В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 41
Текст из файла (страница 41)
П р и м е р 2. 'Замкнутый куб Р в Я» по лучам, исходящим из его центра, 1 можно гомеоморфно преобразовать в .замкнутый шар В". Следовательно, Р, как и В", есть и-мерная поверхность с краем, который в данном случае образован гранями куба (рис. 78). Рис. 78. Отметим, что на ребрах, являющихся пересечениями граней, никакое отображение куба на шар, очевидно, не мржет быть регулярным .(т. е. гладким и ранга и).
Пример 3. Если лист Мебиуса получать описанным в примере б, $ ! склеиванием двух противоположных сторон теперь уже замкнутого прямоугольника, то, очевидно, в 1«» получится !88 Гл. ХП.-ПОВЕРХНОСТИ И ФОРМЫ В Р» З 3 КРАЙ ПОВЕРХНОСТИ а. Рис. 80. Рис, 79, ?(»») = О ... О дф» др дф» д»!»3 д»(»» дР др "' д!л д»)» д»!»» д!» "' д!» д»ь» д»1» др "' д!» д~» д»!»» дф» да др '" д!» Рас. 81 поверхность с краем, причем ее край гомеоморфен окружности (правда, заузленной в Р). При другой возможной склейке этих же сторон получится цилиндрическая поверхность, край которой состоит из двух окруж. настей.
Зта поверхность гомеоморфна обычному плоскому кольцу (см. рис. ?1 к примеру б, 8 1). На рис. ?9, а, Ь, 80, а; Ь, 81, а, Ь, которые мы используем в дальнейшем, изображены попарно гомеоморфные поверхности с краем, лежащие в Р и Р. Как видно, край поверхности может оказаться несвязным, даже если сама поверхность была связной. 2. Согласование ориентации поверхности и края. Если в евклидовом пространстве Р фиксирован ориентирующий орторепер е„ ..., еы который индуцирует в Р декартовы координаты х',... ..., х', то векторы ем ..., в, на краю дН» =Р-! полупространства' Н»=(Х~Р!Х»(0) задают ориентацию, которую считают согласованной с заданной. репером е„е», ..., в„ориентацией полупространства Н'. Мы хотим теперь в общем случае определить, что значит согласованность ориентации поверхности и края.'Это весьма важно для практики вычислений, связанных с поверхностными интегралами, о которых будет речь нйже.
Прежде всего убедимся в том, что имеет место следующее общее Утверждение 2. Край д5 гладкой ориентируемой поверхности 5 сам является гладкой ориентируемой поверхностью (быть может, и несвязной). 4 С учетом утверждения 1 нам остается только проверить ориентируемость д5. Покажем, что если А(5)=((Н», фи (?!))() ()((Р, »Рм (?Д вЂ” ориентирующий атлас поверхности с краем 5, то» атлас А (85) =((Р ', ф!1»нл,»-», д(?!)) края тоже состоит из попарно согласованных карт. Для этого, очевидно, достаточно проверить, что если 1 = ф(1) есть диффеоморфизм с положительным якобианом окрестности (?»(1») в Н' точки 1»ендН» н окрестность 0н(1») в Н» точки 1»ен дН', то положительный як»- биан имеет также отображение ф!во и,! окрестности (?гн»(1») = н =д(?»(1») в дН» точки 1» на окрестность (?гн»(?»)=дбн»(~» в дН' точки Г»='»Р(1») Заметим, что в любой точке 1»=(0, 1'„....
1»)вндН» якобиан отображения ф имеет вид поскольку при 1»=0 должно быть также »»=ф! (О, 1», ..., 1») =! (граничные точки переходят при диффеоморфизме в граничные. Остается заметить, что при 1»(0 должно'быть также 1»= = ф»(1», 1», ..., 1») <О (ведь ?=ф(1) ~ Н»), поэтому значени. дт (О, 1» ..., 1») не может быть отрицательным. По условин. да ?(г»)) О, и раз д!Р» (О, 1», ..., !») »О, то из указанного равенства определителей следует, что якобиан отображения ф !»и „= =ф(0, 1», ..., 1») положителен.
~ О п р е д е л е н и е 3. Если А (5) = ((Н», ч»ь (?!)) () ((Р. фм (?~) )— ориентирующий атлас стандартных локальных карт поверхности 5 с краем д5, то А(д5)=((Р », ф!1гн»»-», д(?!)) есть ориентирующий атлас края. Задаваемая им ориентация края д5 называется ориентацией края, согласованной с ориентацией поверхности. Заканчивая рассмотрение ориентации края ориентнруемой поверхности, сделаем два полезных замечания. Гл. ХП. ПОВЕРХНООТИ И ФОРМЫ В»С' Замечание 1.
На На практике, как уже отмечалось выше, ориентацию лежащей В Р," щ " Р поверхности часто задают репером касательных к позе хности ве р векторов, поэтому. проверку согласованности ориентации поверхности и ее края в этом случае осуществляют следующим образом. Берут й-мерную плоскость Т5„„ касательную к гладкой поверхности 5 в точке хе края д5. Поскольку локально структура поверхности 5 около точки хе такая же,.
как и структура полупространства Н' около точки 0 ен дН», то, направив первый вектор ориентирующего 5 орторепер „, по нормали к д5 и в сторону внешнюю по отношению к локальной проекции 5 н Т5 „ а „„получают в (я — 1)- мерной плоскости Тд5„., касательной к д5 ой к в точке х„ репер $я, ..., е», который и задает ориентацию Т д5 „ а значит, и д5, согласованную с заданной репером поверхности 5. На рис.
77 — 80 на. . простых примерах показаны процесс и ' результат согласования ориентаций поверхностр и ее к ая. Отметим, что оп писанная схема, по существу. предполагает края. что на 5 возможно за ан ных прост аиста Т дание непрерывного поля реперов касательр 5, х ~ 5, поскольку мы должны иметь воз-' можность переносить задающий ориентацию 5 репер в разные точки поверхности и ее края, который, как видно из п нме ов, Замечание -2. В ориентированном пространстве Р рассмотрим полупространства Н» = Н» = (х ~ Р ! х' -с О) Н» = 1 (О 1 0', с индуцнрованной из )ч» ориентацией.
ГиперЛегко видеть что я щим краем Н и Н». егко видеть, что ориентации гиперплоскостн Г, согласованные с ориентациями Н» и Н», противоположны. Аналогично, если 'ориентированную й-мерную .поверхность разрезать некоторой (и' — 1)-мерной поверхностью (на фе— экв то ом в ру — д. р м), то на указаином разрезе возникнут две п оположные ориентации, индуцированные ориентациями примы,кающих к разрезу частей исходной поверхности. интегралов.
Этим наблюдением часто пользуются в теории поверхностных об азом Кроме того, им можно воспользоваться, чтобы следующ р определить ориентируемость кусочно гладкой поверхности. ' им Дадим. прежде всего определение такой поверхности. Оп р еделе н не 4 (индуктивное определение кусочна гладкой поверхности). Точку условимся относить к яульмгрным пове хностям любого класса гладкости. поверх- Кусочно гладкой одномерной ловеркностью (кусочно гладкой кривой) назовем такую кривую в )с", которая после а чного или счетного числа некоторых нульмерных поверх- (кривые).
ностей (точек) распадается на гладкие одномерные поверхности !Ее я 3. КРАИ ПОВЕРХНОСТИ Поверхность 5 с: Р' размерности й назовем кусочно гладкой, если из нее можно так удалить конечное илн счетное число кусочно гладких поверхностей размерности не выше я — 1, что остаток распадется на гладкие й-мерные поверхности 5, (с краем или без края).
Пример 4. Граница плоского угла и граница квадрата суть кусочно гладкие кривые. Граница куба или граница прямого кругового конуса в 1кв суть двумерные кусочно гладкие поверхности. Вернемся теперь к ориентации кусочно гладкой поверхности, Точку (иульмерную поверхность) принято ориентировать, приписывая ей знак + или †. В частности, край отрезка [а, Ц~ 1с, состоящий цз двух точек а, 6, если отрезок ориентирован направлением от а к 6, принято согласованно (с этой ориентацией отрезка) ориентировать так: (а, †), (6, +). Рассмотрим теперь й-мерную (й)0) кусочно гладкую поверхность 5 с Я". Предположим, что две гладкие поверхности 5ьп 5ь из определения 4 кусочно гладкой поверхности 5 ориентированы и примыкают друг к другу вдоль гладкого куска Г (й — 1)-мерной поверхности (ребра). Тогда на Г, как на краю, возникают ориентации, согласованные с ориентациями 5ь и 5Н соответственно.
если эти две оРиентации на любом таком РебРеоГ ~5ь П5н пРотивоположны, то исходные ориентации 5ь и 5И считаются согласованными. В случае, если 5ьД5ь пусто или имеет размерность меньшую чем (й — 1), любые ориентации 5;„5ь считаются согла-. сованными. О и р е д е л е н и е 5. Кусочно гладкую й-мерную (я) 0) по- . верхность будем считать ориентиругмой„если с точностью до конечного или счетного числа кусочно гладких поверхностей размерности не выше (й — !) оиа является объединением гладких ориентируемых поверхностей 5„ допускающих их одновременную взаимно согласованную ориентацию. Пример 5.
Поверхность трехмерного куба, как легко проверить, является ориентируемой кусочно гладкой поверхностью. И вообще, все указанные в примере 4.кусочно гладкие поверхности ориентнруемы. Пр имер б. Лист Мебиуса легко представить в виде объединения двух ориентируемых гладких поверхностей, примыкающих по части края, однако эти поверхности нельзя ориентировать согласованно. Можно проверить, что лист Мебиуса не является ориентируемой поверхностью даже с точки зрения определения 5.
Задачи и упрамнения 1. а. Верно Аи, что край поверхности 3 с Й» есть множество 3 ~ 3, где 3 — авмыканне 3 в йя? !в вв Гл: Хп. ПОВЕРХНОСТИ И ФОРМЫ В (4 $ К ПЛОШЛДЬ ПОВЕРХНОСТИ Ь Имеют лн повеРхности 5, ((х, у) «я (?з ! ! <хз+ уз(2) 5— = ((к, у) аз П»(О(х»1-уз) крзй? с. Укажите край поверхностей 5,=((х, у) ен)?»11<к»+уз(2), 5»= = ((х, у) щ Йз ! 1 < хз+уз). 2. Приведите пример неорнентнруемай пояерхностн с орнентнруемым краем.
3. з. Кзждзя грань куба !" (хаз(4»1(х4,'<1, 4=1, ..., А) пзрзллельнз соответствующей (й — 1)-мерной координатной гнперплоскостн прострзн. сгзз (?», поэтому з грани можно рзссматреть тот же репер н ту же систему хоордннзт, что н э втой гнперплоскостн. Укажите, з каких грзнях получающзяся прн этом орнентзцня соглэсуется с орнентзцней'куб» 1», яндуцнроззнной ориентацией »4», з з каких не согЛасуется. Рззбернте паследоззтельна случаи а=2, » 3 н»=п. Ь. В некоторой облзстн полусферы 5 ((х, у, г) ен (?з ! х'+ Уз+ г' = =1 /( г»о) действует локальная карта (П, 1~)~-«.(з!п1»созгз, япп з!П1», соя )4), з з некоторой области края д5 этой полусферы действует локальная . карта 1»- (сгп 1, з!п 1, О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
