В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Множ~ство Е„„как видно из определения ; многообразия, непусто, открыто и замкнуто в М. Но тогда .;Е~=М. Пример б, Если каждой квадратной вещественной матрице ',порядка п сопоставить точку пространства Р', координаты кото- ;,рой получаются выписыванием в определенном порядке всех эле- . ментов матрицы, то группа 6Е(п, Р) всех невырожденных матриц ':порядка и превращается в и'-мерное многообразие. Зто многооб- дразие некомпактно (элеь1енты матриц никак не ограничены) и "..несвязно.- Последнее вытекает из того, что И,(п, й) содержит .,- матрицы как с положительным, так н с отрицательным определи- ' 'гелем.
Точки 6Е(п (с), отвечающие двум таким матрицам, нельзя соединить путем (на котором бы тогда появилась точка, соответ- ,- ствующая' матрице, имеющей определитель, равный нулю). в!в 5 Е МНОГООБРАЗИЕ Гл. Хч, интеГРиРОВАние диФФБРеипиАльных ФОРМ Пример 7. Группа 50(2, Я) ортогональных преобразований плоскости Р, имеющих'определитель, равный единице, состоит из сь» а Мп а~ матриц вида ( . ~ и, -таким образом, может считаться многообразием, которое отождествляется с окружностью — областью изменения углового параметра а. Таким образом, 50(2, й)— одномерное компактное связное многообразие. Всли допустить и отражения относительно прямых в плоскости Р, то мы получим' группу 0(2, Р) всех вещественных ортогональных матриц второго порядка. Ее естественно можно отождествить с двумя различными окружностями, отвечающими матрицам с определителем 1 и — 1 соответственно.
То есть . 0 (2, Я) — одномерное компактное, но несвязное многообразие. Пример 8. Пусть а-вектор плоскости Р н Т,-группа движений плоскости, порожденная вектором и. Элементами группы Т, являются сдвиги на векторы вида па, где н е= У,. Под действием элементов й группы Т каждая точка х.плоскости смещается 'в тонки й(х) вида х-1-па. Совокупность точек, в которые данная точка х е=й». переходит под действием элементов данной группы преобразований, называется орбинюй втой точки.
Свойство точек Р принадлежать одной орбите, очевидно, является Отношением эквивалентности на Р н орбиты являются классами вквнвалентных в этом смысле точек. Область в И, содержащая йо одной точке каждой орбиты,' называют фундаментальной обласгиью данной группы автоморфнзмов (уточнение см. в зада-. че Ы). В нашем случае в качестве фундаментальной области можно взять полосу ширины ~ а~, ограниченную двумя параллельными прямыми, ортогональнымн вектору а.
Следует только учесть, что сами втн прямые-получаются друг из друга сдвигом на а н — а соответственно..й пределах ортогональной а полосы ширины, меньшей чем (а1 нет эквивалентных точек, поэтому все орбиты, имеющие представителей в такой полосе, однозначно наделяются координатами своих представителей. Так фактор-множество 9.'(Т ,орбит данной группы Т» превращается в многообразие. Ив сказан. ного выше о фундаментальной, области легко понять, что это многообразие гомеоморфно цилиндру, который получается склеиванием по эквивалентным точкам граничных прямых полосы ширины «а!. Пример 9. Пусть теперь и н Ь-пара ортогональных век.
торов плоскости Р н ТГ»»-группа сдвигов, порожденная этими векторами. Фундаментальной областью в данном случае будет прямоугольник со сторонами а, Ь. В пределах этого прямоугольника эквивалентными будут лишь точки, лежащие на его противоположных сторонах. После соответствующей склейки сторон фундаментального прямоугольника убеждаемся,. что возникающее многообразие Р»(Т,, » гомеоморфно двумерному тору. Ппимер 1О. Рассмотрим еще группу «У,,» движений плоскости Р, порожденную следующнмн преобразованиями: а(х, у) = = (х+ 1, 1 — у), Ь (х, у) = (х, у+ 1). Фундаментальной областью для группы О, „ будет единичный квадрат, горизонтальные стороны которого отождествляются по точкам, лежащим на одной вертикали, а боковые стороны квадрата отождествляются по точкам, симметричным относительно его центра.
Таким образом, возникающее многообразие РЮ,,» оказывается гомеоморфно бутылке Клейна (см. гл. ХП, й 1), Мы не останавливались здесь на полезных и важных примерах, которые, были разобраны в $1 гл. ХП. 2. Гладкие многообразня и гладкне отображения. Определение 7. Атлас многообразия называется гладким (класса Сои нлн аналитическим), если все функции замены координат для карт данного атласа 'являются гладкими отображениями» (дйффеоморфивмами) соответствующего класса гладкости. Два атласа. данной (одной н той же) гладкости считаются гкеиеалентными, Если нх объединение является атласом той же гладкости. Пример 11. Атлас, состоящий нзединственной карты, можно считать сколь угодно гладким.
Рассмотрим в этой связи на пря. мой 1~» один атлас, порожденный тождественным отображением Р» еэ х~- ф(х) =х ~Р, а другой атлас, порожденный любой строго монотонной функцией Р еэ х» ф (х) ее Р, отображающей (ч» па Р. Объединением этих атласов будет атлас, который, очевидно, имеет наименьшую из гладкостей функций ф и ф-'.
В частности, если ф(х)=х', то атлас из карт (х, х') не является гладким, так как ф-'(л)=хпз. Используя сказанное, можно построить на Р бесконечно гладкие атласы, объединенне которых будет атласом наперед заданного класса гладкости С<»1. О п р е д е л е н и е 8. Гладким многообразием (класса С~»', аналиРлическим) называется многообразие М с' заданным на М классом эквивалентности атласов данной гладкостн. После этого определения понятна следующая терминология: тоаологическсе многообразие «класса С~");многообразие класса С<»', аналитическое многообразие. Для того чтобы задать весь класс эквивалентностн атласов данной гладкости на многообразии М„ достаточно задать любой атлас А яз этого класса эквивалентности. Таким образом, можно считать, что гладкое многообразие есть пара (М, А), где М вЂ” многообразие, а А — атлас данной гладкости на М.
Совокупность эквивалентных атласов данной гладкости на многообразии"часто называют структурой данной гладкости на атом многообразии. На одном н том же топологнческом многообразии могут существовать различные гладкие структуры даже одной и той же гладкости (см. пример 11 и задачу 3).
з!в гв хч иптаггиговхннв днфевгвнцнлл1 ных догм 4 а многооаРАзив з!з Рассмотрим еще несколько примеров, в которых мы обратим основное внимание на гладкость функций замены координат. Пр и мер 12. Одномерное многообразие ЕР1, называемое вещественной проективной прямой, есть пучок прямых в Р', проходящих через начало координат, с естественным отношением близости прямых (измеряемой, например, величиной меньшего угла между прямыми). Каждая прямая пучка однозначно определяется ненулевым направляющим вектором (х', х'), причем два таких вектора задают одну и ту же прямую в том и только в том случае, когда они коллинеарны.
Значит; 1;1Р1 можно рассматривать как совокупность классов эквивалентных у~торядоченных пар (х', к') вещественных чисел. При этом по крайней мере одно из чисел пары должно быть отлично от нуля и две пары считаются эквивалентными (отождествляются), если они пропорциональны. Пары (х', х') обычно называют однородными координатами на РР1.
Используя интерпретацию РР1 в однородных координатах, легко построить атлас из двух карт на ИР1. Пусть У1, (=1, 2, — те прямые (классы пар (х', х')) из РР1, для которых х1 чьО. Каждой точке Хе '1 (прямой) реп У, взаимно однозначно соответствует пара (1, — 1), определяемая числом (1' †„,.
Аналогично точки района У, находятся во взаимно однозначном соответствии с парами вида х' К1 —;, !) и задаются одним ч'ислом 11= —,, Таким образом, в У, и У, возникают локальные координаты, которые, очевидно, соответствуют' введенной выше в НР1 топологии.
В общей области У1()У, действия построенных локальных карт вводимые ими координаты связаны соотношениями (,'=(1',)-1, 11'=(11)-1, показывающими, что построенный атлас принадлежит не только классу С' ', но даже является аналитическим. Полезно иметь в виду также следующую интерпретацию мно гообразия РР. Каждая прямая исходного пучка прямых вполне определяется точкой пересечения с единичной окружностью. Но таких точек ровно две, причем они являются диаметрально противоположными точками окружности.
Близость прямых равносильна близости соответствующих пар точек окружности. Значит, РР можно интерпретировать как окружность с отождествленными (склеенными) диаметрально противоположными точками. Если взять только полуокружность, то на ней окажется лишь одна пара отождествляемых точек — концы полуокружности. Склеив их, мы получим снова топологически окружность.
Таким образом, РР1 как топологическое пространство гомеоморфно окружности. Пример 13. Если рассмотреть теперь пучок прямых, проходящих через начало координат в (кв, или, что то же сзмое, совокупность классов пропорциональных упорядоченных троек (х', х', х') вещественных чисел, не обращающихся в нуль одно- временно, то мы получим вещественную проективную плоскосп1ь 01'. В районах У1, Ум У„где .соответственно х1ФО, хеФО, К1 Х11 хе ~ О, вводятся локальные системы координат (1, —,, —,) = ')' (*' ' х1) (" ' ') (' ')' (х1т'х1' ) = ((1, 11, 1) ((,', ф, которые, очевидно, связаны между собой соотношениями 11=(11)-1, 1~=11 ((„')-1, относящимся к общим частям районов действия локальных карт. Например, переход от координат (11, 11) к координатам (11.
11) , в области У,() У, выражается формулами р (11) '1 11 (ь, (11) 1 Якобиан этого преобразования равен — (11)-* и, поскольку Х1 , 11= — „он определен я отличен от нуля в точках, отвечающих „1' ' точкам рассматриваемого множества У1 () У,. Итак, КР— двумерное многообразие, обладающее аналити-, ческим атласом из трех карт. По тем же соображениям, что и в примере 12, где была рас.
смотрена проективная прямая (кР1, проективную плоскость РР ' можно интерпретировать как двумерную сферу У ~ Р с отождествленными диаметрально противоположными точками или как 'полусферу с отождествленными диаметрально противоположными точками граничной окружности. Проектируя полусферу на плоскость, мы получаем возможность интерпретировать РР как круг (двумерный диск) с отождествленными диаметрально противоположными точками его граничной окружности. Пр имер 14. Совокупность всех прямых на плоскости Р можно разбить на два множества: У вЂ” невертикальийе прямые, Р— негоризонтальные прямые.
Каждая прямая из У имеет уравнение вида у=и,х+и, и тем самым характеризуется координатами (и1, и,), в то время как любая прямая из Р имеет уравнение х=ппу+и, и задается координатами (п„пе). Для кривых из пересечения У П )' действуют функции преобразования координат п,=и1', и,= — и,и1' и и,=о1', ив — о, п1'. Таким обра. зом, рассматриваемое множество наделяется аналитическим атласом из двух карт.
' Любая прямая на плоскости имеет уравнение ах+бр+с=0 и характеризуется тройкой чисел (а, Ь, с), причем пропорцио. нальные тройки задают одну и ту же прямую. Может поэтому показаться, что здесь мы вновь имеем дело с проектнвной плоскостью 1~1Р1, рассмотренной в.примере 13. Однако если в 1кР допускались любые тройки чисел, не равных одновременно нулю, то теперь не допускаются тройки вида (О, О, с), где счь О. Всем таким тройкам в РР отвечает одна и та же точка. Значит, полу' ченное в настоящем примере многообразие,гомеоморфио тому, что зю гз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
