В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Нижним и верхним интегралом (Дарбу) от функции 1; 1-+ О( на промежутке 1 называются соответственно величины О = зпр з Ц, Р), о = 1п( 5(), Р), Р 'Где верхняя и нижняя грани берутся по всевозможным разбиениям Р промежутка 1. Из этого определения и указанного в лемме 3 свойства сумм Дарбу следует, что для любого разбиения Р промежутка имеют место неравенства з(~, Р) « == =.5(~, Р). Теорема 2 (Дарбу).
Для мобой ограниченной функции 1 — )-(к имеют место утверждения В В з(1, РРУ Вш з(1, Р)=); А(Р) о 1 (А (Р) о (В 1пп 5(~, Р))Л( 1нп 5(~, Р)=о ). А(Р) О 1 (А(Р) О 4 Если сопбставить эти утверждения с определением 11, то становится ясно, что в сущности надо лишь доказать существование указанных пределов. Проверим это для нижних интегральных сумм. Фиксируем е) 0 и такое разбиение Р, промежутка 1, для которого з(1, Ро) )Π— в. Пусть Г, †совокупнос точек промежутка 1, лежащих на границе промежутков разбиения Р,. Как следует из примера 2, Г, есть множество меры нуль.
Ввиду простоты структуры множества Г, очевидно даже, что найдется число Л, такое, что для любого разбиения Р, для которого Л(Р)«Л„сумма объемов тех его промежутков, которые имеют общие точки с Г„меньше чем е. Взяв теперь любое разбиение Р с параметром Л(Р) «Л„образуем вспомогательное разбиение Р', получаемое пересечением промежутков разбиений Р и Р,. В силу выбора разбиения Р, и свойств сумм Дарбу (лемма 6), находим Π— в «з(1, Р,) «з(1, Р') « . Теперь заметим, что в суммах з'(1, Р') и з(1, Р) общими являются все слагаемые, которые отвечают промежуткам разбиения Р, не задевающим Г,. Поэтому, если )1(х))«М на 1, то )з(1, Р') — з(1, Р)(«2МЕ и, с учетом предыдущих неравенств, таким образом находим, что прн Л(Р) «Л, имеет место соотношение Π— з(1, Р) «(2М+1) е.
Сопоставляя полученное соотношение с определением 11, заключаем, что предел 1пп з (г, Р) действительно существует и Л(Р) О равен О . Аналогичные рассуждения можно провести и для верхних сумм. Га. Х!. НРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ $ З. ИНТЕГРАЛ ПО МНОЖЕСТВУ 12' с. Критерий Дарбу интегрируемости вещественнозначной функции.
Теорема 3 (критерий Дарбу). Определенная на промежутке 1с:)с" вещественнозначная функция 1: 1-«К интегрируема на нем тогда и талька тогда, когда она ограничена на 1 и ее нижний и верхний интегралы Дарбу совладают. Итак, /евеуг(1)с=ф(1 ограничена на 1)рт(а =е ). 4 НеобхОдимость. Если /енатг (1), то по утверждению 1 функция 1 ограничена на 1. Из определения 7 интеграла, определения 11 величин е , е и п.
а) леммы 5 следует, что в этом случае также е =а . Достаточность. Поскольку з(1, Р)<о(1, Р, $) <Я(1, Р), то прн а =а крайние члены этих неравенств по теореме 2 стремятся к одному и тому же пределу, когда )с(Р) — «О. Значит, о(1; Р, $) имеет и притом тот же предел при А. (Р) — «О.
Замечание 3. Из доказательства критерия Дарбу видно, что если функция интегрируема, то ее нижний и верхний интегралы Дарбу совпадают между собой и равны значению интеграла от этой функции; Задачи н упражненкя 1. а. Пакажнте, что множество меры нуль не имеет внутреннкх точек. Ь. Покажите, что если множество не имеет внутренних точек, то зто вовсе не означает, что это множество меры нуль. с.
Постройте множество, ямеющее меру нуль, замыканне которого совпадаег со всем пространством (2а. б. Говорят, что множества Е ~ / имеет объем нуль, если для любого з) О его можно покрыть конечной системой /и ..., /з промежутков так, что з ~ ! /! ! < в. Всякое лн аграннченное множество меры нуль кмеег объем нуль? !-! Покажите, чта если множество Е <= (ч» является прямым прокзведеннем !2Не прямой й к множества е<=!2а ! (л — !)-мерной меры куль, то Е есть множество л-мерной меры нуль. 2. а.
Постройте ' аналог' фуккцнк Днркхле в !с» н покажите, что если ограниченная функция 1: / -«!й равна нулю почти во всех точках промежутка /, то это еще не означает, что /т нтг (1). Ь. Пакажнте, что если /сн нтх(/) н 1(х)=О почти во всех точках про. межутка /, то ~/(х! ах =О. 3.
Между прежним определением интеграла Римана на отрезке /~(2 н определеннем 7 нптеграла на промежутке пронзвальнай размерности имеется маленьное различие, связанное с определением разбиения н меры промежутка разбненкя Уясните для себя этот нюанс н проверьте. что )1'(х) вх=~/(х) вх, если а <Ь з )г 1 Рб ах = — ~ 1 (х) ах, если а ) Ь, а где 1 — промежуток на прямой (ч с концами а„Ь. 4. а. Локажнте, что определенная на промежутке / щ П» вещественнозначная функцня 1: 1 -«)2 кнтегрнруема на' нем тогда н только тогда„ когда для любого в ) О существует такое разбиение Р промежутка /, чта 5 (1, Р)— — з(/, Р) <е. Ь. Используя результат а к считая, что рассматривается аещественнозначная функция 1: /-«Р, можно несколько упростить доказательство крн.
терпя Ласега в разделе. относящемся к достаточности. Постарайтесь самостоятельно сделать жн упрощення. З 2. Интеграл по множеству 1. Допустимые множества. В дальнейшем нам предстоит инте-! грировать функции не только по промежутку, но и по другим' не слишком сложным множествам в Р'. Определение 1. Множество Е ~ Р' будем называть допустимым, 'если оно ограничено в )с» и его граница дЕ есть множество меры нуль (в смысле Лебега). Пример 1. Куб, тетраэдр, шар в (сз ()са).являются допустнмымн множествами. П р н м е р 2.
Пусть определенные на (п — 1)-мерном промежутке 1 с:)с' ' фуинции !р;: 1-«)ч, !'=!, 2, таковы, что гр,(х) < <.'!рз(х) в любой точке хее1. Если эти функции непрерывны, то на основании примера 2 из ч 1 можно утверждать, что об; ласть в )с", ограниченная графиками этих функций и боновой цилиндрической поверхностью, лежащей над границей д1 промежутка 1, является допустимым множеством в Р'. Напомним, что граница дЕ множества Е ~ И" состоит из точек, в любой окрестности которых имеются как точки множества Е, так и точки дополнения Е в )с . Значит,.справедлива Лемма 1. Для любых множеств Е, Ех, Е, с: Р! .
а) дŠ— замкнутое в )с' множеспмо; Ь) д(ЕТ() Ез) ~дЕ! ()дЕз,' с) д(ЕТПЕз) ~дЕг()дЕз' й) д(ЕТ~~.Ез) с- дЕ, () дЕ,. Отсюда н из определения 1 вытекает, что имеет место Лемма 2. Объединение или пересечение конечного числа допустимых множеств является допустимыл! множеством; разность допустимых множеств — тоже допустимое множество. 3 а м е ч а н и е 1. Для бесконечного количества допустимых множеств лемма 2, вообще говоря, неверна, как, впрочем, и соответствующие утверждения Ь),и с) леммы 1. Заме чан и е 2. Граница допустимого множества — не тольно замкнутое, но и ограниченное множество в Иа, т. е. это — компакт в Гс". Значит, по лемме 3 из 2 1 ее можно покрыть даже 125 А Т ИНТЬТРАЛ ПО МНОЖЕСТВУ ГР, ХЬ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ конечной системой промежутков со сколь угодно близкой к нулю суммой объемов.
"Ф Рассмотрим теперь характеристическую функцию 1' 1, если хепЕ, допустимого множества Е. Как и для любого множества Е, функ- ция Хе(х) имеет разрывы в граничных и только в граничных точках множества Е. Значит, если Š— допустимое множество, то функция Хе(х) непрерывна почти во всех точках простран- ства Р". 2. Интеграл по множеству. Пусть ! — определенная на множестве Е функция. Условимся, как и прежде, символом 1К' (х) обозначать функцию, равную 1(х) при х ~ Е и равную нулю вне Е (хотя ! вне Е не определена). О и р е д е л е и и е 2. Интеграл от функции ! по множеству Е определяется соотношением ~ 1(х) дх != ~ )Хе (х) г(х, Е I~е где 1 — произвольный промежуток, содержащий множество Е.
Если стоя((тий в правой части равенства интеграл не существует, то говорят, что 1 неинтегрируема (по Риману) на множестве Е. В противном случае ! называется интегрируемой (по Риману) на множестве Е. Совокупность интегрируемых по Риману на множестве Е функций будем обозначать символом ВЯ'(Е). Определение 2, разумеется, требует пояснения, которое доставляет Лемма 3. Если 1, и 1,— два промежутка, содержащие порознь множество Е, то интггроль! ~!Хе(х)~, ~!Хе(х)д Т, ! существуют или нв существуют одновременно, причем в первом случае их значения совпадают, Рассмотрим промежуток 1 = 1! П 1,. По условию 1:з Е.
Точки разрыва функции !Хе либо совпадают с точками разрыва функции ! иа Е, либо проистекают от разрывов функции Ке и лежат на дЕ. Во всяком случае все эти точки лежат в 1П 1,П1,. По критерию Лебега (теорема 1, 3 !) отсюда следует, что интегралы от !Хе по промежуткам 1, 1!, 1, существуют или не существуют одновременно. Если они существуют, то мы вправе выбирать разбиения 1, 1„1, по своему усмотрению, Будем поэтому брать только те разбиения промежутков !Т, 1В, которые полу- чают! я продолженнеь! разбиении промежутка 1 — 1, П 1,, Поскольку ене 1 рассматриваемая функция равна нулю, интегральные суммы, отвечаюпхие описанным разбиениям 1, и 1„сведутся к интегральной сумме соотгетстаующего разбиения промежутка 1. После предельного перехода отсюда получается, что интегралы по 1, и 1т равны интегралу от рассматриваемой функции по промежутку 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
