В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Покажите, что на большом по сравнению с величиной д удалении ат этих зарядов потенциал соэдююемого ими электростатического поля имеет вид 4ц го ( ~)' где г †моду радиус-вектора г точки (г, у, г). Ь. Удаление от зарядов на большое расстояние рзвносильно сближению зарядов, т, е. уменьшению величины д. Если теперь величину .дд =: р фикси- ровать и уыеньшать д, то в пределе в области Па~~О получится функцня ф = ! г — — р Удобно ввести вектор р, равный по величине р и направленный 4мзо гг ' ат — а к +ф Пару зарядов — д, +у и получаемую описанным предельным переходам конструкиию называют дппалем, а вектор 'р — дплальным моментом.
, Полученная в пределе функция ф называется лалмнниалам дппалл, Найдите а«имптотику потенциала диполя при уходе от диполя по лучу, составляющему угол 6 с направлением днпольного момента. с. Пусть ф, — потенинвл единичного точечного заряда, к фг †потенци диполя, имеющего дипольный момент р,. Покажите, что й~г — (ро 7) фа.
б. Конструкцию с предельным переходом, которую мы провели для пары зарядов при получении диполя, можно повторить для четверки зарядов (точ- нее, для двух диполей с днпольными моментами рм ра) в получить вюдруполь н соответствующий ему потенциал. В общем случае можно получить мульта- поль порядка 1 с птениналам фу=( — 1)!(рт" % (р! ° т) ".(р т) фо = дгфо ° 7 Ог»г, где ф~ы-так называемые компоненты момента ЛЬо г» дх' ду» дгг с+»+г=! нультппаля.
Проведите выкладки н проверьте формулу для потенциала муль-' типоля в случае квадруполя е. Покюките, что главный член асимптотики потенциала скопления эаря- О 4иао г ' дав при удалении от этого скопления равен — †, где Ге-суммарный заряд скопления. Покажите, что главный член эсимптотики потенциала электрически нейтрального тела, состоящего иэ зарядои протнвополвкного анака (например, молеуула), на большом по сравнению с размерами тела расстоянии от него, равен — ='.
Здесь е, †единичн вектор, направленный из тела на 1 р.е, 4лсо го наблюдателя; р Е д; «(г, где до — величина Ьго заряда, а «(г — его радиус. вектор; начало координат выбрано в. одной из точек тела. Е. Потенциал любого скопления зарядов на большом расстоянии от скоп- ления раскладывается (в смысле асимптотики) по функциям типа потенииа. *),С. Д. Пуассон (1701 †18) †французск механик, математик и физик; основные работы по теоретической и небесной механике, математической физике и теории вероятностей. Уравнение Пуассона появилось в его исследованиях гравитационного потенциала и притяжения сферондами 1ОЮВ МУльтипалей..Покажите зто на примере первых двух членов такого потен'циала (см. д, е и 1). 4. Проверьте, односвязны ли следующие областш а) круг [(г, у) ам По ~хо+у'(1); Ь) круг с выколотым иентром ((х, у) ам По ) О ( го+уз ( 1»; с) шзр с выколотым центпом ((г, у, г) ом Ра ~ 0(го+уз+г'(!»Т 12 д) кольцо 1(х, у) еиПа~ — (к'+у'(1~; ! е).шароВое кольцо»(х у) ам геа ~ ( го+уз+го ( 1[' 1) полиоторие в Пэ.
'6; а. Дайте определение гомотопин пути' с закрепленными концами, Ь. Докажите. что область односвяэна тогда и только тогда, когда любые 2«аа путя в ней, имеющие общее начало и общий конец, гомотапны в смысзе 'Ьбределения а. 6. Покажите, что: а) любое непрерывное'отобрюкевие Д Зо-ь За окружности Яг (одномерной '«ферм) в двумерную сферу за стягивается по $о в точку (в постоянное ото- Ч)увжение); Ь) лабас непрерывное отображение Е Зз-ьдо тоже гомотопно отображе'.нню в одну точку; с) любое отображение Д 8'-~ д' гаматоппо при некотором п ам Е атабралшнюо фа-ь лф, где ф — полярный угол точки окружности; .д) тобое непрерывное отображение сферы Зэ в полноторие гомотопно '.смображению в одну точку; е) любое отображение окружности ьт в палноюрне гомотопно прн некого.
,бом. л ш Е замкнуюму пути, пробегающему и раз окружность, охватывающую 06»рку полнаторня. 7. В области Пг~,О (пространство с' выброшенной точкой 0) постройте: а) замкнутую, ио ие точную 2.форму; Ь) векторное поле без источников, которое не является ротором какоговйбо векторного поля в этой области. 8. а. Могут ли в области 0=По'~0 (пространство [2п с выброшеиной ловкой 0) быть замкнутые, но не точные формы степени р(п — 17 Ь. Постройте в области 0=По'~0 замкнутую, но не точную форму ,аепени р п — 1 9.
Если 1.форма га замянута в области 0 ~ По. то зоилу утверждения 2 хжбав точка хам 0 имеет окрестность П(к), в пределах которой форма га таяна. Далее ао — замкнутая форма. а. Покаките, что если два пути 71. [О, 1[-ь0, 1 1, 2, имеют одинаковме начала и концы и отличаются лишь на промежутке [ао, 6» ( [О, Ц, образ которого при нюкдом иэ отображений уг лежит в пределах одной в той же окрестности П (х), то» ю ) ю. Ю То Ь.
'Покажите, что для л~обого пути [О, Ц мо)~- 7(1) ее 0 можно укаиать такое число б ) О, что если путь 7 имеет те же начало и конец, что и путь у, н уклоняется от 7 не больше чем па д, т. е. шах [у(7)-7(!)»(б, а(г(! хо ~ю=) ю : 7 7 с. Покажите, чта если два пУти 7„7э а общими началом н концОм гомотопны в области '0 как пути с закрепленнымв концами, то для замкнутой я 0 формы и имеет место равенство ) ю ) ю 7 7о -1О. а Позднее будет- доказано, что 'любое непрерывное отображейие Г: !э=а 0 квадрата 0 можно сколь угодно точно равномерно аппроксимировать гладким отображением (даже с полиномиальными компонентамн). Выведите Гл, Х1Ч.
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ отсюДа, что если пУти Тт, Тэ в области 0 гомотопиы, то пРи любом е) О можно найти такие гладко гомотопиые междУ собой пУти Уь Тз, что щах (у; (1) — у! (1) ! ~ е, 1=1, 2. э<с<1 Ь. Используя результаты задачи 9, покажите теперь, что если интегралы ио гладко гомотовиым путям ог замкнутой в области ВР формы равны между собой, то оии равиы и для любых гомотопиых а этой области путей (без пред. положеиия о гладкости этой гомотопии).
Сами пути, разумеется, предполагаются иастолько регулярными, насколько это нужно для интегрирования по иим. 1!. а. Покажите, что если формы юа, юа ', юр ' таковы, что юя=дю~ т = =дыр ', то (по крайней мере локальио) 'можно указать йюрму ая-' такую, что ар-т юа х+дюр-з. (То, что любые две формы, отличающиеся иа диффереициал некоторой формы, имеют одинаковый дифференциал, очевидно, вытекает из равенства дев=о.) Ь. Покажите, что потеициал ~р электростатического поля (задача 3) определяется с точностью до аддитивиой постоянной, которая фиксируется, если потребовать, чтобы ка бескоиечиости потенциал стремился к нулю. 12. Ич системы уравнений Максвелла ($ 1, (12)) получается следующая пара'уравиеикй магкитостатикк: ч В=О, ЧХВ= — —. Первое из этих уравз,с' иеиий показывает, что, по крайней мере локально, поле В имеет векторный потеициал А, т.
е, В ЧХ А. а. Опишите произвол в выборе иотеицяала А магнитного поля В (см задачу 11 а). Ь. Пусть х, у, г †декарто координаты э,, )!з. Найдите погеициал А однородного магнитного поля В, направленного вдоль оси Ог, при соблюдеиии каждого (в отдельности) из следующих дополнительных требований: поле А должно иметь вид (О, А„, 0); поле А должио иметь вид (А», О, 0), поле А должно иметь вид (А„, А 0); поле А должно быть иивариаатио относительно поворотов вокруг оси Оз с. Покажите, что выбор потеициала А, удовлетворяющего дополнительному требоваиию Ч А =О, сводится к решению уравкеиия Пуассоиа, точнее к отыс. какию скалярной функции ф, которая аря задаииой скалярной фуикции / удовлетворяет уравиеиию бф=/. д. Покажите, что если потенциал А статического магиитяого поля В выбрать так, что ч . А =О, то ои будет удовлетворять следующему векторному уравяеикю Пуассона: аА = — — Таким образом, привлечение потенциалов еьаз ' позволяет свести отыскание электростатических (задача 3) и магиитостатических полей к решению уравиекия Пуассоиа, 13.
Известка следующая теорема Рельмгольца"): любое а»адни е области 0 евклидова ориентированною ирастранстза (сз поле Р можно разложить в сумму Р Рх+Рз безаихрееаю ноля Р, и соленоидальнаео ноля Рз, Покзжвте, что посгроеиие такого раэложеиия можно свести к решеиию иекото. рого уравнения Пуассона 14. Пусть даиизя масса некоторого вещества переходит яз состояния, характеризуемого термодииамическими параметрами рю Рь (Т,), в состояние у, Р, (Т).
Предположим, что процесс прогекаег медленно (квазистатически) и идет по пути у плоскости состояиий (с координатами г', Р) В терца. динамике доказывается, что велкчииа 5 ~ †, где 30 †фор теплообмеяа, г В!), д т т ') Г. Рь Ф. Гельмгольц (1321 — 1394) — немецкий физик и математик, один из первоотхрывателей общего закова сохранения энергии Кстати, именно ои впервы. четко разделил понятия силы и эиергик 29о зависит только от начала (Рм Рй и конца ()т, Р) пути, т.
е. после фикся. . роваиия одной из этих точек, например (Уь, Раь 5 стаиовится функцией состояния (у, Р) рассматриваемой системы, Эта фуикция называется энтропией системы, а Выведите отсюда, что форма ю= — является точной, причем ю д5 30 Т Ь. Используя указанный в задаче б $ 1 гл. ХП! вид формы 30 для идеальиого газа„кайдите энтропию идеального газа. $4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
