В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Как мы знаем; поверхность локально илн в целом задается параметрическн Пусть ср: (l '- 5 = ср((1) с: 0 — параметризованная гладкая поверхность В области О, а в — форма в О. Тогда форму в можно перенести л область (1 параметров и записать.р»в в координатном виде в соответствии с установленным выше алгоритмом. Ярко, что получаемая при.этом в (1 форма ср»в совпадает с формой р» (в !Е). Заметим, что коль скоро р'(1): Т(11-эТ5„в любой точке 1ее (1 есть изоморфизм между Т(11 и Т5„то можно переносить формы как с 5 на (1, так и с (1 на 5, поэтому как сами гладкиу поверхности обычно задают локально нли н целом параметрически, так и формы на них а конечном счете обычно задают в областях изменения параметров локальных карт.
Пример 16. Пусть вс — рассмотренная в примере 8 форма потока, порожденная векторным полем скоростей течения (с в области О ориентированного евклидова пространства (чз. Если 5 — гладкая ориентированная поверхность в О, то можно рассмотреть сужение в". )х формы вт на 5. Получаемая при этом фОРМа Сот!Х ХаРаКтЕРИЗУЕт ПОТОК ЧЕРЕЗ КажДЫй ЭЛЕМЕНТ ПОВЕРХ- ности 5. Если ср: 1 — 5 — локальная карта поверхности 5, то, сделав замену переменных х= ср(1) в координатном выражении (12) формы ву, получим координатное выражение определенной на квадрате 1 формы 4р»в', = ср» (в'Р!х) в данных локальных' координатах поверхности. Пример 17. Пусть вр — рассмотренная в примере 7 форма работы, порожденная действующим в области 0 евклидова пространства полем сил сч.
Пусть ср: 1- р(1) с: 0 — гладкий путь (ср — не обязательно.гомеоморфизм). Тогда в соответствии с общим принципом сужения и переноса форм на отрезке 1 возникаег форма ф»вг, координатное представление а(1)с(( которой можно получить, выполнив замену переменных х=ср(1)' в координатном выражении (11) формы ве. Зидзчи и упражиеиия 1. Вычислите значения приведенных ниже диффереицизльиых форм в в П» из укзэзииых наборах векторов: з. в=»14(»1 из векторе $=(1, 2, 3) в Т)Ч1», Ь.
в = дх' Л сй'+х1 дхз Л дх4 из упорядочейногс паре векторов $„ 14 ш в ТП~4 . 4. 4» где 31=( — 1, О, 1, !), 11 — — (О, — 1, О, 1).' с в»=31, где 1 х1+2хз+...+лх", з с=(1, — ! ..., ( — 1)" 1] в в ТД!»! сс, 2. з. Проверьте, что форма дх ' Л ... Л дх ь тождественно равна нулю, если ИЕ ЗСЕ ИНДЕКСЫ С,, 11 РаЗЛИЧНЫ... Ь.
Обьясиите, почему из и-мериом векторном пространстве иет отличных от нуля кососимметрических форм степени р) л. с. Упростите запись формы, эздзииой з виде 24(хс Л дхз Л дхз+ 3»хс Л дхс Л дхз — дхс Л дхт Л дх». б. Раскройте скобки и приведите подобные члены (х1 дхз+ хз дх1) Л (хз 4Сх1 Л дхз+хз дхс Л дхз + х» Ехт Л дхз). е. Форму д1 Л ау, где 1 1и(!+!х(т), Е=зсп!х(, х=(х», хз, хз), запишите . ввиде комбяизпии форм ах)1 Л дхс', 1(11( Сз(3. 1. Проверьте, что в (2» д(4 Л ...
Л с(1» (х)=бес( — ~(х) дхс Л ...Л Ь". сд14 ) Е. Проведите все выкладки и покажите, что при 1 (й(л д1' д1' дхс! дхть 4» Л ... Л 311 = 1)' дес дх ' Л ... Л ах "° 311 д1" !<С СС (.х (С <» д„'з 3. з. Покажите, что форма а четной степеии яоммутирует с любой формой В, т. е. а Л (1=!) Л а. Ь. Пусть в = ~3 ~дрс Л дус и в» =в Л ... Л в (л рзз) Проверьте, что С=с » сл — !) в" =л! др! Л дс)4 Л ... Л др» Л 34)»=( — 1) 1 дрс Л ... Л др» Л ддс Л ... Л сЦ». 4. з. Форму в=с)1, где /(х) (х»)-1-(хз)'-1-...-1-(х»)", рзпишите в виде комбинации форм дх», ..., дх» и найдите дифференциал дв формы в. Ь. Проверьте, что для любой функции 1в С'и (Р, П), д»1шо, где аз= =д.с(, з д — оператор внешнего диффереицярпззния. е.
Покажите, 'что если коэффициенты а с (х) формы в=а (х)х 1- Л 114- 1ь сь )сдх ' л ... л ссх ь прииздлежзт классу сч (Р, !И), то 4рв ев О и области Р. усЬ вЂ” хду б. Найдите внешний дифференциал формы з области ее опре- я'+ у' деления. 6. если под знаком кратного иитегрзлз 1 1 (х) дх»... дх" произведение дх1 ... 1ь» о понимать кзк форму с(хс Л ...
Л ах», то, соглзсно реэультзту,примерз 14, у изс будет возможность формально получать подыятегрзльиые выражения. формулы замены переменных з кратном интеграле. Выполните, согласно втой рекомеидзции, переход от декартовых координат: з) к полярным координатам з дз, Ь) к цилиидрическим координатам з 124, с) к сферическим координатам в (31. Э.
Найдите сужение формы: з. ссх' из гиперплоскость х' = 1. Ь. дх Л ду из кривую х=х(С), у=у (С). а( С( Ь. с. дх Л ду из плоскость в (11, задаваемую уравнением х с. б. ду Л ей+си Л сй+1Ь Л с(у из грани стзидзртиого единичного куба В-Яз. е. в; дх» Л..ГЛс(хс-с Л йс Л4Ь)11Л ... Л4(х» из грани стзидзртиого едииичиого куба и П»; зизк стоит изд дифференциалом дхс, который зыбрзсы. изется из написанного произведения. 7, Выразите в сферических координатах Дз сужение следующих форм из сферу радиуса Сс с центром з начале координат: Гл. ХП.
ПОВЕРХНОСТИ И ФОРМЫ В и н. дж Ь. дд. с. ирЛ ие. 8. Отображение йн Ие-ьПь ведено в виде (и, о) ь-ь (и ° о, !)=(л, у) Найдите: в, ~р" (дх).. Ь р (дд). с. ~р* (рдх). 9. ПрОВЕрЬтЕ, ЧтО ВНЕШНИЙ днффсрСНПИВЛ д; Г!Р(0) — ьгтнтт(!1) ббЛВднст следующими свойствами: в. и (в, + ее) = дв, -(- дв,. Ь.
д(в, Л в,)=дв, Л в,+( — !) е "'в,Л дев где дейв,— степень фоРмы в,, с. Че ен РР д (де) =О. п б У1 0е д)=ну, — 1д~'. чч д1 я~~ дл' г=! Покажите, что отображение ье ОР(1!)-ь ОРИ(0), обладающее свойствами в, Ь, с, д, единственно. 1О. Проверьте, что отображение в*; !)я (Р) - ОР (!/), отвечающее отображению <р: У- Р, обладает следующими свойствами: в.
Ф* (в, +в,)=в'в,+в*ее. Ь ф' (в~ Л ьь)= фчвг Л фчве с. Йр*е=в*де.. блЕсли еще имеется отображение ф Г-ь йг, то (ф ° ~р)'=~р* ф*. ГЛАВА Х1П КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ $1. Интеграл аг дифференциальной формы !. Исходные задачи, наводящие соображения, примеры. а. Работа поля. Пусть гт(х) — непрерывное векторное поле сил, действующих в области С евклидова пространства !с".
Перемещение пробной частицы в поле связано с совершением работы. Требуется вычислить работу, совершаемую полем, при перемещении единичной пробной частицы по заданной траектории, точнее, вдоль гладкого пути у: 1- у(1) с:6. Мы уже касались этого вопроса, рассматривая приложения определенного интеграла, поэтому здесь можно лишь напомнить решение задачи, отмечая некоторые характерные н полезные для дальнейшего элементы коиструк- Ф ции.
г Известно, что в постоянном поле гт перемещение на вектор $ свя- а,. =х1г',1 вано с работой равной (Р 4). Пусть 1 х (1) — оп ределенное на отрезке 1=(1 ееР,'а =1(Ь) гладкое отображение у: 1-ь С. Возьмем достаточно мелкое разбиение отрезка [а, Ь|. Тогда на каждом промежутке 1;=(1 ее 1! г ен1!1; г =1~1!) разбиения с точностью до бесконечно малых более Рис. 83. высокого порядка выполняется равенство х(1) — х(1!) х'(1;)(1 — 1;). Вектору т;=1;+т — 1; смещения из 1; в 1ьм (рис. 83) в пространстве Я" отвечает перемещение из точки х(1г) на вектор Ах,=х;„т — хь который с указанной погрешностью можно считать совпадающим с вектором $; = х (1Д тг, ' касательным к траектории в точке х(1,). Ввиду непрерывности поли г (х), его можно считать локально постоянным, и потому работу ЬАь отвечающую промежутку (времени) 1;, можно с малой .относительной погрешностью вычислять в виде АА; — (гт(х!), $!) '14 Гл.
ХП1. КРИВОЛИНЕИНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ $1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОИ ФОРМЫ 21, или ЛА! — (Р(х (!!)), х ((!) т!). А = '5„' ЛА1=~(Р(х(Г!)), х(11)) Л!ь 1 1 Значит, откуда, переходя к пределу при измельчании разбиения ртрезка 1, получаем, что ь А =$(Р(х(1)), х(1)) з(!. (1) а Если выражение (Р(х(!)), х(1)) ь(! переписать в виде (Р(х), ь(х), то, считая координаты в (с"'декартовыми, ему можно придать Внд Р1 Ь(Х1+...+ Р" С(Хл, ПОСЛЕ ЧЕГО фОрчуЛу (1) МОЖНО ЗаннеатЬ КаК А = ~ Р1 ах! +... + Рл с(хл (2) или как 1оь — 1 Д, Г зп У~х+х "У Г вЂ” з!п!( — 21п!)+(2+соз!)соз! хо+Уз ) (2+О !)з+зыз! Та 7з о +2с1е1ил( Г 1+2 соз! ~~ (' 1+2 осе(2п и) 5+2соз! 1 5+2 соз! +) 5-1-2соз(2п — и)!(и 1+2 осе! 1' 1+2сози 5+ 2 осе ! ! 5+ 2 осе А = ~оь'„ (2'1 Точный смысл написанным в (2) и (2') интегралам от 1-формь~ работы йдоль пути у придает формула (1).
Пример !. Рассмотрим поле сил Р хз+ уз ' хз+ уз! ' определенное во всех точках плоскости )сз, кроме начала коор. динат. Вычислим работу этого поля вдоль кривой уо заданной в виде х= соз 1, у = зьп1, 0 ~1~ 2п, и вдоль кривой у„задан ной соотношениями х=2+соз(, у=з(п(, О~!(2п. В соответствии с формулами (1), (2)„(2') находим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
