В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Если несобственный интеграл ~ 1(х)с(х сходится, то интеграл ~ ((1 ° !р) ( бе1ф'!)(1)Ж также а„ Р сходится и их значения совпадают. Открытое множество О, с: К можно исчерпать последовапгльностью лежащих в О, компактов Е~„йее(1, каждый нз которых является объединением конечного числа промежутков пространства (ч!' (см. в этой связи начало доказательства леммы 1 из р 5). Поскольку ф: 01-» ΄— диффеоморфизм, исчерпанию (Е!1 множества О, отвечает исчерпание (Е„") множества 0„, где Е„"= = !р(Е",) — измеримые компакты в Ох (измеримость множеств Е» следует из леммы 1, ~ 5).
В силу утверждения 1 нз ~ 5 можно записать, что $ / (х) с)х =' $ ((1 - !р) ! бе1 !р' ~) (1) 6(1. Левая часть этого равенства при й-~со по условию имеет предел. Значит, правая часть при й-+оо тоже имеет и притом тот же предел. Замечание 3. Приведенным рассуждением проверено, что стоящий в правой части последнего равенства интеграл имеет один н тот же предел при любом исчерпании О, указанного специального вида.
В дальнейшем мы будем использовать именно зту доказанную часть теоремы. Но формально для завершения доказательства сформулированного утверждения необходимо в соответствии с определением 2 проверить, что найденный 'предел существует для любого исчерпания области О,. Эту (не вполне элементарную проверку) мы оставляем читателю в качестие хорошего упражнения. Заметим только, что из доказанного уже можно извлечь сходимость неробственного интеграла от функции !1 ° ф,'2с х ! бе! !р' ~ по множеству О, (см. задачу 7). Т е о р е м а 2.
Пусть !р: О, -1- Ох — отображение открытых множеств О, и Ох. Предположим, что в О, и Ох можно указать такие множества Б„З„меры нуль, что'01",3„0„'~߄— открытые множества, а 1р диффеолюрфно отображает первое из них на гпарое. Если при этих условиях несобственный интеграл ~ 1(х) ах п.ч сходня»ся, то сходится также интеграл ~ ((! ° ф) ! бе1 !р' !) (1) Ж и их значения совпадают. Если к тому же величина ! бе! !р' ( определена и ограничена на компактных подмножествах множесп!ва О„то функция (1 ф) ~ бе! ф' ~ интегрируема в несобственном смысле по множеству О, и имеет меспю.равенство ~ ) (х) с(х = ~ (() .
ф) ~ бе1 !р' !) (1) Ш. а„ а, 4 Сформулированное утверждение является прямым следст- вием теоремы 1 настоящего параграфа и теоремы 2 из й 5, если учесть, что при отыскании несобственного интетрала по откры- тому множеству можно ограничиться рассмотрением исчерпаний, состоящих из измеримых компактов (см. зрмечание 3). Р Пример 5.
Вычислим интеграл лх лу , который (! — хч — у»)л ' хч+»чС1 при а 0 является несобственным, поскольку тогда подынтег- ральная функция неогранйчена в окрестности окружности х'+ +у»= !. Переходя к полярным координатам, по теореме 2 получаем -- =И= Вхву 1' (' гдгйр 12-"-у'). И (2-")"' х'+ р' с 1 ОСЧС»л ос ° с! При а) 0 последний интеграл тоже несобственный, но, поскольку подынтегральная функция неотрицательна, его можно вычислять как предел по специальному исчерпанию прямоуголь- ника 1=((г, !р) ее(,'6!0<ф<2п110<г<1) прямоугольниками 1,=~(г„ф) ееР)0«р<2ЛДО<г<1 — — ~, пее!!). Используя теорему Фубини, находим, что при а "1 1 1 —— 2л и (!-" гаглф .
Г Г гвг л (! —.»)л л „1 1 (! —.»)л ! — а О С Ч С 2Л ОСхС1 На основе этих же соображений можно сделать вывод, что исходный интеграл при 66~1 расходится. П р и м е р б. Покажем, что несобственный, интеграл ех !!у ! ! р+ „сходится лишь при у~лозин — + — <1. !х!+!р!>1 4 Ввиду очевидной симметрии достаточно рассмотреть инте- грал только по области О, в которой х)б, у~О и к+у~1. Ясно, что для сходимости интеграла необходимо одновремен- ное выполнение условий р)0 и д)0.
Действительно, если бы, например, было р<0, то уже для интеграла по прямоугольнику 1А=((Х, у) Ел)Ч»! ! <Х ~ АГА 0~у< 1), ЛЕжащЕМу В О, МЫ бЫ получили оценку А 1 А 1 1 и„"' -1 *),—,"," 1 ) —,„,- -») Ф, В В,А.Зорич,ч,п Г». Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ которая показывает, что при А-ь+оо этот интеграл неограни- ченно возрастает. Таким образом, в дальнейших рассмотрениях можно считать, что р)0 и «?) О.
В огранйченной части области Р подынтегральная функция не имеет особенностей, поэтому исследование сходимости нашего интеграла равносильно исследованию сходимости интеграла от той же функции, но, например, по той части 6 области Р, где ха+ уч ) а) О. Число а предполагается достаточно большим, чтобы кривая хр+уч=а при х~О, у-:0 лежала в Р« Переходя к обобщенным полярным координатам ф по формулам х= (г соз'«р)пр, у = (г з!ив ф)вгя, на основании теоремы 2 получаем з,! хи+уз р 4,),) (гр - а совр фз(па ф)г(гв(ф, а' а С Ч С прв ал,:к«СО« Используя исчерпание области ((г, «р) ер (св ! О «р < и!21!а а ~г«-оо) промежутками 1,А=!(г, ф)~Р)0с е~фмСИ/2— — ВДа - г~ А) и применяя теорему Фубини, получаем 1 ! 2, 2 ( — + — — ' — — 1фз(п--! !1(гйроо «га а Сох» '! ф? аСЧС»/2 а~ «Со» И/2 — з 2 2 А ! ! Вш ~- созр фз!па врйр В!п ~ гр ~а г(г.
в а А од » Поскольку р)0 и д)0, первый из этих пределов заведомо 1. '1 конечен, а второй конечен, лишь когда — + — "1. ~ Задачи н упражнения 1. Укажите условие на параметры р. у, при котором интеграл «(х «(у сходится. ! х ! и + ! у ! и ас1к +!и!~1 2, а. Существует ли 1!щ ! паз»в«гх? А -к+ со б ' Ь. Сходится ли интеграл ~сазх'а«х в смысле определения 2? а. Проверив, что 1!щ ! ) в1п (х'+уз) «(х «гу и «» !к(~»' 1ип ( ( и!п (хо+у') «!х «!у О, » ак«.! «ВС2»» убедитесь, что интеграл от з1п (хо+уз) по плоскости Пв расходится ээд НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 ! ! Г «(х«(у«(х 3. а.
Вычислите интеграл хручхс Ь. Следует быть осторожным, применяя теорему Фубини к несобственным (как, впрочем, н к собственным) интегралам. Покажите, что интеграл «(х«(у расходится, в то время как аба повторных интеграла (ха+ уз)в к~, у-~! +со .З и +со +со Е хв-ув !" 1" Х — У' ( в 1 в)в "у и "у ( в+ в)в "х сходятся с.
Докажите, что если г«ыС((?в, П) н )гвО-в (?в, то из сущее«новация +О» +«О +«О +сО любого из двух повторных интегралов ) «(х ) г(х, у)«гу, ) а«у ) г(х, у) «гх вытекает, что интеграл ~~)(х, у)«Гх«(у сходится и равен значению этого по зторнаго интеграла. 4.
Покажите, что если !' «п С ((?, (?), то 1 и ш — зв,, г (х) «(х = г (О). 1 «" Й ~й+ ° 5. Пусть Р— ограниченная область в (?» с гладкой границей, а 5 — гладкая й-мерная поверхность, лежащая на границе области О. Покажите, что 1 если функция (щ С(0, (!) допускает оценку ! Г!С, где «(=«Г(Я, х)— «(»-в-в ' расстояние ат точки х «и 0 до 5, а з) О, та интеграл от функции. г по области 0 сходится. Е. В дополнение к замечанию ! покажите, что оно остается .в. силе даже беэ предположения аб измеримостн множества Е. 7.
Пусть Р— открытое множество в (!», а функция й 0-«. (? интегрируема иа любом измеримом компакте, ле!кащем в Р. а) Покажите, что если несобственный интеграл от функции ! ! ! по 0 рас. ходится, то найдется такое исчерпание (Е„', множества Р, что каждое из множеств Е„является. вламентаряым компактам а Р, состоящим нз конечного числа и мерных промежутков и ) ) !Г! (х)«(х-О+аз при»-»со. е» Ь. Проверьте, что если интеграл от ) по некоторому множеству ° сходится, а от ! ! ! расходится; то должны расходиться таки«е интегралы ат !+ — (/1!+)) и à — ()!( — ~). 1 1 2 2 с.
Покажите, что полученное в а исчерпание ! Е„! можно разрядить так, что для любого п«п!4 будет выполняться соотношение ) !+(х)«(х) и»+в 'е» « ~ ! ! ! (х) «(к+ ». » б. Используя нижние интегральные суммы, покажите, что есле ~ !+ (х) «Гх> А, то найдется такой элементарный компакт Е ~ Е, состоящий из коне»ища числа промежутков, что ~)(х)«(х) А. 6» Гл. ХЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ е. Выведите из с и б, что существует такой элементарный компакт Р„~ ~ Е „!'ч,Е„, для которого А) 1(х) Ех~~ ,'('(х)ех+л.
Ю л 1. Покажите, испольауя е, что множества 6э=Рэ() Е„являются лежащими в Р элементарными компактами (т. е, состоят из конечного числа промежутков), которые в совокупности образуют исчерпание множества Р и для которых имеет место соотношение ~ 1(х) Вх -ь+оо прн л=~ оо а Таким образом, если интеграл от И ! расходится, то расходится (в смысле определения 2) и интеграл от функции 1.
3. Проведите подробно доказательство теоремы 2. ГЛАВА ХП' ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Я" В этой главе разобраны понятия поверхности, края поверхности,. согласованной ориентации поверхности и ее кран, выведена . формула для вычисления площади поверхности, лежащей в К, а также даны начальные представления о дифференциальных формах. Владение перечисленными понятиями весьма важно при работе с криволинейными и поверхностными интегралами, которым посвящена следующая глзва. $1. Поверхность в Й" Определение 1. Поверхностью размерности й (й-мерной поверхностью или й-мерным многообразием) в 1с" называется такое множество 5 ~й", каждая точка которого имеет в 5 окрестность *), гомеоморфную **) (ча. Опред'еление 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
