Я ... Яе».
Из любой формы Р»ен к» можно получить кососимметрическую форму с помощью операции А:,T»-с-й».альпсернирования форм, определяемой соотношением АР»(хм "., х»):=-„-,Р»(х;,, ..., Хс,)б!1 ",'», (11) где 1, если подстановка ( ! "' с четная, СС1 " С»'1 — 1, если подстановка ! ! "' ) нечетная, О, если ! '" ! — не подстановка. гсс "!»'1 б'1." '»= 1 ... » Если Р» — кососимметрическая форма, то, как видно из (11), АР»= Р». Таким образом, А(АР") =АР» н Ав= в, если со е=-й». Значит, Ас ФР»-3-03 является отображением,У' на 11». 2. Алгебра кососимметрических форм. Рассмотрим теперь в Р» подпространство Й» кососимметрических й-форм, т.
е. в ен»с», если для любых различных индексов с, ! Бн (,1, ..., и) имеет место равенство в(х„..., хс, ..., хс, ..., х»)= — в(х„..., хр ..., хь ..., х»). . ' Сопоставляя определения (3), (4), (11), получаем А (Р»+ Р») = АР!»+ АР», (12) А ()сР») = ЛАР». (! 3) Пример 2. С учетом соотношений (12), (13) из разложе'ния (10) получается, что АР» = а; с, А (е' Я... Я е'»), !поэтому интересно найти А(е'! Я...Яес»). Из определения (11) с учетом того, что е'(х) х', находим ".А,(е" Я... Я е'») (х„..., х») = --, е' (хс ) ....
е'»(х,,) б,' хС1 ... кС» 1 ''' 1 ... с ! = — хз ... Х»61" »=— ы с, ''' с„!...»»! (14) ь, ь! с с 3 1 1 3 с с! хс' к кс ! 1 1 хс, .с, хс, 3 3 3 3 3 3 Тензорное произведение кососимметрических форм, вообще хсоворя, уже не является кососимметрической формой, поэтому :.в классе кососимметрических форм вводится следующая опера. :цня л их внешнего произведения: в' л в'. = —,„, ' А (в' Я в'). , (»+ с)! - (15) Таким образом, в»лв' -есть кососимметрическая форма в»" 'степени А+1.
Пример 3. Опираясь на результат (14) примера 2, из определения (15) находим 2! )дс л еь (х,, х,) = — А (е' Я ео) (х, х,) = с!с! 1 "(.,) '(,) 14 (' (16 ) Пример 4, Используя полученное в примере 3 равенство, "ссютноц;ение (14) и определения (11), (!5), можно написать, что "Ф' л (е'.,* л еи) (х„х„х,) = (! -1-2)! = — А(е' Я(е' ле' )) (х„х„х») = з! = 2,3, еь (хь ) (еь л ес*) (хс„хс, ) бс,, 3 —— зов Ге. ХЧ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ $1. АЗГЕВРА ФОРМ 309 Аналогичная выкладка показывает, что е" л (еь л е' ) = (е' л е') л е'.
(17) Используя разложение определителя по столбцу, на основании принципа индукции заключаем, что е' (хс) ... е "(хс) есс л ...лес»(х„..., х») = (18) е ' (хс ) .. е " (х») с, (19) (20) (21) (22) 4 Равенства (19), (20), очевидно, следуют йз соотношений (6) — -(8) и (12), (13). Из соотношений (1О) — (14) и (17) для любой кососнмметрической формы в =а;,, с„е" Я... (3 е'» получаем в = Ав ='ас,, с А (ес (3... с3 е») = — ас, с„е" Л ...
Л е». с с ! с, с ы Используя уже доказанные равенства (19), (20), теперь для доказательства равенств (21), (22) их достаточно проверить лишь для форм вида е"' л... лес». Ассоциативность (22) для таких форм уже установлена равенством (17). Из равенства (18) и свойств определителей для указанных специальных форм немедленно получаем соотношение (21). Заодно'мы показали, что любая форма венй» может быть представлена в виде  —,У', ас,, с„Е'1 Л... Л Е'» ' (23) 1<11С . <С»<Е Итак, множество 16=(11») касосимметрнческих форм на векторном пространстве Х относительно линейных операций (3), (4) н внешнего умножения (15) является градуированной алгеброй 61се» 16 = О+ Й». Линейные операции на»1 выполняются в пределах »=о причем, как видно из проведенных выкладок, формула (18) спра- ведлива для любых 1-форм е", ..., е'» (не обязательно базисных форм пространства Х*).
Учитывая перечисленные выше свойства тензорного произве- дения и альтернирования форм, получаем следующие свойства внешнего произведения кососнмметрических форм: ( ' со" + в") л о1' = в» л со'+ в" Л «1'. 1 11 1 $ ()сВ») Л ВС=)с(В Л В'), в» л вс = ( — 1)»свс л «1», («1' л «1') л «1" = в» л («1' л в"'). .каждого линейного пространства 11», и если в'ЕЕ Я», в'я(ес, та в» л сос е= я»»с В прямой сумме ОЬ(е» суммирование ведется от нуля да раз. 'мерности" пространства Х, поскольку кососимметрические формы .в»: Х» — «Р, степень которых выше размерности линейного прост:ранства Х, обязательно тождественно равны нулю, что видно нз сцаотношения (21) (или из соотношений (23) н (18)).
3. Линейные отображения линейных пространств и сопряжен1яые отображения сопряженных пространств. Пусть Х и )' — ли,)ейные пространства над полем Р вещественных чисел (или над :Йобым иным, но одним и тем же для Х и )' полем) и пусть 1: 7Х- У вЂ” линейное отображение Х в )', т. е. для любых х, хс, сх»а'Х и любого числа ) ЕИ выполнено 1(х1+х,) =! (х,)+1(х,) и 1()ох) = ц (х).
(24) Линейное отображение 1: Х вЂ” «)е естественным образом поражЪает сопряженное с ним отображение Р: У г-«У'» множества У'г заданных на Г полилинейных форм в аналогичное множество У х. Если ду — Й-форма на )е, то по определению (РУс()(»1, ..., х„):=РУ~(1»„..., 1х,). (25) , Из (24) и (25) видно, что 1«г» есть й-форма гх» на пространстве Х, т. е.
Р(УУХ)с: У'»». Более того, если форма гег была "дасосимметрической, та форма (1« г" г) = Е» тоже кососимметричеакая, т. е. 'Р(()г»)с: »)». Отображение Р в пределах каждого Ъинейнаго пРостРанства .У г или 1»ю очевиДно, линейно, т. е. Р (д~~+ у'»Р) = РЕ, + Ру; и Р (ХР») = цеу». (26) Сопоставляя теперь определение (25) с определениями (5), й11), (15) тензорного произведения, альтернирования и внешнего спроизведения форм, заключаем, что 1'(Г 8 )=(РР)8.(1 ), (27). Р (А ге) = А (1«РР), (28) В Р (ве л ве) = (Рве) л (Рве).
(29) Пример 5. Пусть е„..., е — базис а Х, е„..., е„— базис :;в )', а 1(ес) =с)ес, ся(1„..., т), 1«в(1, ..., и). Если й форма ~о»Х в базисе е,, ..., е„ имеет координатное представление д",(д„...од,)=Ь,, „дЛ ... д'„,' ~да Ьс, с =У'г~(е,, ..., ес), то ~Ъ (1 Гг~)(х„..., х»)=ас .„с х," ....Ф 3!! $1. АЛГЕВРА ФОРМ 310 г . хн.
интеггнговдние днФФегннцидльных Фопм с» и с~ /1 !Д Сд " Сд е' л...ле'д. 1<С, С...СС»<эс Принимая во внимание равенства (26), отсюда можно сделать вывод, что вообще /д/ ~ Ь! „,!,е" л...ле/»)=* ~' <!с<"'с!»<" с!, !» ь! 1 < С, С ... < Сд < т 1 <! <Ь., с/» <э е л ..ле'= с!1 ... с Д С» "' С» ас,, с, е/' л... л е'». 1<С,<- СС»< Задачи и упражнения !.
Покажите на примерах, что, вообще говоря, э) р»Снсрсчдрсбзр». Ь) А (Р» Ох РС) чд АР» (х/ АРС! с) если Рд, Рс см (), то не всегда РЭ ® Рс е (). 2. а. Покажите, что если гы ..., е„— базис линейного пространства Х, а линейные функции е', ..., г" на Х (т, е. элементы сопряженного к Х про- странства Хд) таковы, что е (е;) =' бг то »1, ..., еа †баз в Х'. Ь. Проверьте, что нз Ь-форм вида г ' ® ... ® г " можно образовать базис пространства Уд =:г»(Х) и найдите размерность (б!щ аг»у этого простран- ства, зная, что б/ и Х = л. где ас с =Ь!, ! сд....
с'.», поскольку ! ! Сд ' ''''' д ас, ... с ='; (/чР»„)(ес,, ..., есд):= ссуд (/ес,, ..., /ес )= Пример 6. Пусть е'..., еж, и ет, ..., ед — базисы сопряженных пространств Х*, )гэ, взаимные (нли сопряженные) с указанными в примере 6 базисами пространств Х н )' соответственно. В условиях примера 6 получаем (/де!) (х) = (/ае!) (х'ес) = е! (хс/ес) = хге!(с!е») = = х'с!е! (с») = х'с; 6» = с;х' = сс!е'(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
