В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Примеры приложений Чтобы показать введенные выше понятия в работе, а также пояоиить физический смысл формулы Гаусса — Остроградского— Стокса как закона сохранения, мы рассмотрим здесь в качестве иллюстрации вывод некоторых важных уравнений математической физи~и. 1. Уравнение теплопроводиости. Изучается скаляриое поле Т=Т(х, у, г, 1) температуры наблюдаемого тела как функция точди (х, у, г) тела и времени /. В результате теплообмеиа между ,различиыми частями тела поле Т может как-то меняться.
Однако это изменение ие произвольио, а подчинено 'определенному закону, который мы и хотим в явном виде выписать. Пусть 0 — некоторая объемная часть наблюдаемого тела, ограиичеииая поверхиостью 3. Если в 0 иет источников тепла, то измеиенив внутренней энергии содержащегося в 0 вещества может происходить только а результате теплообмеиа, т. е. в данном случае путем переноса эиергии через границу 3 области О, Подсчитав отдельно изменение внутренней энергии в объеме 0 и поток энергии через поверхность 8, мы иа основе закона сохранения энергии приравияем эти величины и получим нужное соотношение.
Известно, что для увеличения иа ЛТ температуры одиородиой массы т требуется тепловая энергия в количестве ст/3Т, где с — удельная теплоемкость рассматриваемого вещества. Значит, если за промежуток времени Л/ наше поле Т изменилось иа величину дхТ=ЛТ(х, у, г, /+тх/) — Т(х, у, г, 1), фо внутренняя энергия в области 0 изменилась иа ввлйчииу (((ср ЛТс/)/, о где р=р(х, у, г) — плотиость вещества. Из эксперимента известно, что в достаточио'большом диапазоне изменения температур количество тепла, протекающее в результате теплообмеиа через выделенную в теле площадку йт = = гге/о за единицу времени, пропорционально потоку — вагаб Т е(ет )толя †вагаб Т через эту площадку (йтаб берется по простраиствеииым переменным х, В, г) Коэффициент й пропорциоиаль- гк.
х!ч. ЕектОРныи АнАЛИз и теогия поля . Э 4. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИИ ности зависит от вещества и называется его коэффициентом тепло. проводносгпи.' Знак минус перед ягад Т отвечает тому, что энергия переходит от более нагретых частей тела к менее нагретым. Таким образом, за промежуток времени б( через границу Я области 0 в сторону внешней нормали пройдет следующая энергия (с точностью до о(Ж)): дг ')) — йягад Т г(а.. (2) Приравнивая величину ()) ко взятой с противоположным знаком величине (2) после деления на б( и перехода к пределу при б(-~О, получаем (11 рРртр =1(рр-рт и«.
Это равенство и является уравнением на функцию Т. Считая Т достаточно гладкой, преобразуем равенство (3), используя формулу Гаусса — Остроградского: ~ ~ ~ ср ~ дУ = ~ ~ ~ д1ч (й угад Т) 6У'. О о Отсюда ввиду произвольности области О, очевидно, следует, что р —, = п1ч (й агап Т). дТ (4) Ц),р'~рр=)) рр рт.р;1)) ррр рзр и тогда вместо (4) мы получили бы уравнение ср 7,-, = д1ч (й угад Т) + р.
дТ (4') Если тело считать нзотропным и однородным в смысле его теплопроводности, то коэффициент к будет постоянной и урав пение (4) преобразуется к следующему каноническому виду: — =а' ЬТ+), дТ (5) Р к где 1' = —, а' — — ковффициентп птемпературоправодности.,Урав. ср' ср пение (5) называется обычно уравнением теплопроводности. Мы получили дифференциальный вариант интегрального равен. ства (3).
Если бы в области 0 были источники (нлй стоки) тепла, ' интенсивность которых имела бы плотность г" (х, у, г, р), то вместо равенства (3) мы должны были бы написать равенство :В случае установившегося режима теплообмена, когда поле Т :,ие зависит от времени, это уравнение превращается в, уравнение Пуассона Ьт= р, (б) 1 1.де ~р = — —, 7, а если еще и тепловых источников в теле не было, "то получается уравнение Лапласа ЬТ=О. (7) Решения уравнения Лапласа, как уже Отмечалось, называют ;гармоническими функциями.
В теплофизической интерпретации ,гармонические функции отвечают установившимся температурным полям в телах, тепловые потоки в которых идут без стоков и 'источников ' в самих телах, т. е. источники тепла находятся вне тела. Например, если на границе дУ'тела У поддерживать .заданный тепловой режим Т)вг=т, то со временем температур. 'йое поле в теле У стабилизируется в виде 'некоторой гармони„"ческой функции Т. Такая интерпретация решений уравнения ,Лапласа (7) позволяет предугадать. ряд свойств гармонических .функций. Например, надо полагать, что гармоническая в обла,'сти У функция не может иметь внутри этой облаети локальных ,'.максимумов, иначе бы из этих более нагретых участков тепло :только утекало и они бы охлаждались вопреки предположению о том, что поле стационарно. 2. Уравнение неразрывности.
Пусть р=р(х, у, г, () — плот"яость некоторой материальной среды, заполняющей наблюдаемое пространство, а и= я(х, у, г, 1) — поле скоростей движения среды как функция точки (х, у, г) пространства и времени 1. Исходя из закона сохранения количества вещества, пользуясь формулой Гаусса — Остроградского, укажем взаимосвязь этих 'Ьелячин. Пусть 0 — область в наблюдаемом пространстве, ограничен„:ная ' поверхностью Я. За промежуток времени О( количество вещества в области 0 изменяется на величину ))) (р (х, у, г, 1+ М) — р (х, у, г, ()) дУ.
О За малый промежуток времени 51 поток вещества через поверхность Я в сторону внешней нормали к 5 равен (с точностью ';до о(б()) величине дрг ')') ре да. Если в области 0 не было, источников и стоков, то в силу закона сохранения количества вещества $4. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИИ вЂ” = — б(ч (рп), др дГ (8) Я (Р— а) рг(У вЂ” Ц рсЬ=ОР (8") ') ) е. г(п = О, или а=д,+!Е 7)Е.
дч язв г . х~ч. вектогнып хнхлиз и теогия поля или в пределе при бà — 0 Применяя к правой части этого равенства формулу Гаусса— Остроградского и учитывая, что 0 — произвольная область, заключаем, что для достаточно гладких функций р, и должно выпол. няться соотношение называемое урааиениги нгризравности сплошной среды. В векторных обозначениях уравнение неразрывности запишется в виде ду д) + ч ' (ре) = 0 (8') или, в более развернутом виде, —,+~.Ю+Ю ~=0. Если среда несжимаема (жидкость), то объемный расход среды через замкнутую поверхность Я должен быть нулевым: откуда (на основании той же формулы Гаусса — Остроградского) следует, что для несжимаемой среды б)че=О. (9) Значит, для несжимаемой среды переменной плотности (вода и масло) уравнение (8') приводится к виду дг =и'7Р (10) Если среда еще и однородна, то рр = О, и потому — = О.
ду дг 3. Основные уравнения динамики сплошной среды. Выведем теперь уравнения динамики движущейся в пространстве сплошной среды. Наряду с уже рассмотренными выше функциями р, е, которые и здесь будут обозначать плотность и скорость среды в данной точке (х, у, г) пространства в момент времени 1, рассмотрим давление р= р(х, у, г, 1) как функцию точки пространства и времени. Выделим в пространстве, занятом средой, область О, ограни.
ченную поверхностью Я, и рассмотрим силы, действующие на выделенный объем среды в фиксированный момент времени. На каждый элемент рйУ массы среды могут действовать некоторые силовые поля (например, гравитационное). Зги поля создают так называемые массовые силы. Пусть Р=Р(х, у, г, 1)— плотность создаваемых внешними полями массовых сил.
Тогда со стороны таких полей на элемент массы рйУ действует сила РрБ'. Если указанный элемент в рассматриваемый момент времени имеет ускорение а, то по закону Ньютона это эквивалентно наличию еще массовой силы инерции, равной — арйУ. Наконец, на каждый элемент гЬ=пг(о поверхности 3 со стороны частиц среды, соседних с попавшими в г), действует поверх,ностная сила — рйп, вызванная давлением (здесь и — внешняя нормаль к Я).
По принципу Даламбера в каждый момент движения любой материальной системы все силы, приложенные к ней, включая н силы инерции, взаимно уравновешиваются, т. е, их равнодействующая должна быть равна нулю. В нашем случае это означает, что Первый член этой суммы есть равнодействующая массовых сил ' и сил' инерции, а второй дает равнодействующую давления , на поверхность Я, ограничивающую рассматриваемый объем. Мы для простоты считаем, что имеем дело с идеальной (не вязкой) жидкостью или газом, в которых давление на площадку Йт имеет вид рддр, где чийло р не зависит от ориентации площадки в пространстве.
Применяя формулу (10) из з 2, на основании равенства (П) получаем. Я (Р— а) р 8У вЂ” Я дгаб'р г(У = О,, откуда ввиду произвольности области О, очевидно, следует, что ра = рР— дгаб р, (12) В таком локальном виде уравнение движения среды вполне соответствует уравнению Ньютона движения материальной частицы.. дч Ускорение а частицы среды есть производная — „'от скорости е этой частицы.
Если х=х((), у=у(1), г=г(1) — закон движения частицы в пространстве„а п=е(х, у, г, 1) — поле скоро"стей среды, то для любой индивидуальной частицы получаем дэ дэ дч дх дч ду дч дх а= — = —,+ — „— + — — + —— дГ дГ дхдГ + дудГ дг дг Гл. хпъ аектОРныи АнАлиз и теОРия пОля З Л. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИИ Таким образом, уравнение движения (121 приобретает' следующую форму: ве 1 — =Р— — йгайр дг= р ЦЗ) или дз дг +( 'Ч) = ЧР Р (14) Уравнение' (14) обйчно называется гидродинамичгским .уравнением Эйлера. Векторное уравнение (14) равносильно системе трех скаляр.
ных уравнений на три компоненты вектора О и Еще на пару функций р, р. Таким образом, уравнение Эйлера еще не вполне определяет движение идеальной сплошной среды. К нему, правда, естественно добавить уравнение неразрывности (8), но и тогда система еще будет недоопределена. Чтобы движение среды стало определенным, к уравнениям (8) и (И) следует добавить еще информацию о термодииамическом ,состоянии среды (например, уравнение состояния 1(р, р, Т) =О и уравнение на теплообмен).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
