В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 46
Текст из файла (страница 46)
(16) дх' дх«ддхл О градиенте скалярного поля мы в свое время уже говорили. Не останавливаясь пока на физическом содержании ротора и дивергенции векторного поля, отметим лишь связь этих классических операторов теории поля с операцией дифференцирования В евклидовом пространстве 1,)х между векторными полями и один- и два-фо ма -формами имеется взаимно однозначное соответствие Г «)р=(Р, ), У о)У=(У: ' ').
Заметим также, что любая 3-форма в области 0 с- 1,)х имеет вид р(х,х, ) х ( ' ' х') дх) л дх' л дх'. Учитывая эти обстоятельства, можно , д!и У; ввести следующие определения для йгад), го! Р; гн У: а)'(=() ди)л(=Щ)=а)е й~:=Ягад(, (14') Примеры 9, 11, 12 показывают, что при этом в декартовых координатах мы приходим к выписанным выше выражениям (14), (15), (16) для йгад), го1 Р; д!и У. Таким образом, перечисленные операторы теори ы теории поля можно рассматривать как конкретные проявления операции дифференцирования внешних форм, которая выполи яется единообразно на формах любой степени.
Подробнее в гл. Х!У. о градиенте, роторе и дивергенции будет сказано в гл. зо 3 В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ Гл. ХП, ПОВЕРХНОСТИ И ФОРМЫ В Е 4. Перенос векторов и форм при отображениях. Посмотрим внимательнее на то, что происходит с функциями (О-формамн) прн отображении областей. Пусть 1р: (7 — ь У вЂ” отображение области (! ~ Р" в область У с Р. Под действием отображения р каждая точка ! еп (! переходит в определенную точку х=1р(!) области У.
Если на У определена функция 7, то благодаря отображению 1р: (7-+У на области (! естественно возникает полученная из / функция 91*1, которая определяется равенством (Р*!) (!):= Ич (!)) т. е. чтобы найти значение 1р*7' в точке ! ~(! надо отправить ! в точку х=1р(!) еи У н вычислить там значение фуикции !. Таким образом, если пРи отображении йп (7-ь У точки области (! переходят в точки области У, то'множество определенных на У функций под действ%ем построенного соответствия ! отображается (в обратную сторону) в множество функций, определенных на (!. » Иными словами, мы показали, что при отображении йи (7-ьУ естественно возникает отображение 1р*: ь)о(У)-ьь)о((!), которое преобразует заданные на У нуль-формы в нуль-формы, определенные на (7.
Рассмотрим теперь общий случай переноса форм любой степени. Пусть 91: (! -~- У вЂ” гладкое отображение области (7 ~ (х! в область У с: )к",, 1р' (!): Т(71 -и. ТУ„1,1.— соответствующее 1р отображение касательных пространств, и пусть оз — некоторая р-форма в области У. Тогда форме то в области (7 можно сопоставить р-форму Чзчот, которая в.точке ! ее (! на.наборе векторов тм ..., т»ее Т(71 определяется равенством Р*ы(!)(тт, " * ):= от(Р(!))(1р'(!) тт, ", р'(!) Х») (17) Таким образом, каждому гладкому отображению йе 17-эУ соответствует отображение 1рь: 11» (У) -э 1з» ((7), которое переносит заданные на У формы в область (!. Из соотношения (17), очевидно, следует, что 1р (от +от')=19 (от )+19*(1о ), (18) 1рч (Лот) = Л1р*от, если Л е=- Р.
, (19) Вспомнив закон (ф 1р)'=ф' ° 1р' дифференцирования композиции отображений 1р:. (7 — «У, ф: У-э%', нз (17) заключаем дополнительно, что (ф ~)*=р* ф* (20) (естественный обратный ход: иомпозиция отображений 4*: и (й7) и (У), р*: а (У) и (и)). до и). (З„В,) = т(х! л с(хи ($1, Ез) = (по ! суммирование от 1 Таким образом, 91*от(!) (Хм тз):= оз (1Р (!)) ахп ь , '1' д!т* а"* 1., д!!' дхп — т,' ! д!!' дх1' — тз' дй' д!1' д!П ~тз! тз! !7 Ь !ч=1 У д",' ~~.'1((! лт((1*(тт, тз) = др' днч !. 6=1 !1дх~' дх!' дхх, ох'* ) ((1, (!1, (, 1д!! д!1' двч д!!'! 1<1,с1,<т дх1' дх!' дй' дрн дх!' дх ' др' др' (!) 1((1~ д щ!в (тт, тз).
1а.1,<!.< ч Следовательно, мы показали, что д(х1', х') ~ч(т(х1 д т(~1*) '5' д("' " ) (!),~(1, ~,((!. В 1~!юС!аа: и Е оспользоваться свойствами (18) и (19) операции пересли воспо носа ч орм ф *) и повторить проведенную в последнем р ре *) Если (19) использовать поточсчно, то видно, что 1»* (а (х) Ф) = а (1» (!)) 1р*ьь Посмотрим теперь, каи практически осуществляется перенос форм.
= х' т(х'* П- имер 13. В области У ~(с" ,возьмем 2-форму от=с(х дт(х . =Х1((1, ..., !'") 1=1 ... п,— координатная запись отображения йи (7-эУ области (7 с: К! в 1'. Мы хотим найти координатное представление формы 91»от в (7 и векторы т„т, пиТ(7!. В пространстве ТУ„О им отвечают векторы $1=1р'(!)Хм $з=<р ()тз координаты (91„..., $;), ($1„..., $1) которых выражаются через коор(', ... ") (т ... т ) векторов.ти т, с помощью дниатЫ (т1, ° . ° Х1 1~ тих ° з З матрицы Якоби по формулам Р = — (!) ! У = — (!)Хз1, 1'=1, „,, и и Гл ХН ПОВЕРХНОСТИ И ФОРМЫ В Ел выкладку в общем виде, то получим следующее равенство: ЧФ 1' 2", а; ., (х) йх<с Л ...Пйхср)= 'сс ««...
<с <л '1" р Р <<<с<".</ <т Р (21) Заметим, что если в форме, стоящей здесь под знаком ф', формально сделать замену х = х (/), выразить дифференциалы йхс, ..., йх" через дифференциалы й/с, ..., й/ и упростить полу- ченное выражение, пользуясь свойствами внешнего произведения, то мы как раз и получим правую часть равенства (21). Действительно, для каждого фиксированного набора индексов с<Я "°, ср а< с (х) йхй л л сХхе 1" Р / / = а«(х(1)) ~ —.й( ) л... л ~ —.й( «~= Iдх< / дхр с С дг'с дЕ Р <, дх' дх Р =ас, с (х(1)) —,.
"... —.й/' л ... л й//Р = дй< д< Р д(х', ..., хр1 / а;, (х (1)) * "' ', ' й/~< л ... л йс/Р. Суммируя такие равенства по всем упорядоченным наборам 1«= ~ сс (... - с — и, получаем правую часть соотношения (21). Таким образом, мы доказали следующее важное в техническом отношении Утвержден не. Если в область У с: Р задана диффгргнсисальная форма са, а ср: (/-Р У вЂ” гладков отображение области (/ с: 1с- в У, то координатная запись формы <р*сь может быть получена из координатной записи ас, „; (х) йх'< л ... л йх'Р ««< ..<с <л Р ~рр (йхс л...
Л йхл) = йе1 <р' (1) й/с л ...л йсл. (22) формы сь прямой заменой пгргмгнных х = ср (1) (с послгдусощим .преобразованием в соответствии со свойсп<вами внешнего произведения). Пример !4. В частности, если пс=п=р, то соотношение (21) сводится к равенству 5 Е ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 20! Значит, если под знаком кратного интеграла вместо /(х)йх'... ...йхл писать /(х) йх' л... л йх", то формула /(х)йх= ~/(<р(1)) с1е1<р (/) йс с' = Ф < ш и замены переменных в кратном интеграле при сохраняющих ориентацию диффеоморфизмах (т.
е. при йе1<р'(1))0) получалась бы. автоматически формальной подстановкой х=<р(1), подобно тому, как это имело место в одномерном случае, и ей можно было бы придать следующий вид: 1 =) р*. (23) ,с<и> и Заметим в заключение, что если степень р взятой в области Ус:~"„формы сь больше, чем размерность пс области (/с:.Р', которая отображается посредством йе (/-з- У в область У„то соответствующая <В на (/ форма <р*сь, очевидно, окажется нулевой. Таким образом, отображение ср*: Ю<(У)-~ЯР((/), вообще гбворя, не обязано быть инъективным.
С другой стороны, если ср: (/ -Р; У имеет гладкое обратное' отображение <р-'. У - (/, то в силу соотношения (20) и равенств <р-'ср =си, <р ° ср-< =гр получаем, что (ср)" ° (<р-с)* = Ей, (ср ')' ° ФФ = =ар, и поскольку гй и гр — тождественные отображения 11Р((/) и 11 р (У) соответственно, то отображения <р*: 11 р (1/) -Р- ОР ((/), (ср-')": 1<Р((/)-+-Г)Р(У), как и следовало ожидать, оказываются взаимно обратными.
То есть в этом случае отображение Г)Р(У) <- ПР((/) биективно. Отметим, наконец, что наряду с уже указанными выше свойствами (18) — (20) отображение <рч переноса форм, как можно проверить, удовлетворяет также соотношению Ч'Ф (й )="(<р"св) (24) Это принципиально важное равенство показывает, в част<<ости, что определенная нами в координатном виде операция дифференцирования форм на самом деле не зависит от выбора системы координат, в которой записана дифференцируемая форма со. Подробнее это будет обсуждаться в гл. ХН.
5. Формы на поверхностях. 'Оп реде Лен не 3, Говорят, что на гладкой поверхности Я с: 1с" задана диффгргн<(иальная р-форма сь, если в каждой точке к~ 8 на векторах касательной к Я плоскости ТЗ„определена р-форма сь (х). Пример 15. Если гладкая поверхность 3 лежит в области 0 с-К", в которой определена форма св, то поскольку в любой точке хек Я имеет место включение ТБ с Т0„можно рассмотреть сужение формы <В(х) на ТЗ„. Так на Я возникает форма 4 з диФФеРеицилльиые ФОРмы 1О ГЛ. Хц. ПОВЕРХНОСТИ И ФОРМЫ В И в)х, которую естественно назвать сужением 4ю)смы в на поверхноепсь 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
