В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Отображение !р: 1(ь-ьУ с=5, осуществляющее указанный в определении поверхности гомеоморфизм, называегся картой или локальной картой поверхности 5; 1,зг— областью параметров, а (1 — районом или областью действия карти на поверхности 8. Локальная карта вводит в (/ криволинейные координаты, сопоставляя точке х= <р (1) ы (( числовой набор 1= ((з, ..., 1!') ен Р. ' Из определения поверхности видно, что совокупность описываемых им объектов 3 не изменится, если в нем !Ка заменить любым - гомеоморфным 1(ь топологическим пространством. Чаще всего вместо Р за стандартную область параметров локальных карт э) Под окрестностью точки х!ил <= 1(Я в множестве Я, как и прежде, понимается множество Ув(х) Я()У(х), где У(х) окрестность х в Пэ.
По. скольку в дальнейшем речь будет только об окрестностях точки на поверхности, для упрощения обозначений, если не возникает недоразумений, мы пишем У нлн У(х) вместо Ув(х). ") На З~ П», а значит, и на У <= Ю имеется естественная, индуцнрован. ная нз Ия метрика, поэгому можно говорить о топологическом-отображении УвП. % «.
ПОВЕРХНОСТЬ В Й" 16 гл. хн. поверхности и оормы в Р" 166 «р: 1ь-ь-(1 с 5 х' = «р' (1«, ..., /а), ха=«рь(1«, ..., 1а), хам <рам (1« ха,рл (Р (а) 1«=/«(х', ..., ха), Р =/" (х', ..., х"), ха+'=/ьь'(х', ..., х"), х'=/" (х', ..., х'). принимают открытый куб Р или открытый шар В"'в Р. Но это чистая условность. Для проведения некоторых аналогий и в целях большей наглядности ряда последующих построений мы, как правило, в качестве 'канонической области параметров локальных карт поверхности будем брать куб Р. .
Итак, карта локально дает параметрическое уравнение х = «р(1) поверхности 5 ~ 1«", а сама й-мерная поверхность, таким образом, локально устроена как продеформироваяный стандартный Й-мерный про'межуток Р с= Р. Для вычислительных целей, как будет видно из дальнейшего, параметрическое задание поверхности особенно важно.
Иногда всю поверхность можно задать всего лишь одной картой. Такую поверхность обычно называют элементарной. Например, график в- Р" непрерывной функции /: 1а-ь.(ч является элементарной поверхностью. Однако элементарность поверхности скорее исключение, чем правило. Например, обычную нашу двумерную земную сферу уже нельзя задать только одной картой. В атласе поверхности Земли должны быть по- крайней мере две карты (см.
задачу 4 в конце параграфа). В соответствии с возникшей аналогией примем О и р е д.е л е н и е 3. Набор А (5): = («р«. 1« -ь (1«, 1 ~ 1ч)- локальных карт поверхнбсти 5, районы действия которых в совокупности покрывают всю поверхность ~т. е. 5 = (/ (/«), 'называется атласом поверхности В. Объединение двух атласов одной и той же поверхности, очевидно, тоже является атласом этой поверхности. Если на отображения (1) — локальные параметрические уравнения поверхности — не накладывать других ограничений, кроме того, что это должны быть гомеоморфизмы, то новерхность в !!с' может оказаться расположенной весьма странно. Например, может .
случиться, что гомеоморфная двумерной сфере поверхность, т. е. топологически — сфера, лежит в (~а, но ограничиваемая ею область не гомеоморфна шару (так называемая-рогатая сфера ')). Чтобы избавиться от подобных затруднений, не связанных с существом рассматриваемых в анализе вопросов, мы в гл. 1/1П, ?. определили гладкую й-мерную поверхность, лежащую в Р", как такое множество В с Я', что для каждой точки хе ев В найдутся ее окрестность (/ (хе) в (ч' и диффеоморфизм ф: 1/ (ха) -~ Р = ') Пример поаерхиости, о которой идет йечь, бмл построен Алексаидером. Д., У. Ахексаидер (1888 — 1971) — америкаиский математик.тополог. = (1 вне~ !1« ~(!, «=1, ..., и), при котором множество 1/з (ха): = В П 1/ (х,) 'преобразуется в куб Р = 1' П (1 ен Р ~ /ь+« =... ...=1" =0).
Ясно, что гладкая в этом смысле поверхность является поверхностью в смысле определения 1, поскольку отображения х = = «р-«(1«, ..., Р, О, ..., О) =«р(/«...,, Р), очевидно, задают локальную параметризацию поверхности. Обратное, как следует из упомянутого выше примера рогатой сферы, вообще говоря, не имеет места, даже если «р просто гомеоморфизмы. Однако если отображения (1) достаточно регулярны, то понятие поверхности в прежнем и новом определении на самом-то деле совпадают. По существу, это уже было показано в примере 8 из 8 ? гл. НП, но учитывая важность вопроса, сформулируем утверждение точно и напомним, как получается ответ. Утверждение.
Если отображение (1) принадлежит классу С«Ю (Р, И") и в каждой точке куба Р имеет максимально возможный ранг й, то найдутся число е)0 и такой диффеоморфизм «р,: 1а"-~)с" куба 1,":= (1ен Й" ~ ~ 1«1(е, «1, ..., п) размерности и в пространство И", что Ч«~ а л=«ре! ап/ . Иными словами, утверждается, что при указанных условиях отображения (1) локально являются сужениями на /с-мерные кубы 1а:='Р() 1," диффеоморфизмов полномерных кубов 1,"/ 4 Положим для определенности, что уже первые й из и координатных функций х«=«р«(1«, ..., /а), 1=1, ..., п, отображе.ния х= р(1) таковы, что де! ~ — 1(0) чь0, «', / 1, ..., й; Тогда / дф«1 в силу теоремы о неявной функции соотношения около точки (1е, ха)=(0, «р(0)) эквивалентны соотношениям 70 Гл.
хп, пОВеРхнОсти и ФОРмы В (с Отображение 6 (х', х') (8) при фиксированном значении г) 0 является диффеоморфизмом на любом промежутке вида 62(6 л 62+2п и двух карт (например, отвечающих значениям 9,=0 и 9,= — и) достаточно, чтобы составить атлас окружности. Одной канонической картой (1) здесь обойтись нельзя хотя бы потому, что окружность — компакт, в отличие от Р или -1'"=8', а свойство топологического пространства быть компактом инва- риантно относительно топологических преобразований. Полярные (сферические) координаты могут быть использованы и для параметризации двумерной сферы (х1)й+ (хй)2+ (хй)2 г2— в Р.
Обозначая через ф угол между направлением вектора (х', х', хй) и направлением оси Охи (т. е. 0(ф =и), а через ср— полярный угол проекции радиус-вектора (х', х', хй) на плоскость (х', хй), получаем х'=гсозф, хи=гз1пф з)п 1р, х' = г 2 1п ф соз 1р. В общем случае полярные координаты (г, 81, ..., 6,) в И" вводятся соотношениями х'=гсов В„ хй = г з(п 81 соз.б„ (4) х й=гз(пб,з(пб,....
21ПВ„' 2 сов 9„м х" = г з(п 8, з(п В, ... 21п 9„2 з(п б„м Напомним якобиан (5) яерехода (4) от общих полярных ксюрдинат (г, 8„..., 8„,) к декартовым координатам (тй, ..., х") в Р". Из выражения якобиана видно, что ои отличен от нуля, если, например, 0 ~ ~рй ~ и, 1 1, ..., п — 2 и г'- О. Значит, даже не ссылаясь на простой геометрический смысл параметров 8„ ..., 6„ „ можно гарантировать, что при фиксированном г) 0 отображение (8„ ..., 8„ 2) (х', ..., х") как сужение локального диффеоморфизма (г, В„ ... ..., 9„ 2) (х', ..., х") само локально диффеоморфно. Но сфера однородна относительно группы ортогональных преобразований )с", поэтому отсюда уже следует возможность построения локальной карты для окрестности любой точки сферы.
П р и м е р 3. Цилиндр (х')'+... + (х")' = г' (г'~ 0), $1, ПОВЕРХНОСТЬ В 2С" < х = (6+ а соз ф) соз 1р, у=(Ь+асозф) з(п19, г =аз(пф, где ф — угловой параметр на исходной окружности †меридиа, а 16 — угловой параметр на Параллели. Любую поверхность, гомеоморфную построенному тору вращения, в топологии принято называть тором (точнее, двумерным тором). Рис. 70 Рис, 69 Как видно, двумерный тор есть прямое произведение двух окружностей. Поскольку окруяпйость получается из отрезка склеиванием (отождествлением~ его концов, тор можно получить из прямого произведения отрезков, т.
е. из прямоугольника, склеиванием противоположных сторон прямоугольника по соответствующим точкам (рис.. 70). 17 при Ь(п есть (а — 1).мерная поверхность в Р", являющаяся прямым произведением (Й вЂ” 1)-мерпой сферы плоскости переменных (х', ...1 хй) и (и — й)-мерной плоскости переменных (х"", ... ..., х"). Локальная параметризация этой поверхности, очевидно, может .бытьполучена, если в качестве первых А — 1 из (и — 1) параметров (12, ..., 1"-') взять полярные координаты 8,, ..., 82 1 точки (А — 1)-мерной сферы в Р, а 12, ..., 1"-' положить равными х"', ..., х" соответственно. Пример 4.
Если в плоскости х=О пространства Р, наделенного декартовыми координатами (х, у, г), взять кривую (1-мерную поверхность), не пересекающую ось Ог, и вращать ее относительно оси Ог, то получится 2-мерная поверхность, в качестве локальных координат которой можно принять локальные координаты исходной кривой (меридиана) и, например, угол поворота (локальная координата на параллели). В .частности, если в качестве исходной кривой взять окружность радиуса а с центром в точке (Ь, О, 0), то при а ~Ь получим двумерный тор (рис. 69). Его параметрическое уравнение может быть представлено в виде 17 !72 Га.
Хп, ПОВЕРХНОСТИ И ФОРМЫ В Ы % 1. ПОВЕРХНОСТЬ В 44 В сущности, этим мы уже в свое время пользовались, когда установили, что конфигурационное пространство двойного маятника является 'двумерным тором, а движению маятника соответствует путь на торе. Г 1 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
