В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 22
Текст из файла (страница 22)
А. Зараз, ч, Н '3 Гл. Х ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ = 1, 2, 3, на ограниченных подмножествах Р, получаем гпах ~Е(х, /(х)+Ь(х), /'(х)+Ь'(х)) — й(х, /(х), /'(х))— — дьС(х, /(х), /'(х)) Ь(х) — дл7. (х, г(х), /'(х)) Ь'(х) ~ = =О(/Ь~ ) при ~й~с1,— О. Но это и означает, что имеет место равенство (7). В силу теоремы о дифференцировании композиции отображений теперь заключаем, что функционал (3) действительно дифференцируем и ь Р' (/) й = ] (д,7. (х, / (х), /' (х)) Ь (х) + Я + д*(х, /(х), /' (х)) й' (х)) йх.
(9) Часто рассматривается ограничение функционала (3) на аффннное пространство тек функций /енСИ)([а, Ь]; Р),, которые на концах отрезка [а, Ь] принимают фиксированные значения /(а) = = А, Г'(Ь)=В. В этом случае функции Ь из касательного пространства ТС)" должны на концах отрезка [а, Ь] иметь нулевые значения. Учитывая это, равенство (9) интегрированием по частям в рассматриваемом случае, очевидно, можно привести к виду ь Р' (/) й = ~ (д,(. (х, / (х), /' (х)) — „— „длЕ.
(х, [(х), /' (х)) )г(х) йх, (10) Ю разумеется, уже в предположении, что Ь и / принадлежат соответствующему классу С(к). В частности, если / — точка экстремума. (экстремаль) такого функционала, то, согласно'теореме 2, Р'(/)Й=О при любой функции й еи Сои ([а, Ь]; Р) такой, что Ь (о) л й(Ь) =О. Отсюда и из (10) нетрудно заключить (см. задачу 3), что функция Г должна удовлетворять уравнению д,7.(х, /(х), /'(х)) —,—,дь(.(х, [(х), /'(х)) =О. (11) Это частный вид уравнения, именуемого в вариационном исчислении уравнением Эйлера — Лагранжа.
Рассмотрим теперь конкретные примеры. П р и м е р 2. Задача о кратчайшей. Среди кривых, лежащих в плоскости н соединяющих две фиксированные ее точки, найти ту кривую, которая имеет минимальную длину. Ответ в данном случае очевиден, н он скорее послужит контролем над следующими формальными выкладками. Будем считать, что в плоскости фиксирована декаотова система координат, в которой указанными точками являются, например, % б. ФОРМУЛА твйЛОРА точки (О, 0) и (1, 0).
Мы ограничимся рассмотрением только тех кривых, которые являются графиками функций енСН) ([О, 1]; й), принимающих на концах отрезка [О, 1] нулевые значения. Длина такой кривой 1 л()) -1У) (=(() () л* (12) о зависит от функции / и является функционалом рассмотренного в примере 1 типа, В данном случае функция 7. имеет вид Р, ')-)'((1Т'Р поэтому необходимое условие экстремума (11) здесь сводится к уравнению Р (к) 1=0, . Лк(,))! +(/')1(к)/ из которого следует, что на отрезце [О, 1] Г (*) (( (Г) (*) (13) Поскольку функция нигде непостоянна, ' то (13) вози. ~Г1+ил можно лишь при условии, что г'(х)=сопз1 на [а, Ь]. Таким образом, гладкая экстремаль нашей задачи должна быть линейной функцией, график которой проходит через точки (О, 0), (1, 0). Отсюда следует, что /(х) ель О, н мы приходим к отрезку прямой, соединяющему две заданные точка. Пример 3.
Задача о кривой скорейшего спуска. Эта классическая, поставленная в 1696 г, Иоганном (первым) Бернулли задача о брахистохроне состоит в отыскании формы— желоба, вдоль которого материальная частица под действием силы тяжести за кратчайшее время переходит из заданной точки Рь в другую фиксированную точку Р„расположенную на более низком уровне. Трением, разумеется, мы пренебрегаем. Кроме того, будем считать, что тривиальный случай, когда обе точки находятся на одной вертикали, исключен из дальнейшего рассмотрения, В вертикальной плоскости, проходящей через точки Р„ Р„ введем прямоугольную систему координат так, чтобы точка Р, была ее началом, ось абсцисс была направлена вертикально вниз, а точка Р, имела положительные координаты (хм у1). Форму желоба будем искать только среди графиков, заданных на отрезке [О, хк] гладких функций, удовлетворяюших условиям /(0) = О, /(хк) =ук.' На исследовании этого отнюдь пе бесспорного предположения мы пока не останавливаемся (см.
задачу 4). 4* оо З Е. ФОРМУЛА ТЕПЛОРА откуда находим у = — (21р — з1п 21р) + Ь. 2 сз (21) х= а(1 — соя!), у = а (! — Рй п !) (23) Гл. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ Р1С'1ИСЛГИИЕ Если частица начинала свое движение из точки Р„с нулевой скоростью, то закон изменения величины ее скорости в выбранной системе координат запишется в виде и = )' 2дх. (14) Вспоминая, что дифференциал длины дуги вычисляется по ормуле с[я = )/(с[х)з + (![у)з = ]' 1+ (!')з [х) дх, (15) найдем время л~ 1 ~ -~/ 1+(!')з(х) „ (16) г'2Е б! х движения вдоль траектории, заданной графиком функции у=) (х) на отрезке (О, х11. Для функционала (15) 7,(и11 из, из)=1I +(и) п1 1 поэтому необходимое условие экстремума (11) в данном случае сводится к уравнению !р х [1+ К)' (х))) =О, из которого следует, что у(х) ллУЛЗЗ1'1Л (17) где с — отличная от нуля постоянная (точки не лежат на одной вертикали!).
С учетом (15) уравнение (17) можно переписать в виде — =с) х. (18) Однако с геометрической точки зрения „— =соз1р, — =Мп1р, . (19) где 1р — угол между касательной к траектории и положительным направлением оси абсцисс. Сравнивая уравнение (18) со вторым из уравнений (19), находим 1 х = —,з[пзчр. (20) Но из (19) и (20) следует, что пу пу 1!» ! 1!» 11 !Япз 1Р! Япз 111 Жй й ар йф1йу ~йфп' ( сс. !! ' ° Полагая 2/сл=:а и 21р=:1, запишем соотношения (20) и (21) в виде х = а(1 — соз !), у=а(! — з1п !)+Ь. (22) Поскольку а~О, то х=О лишь при (=2йп, й ыУ,.
Из вида функций (22) следует, что без ограничения общности можно считать, что точке Р,=(0, 0) отвечает значение (=О параметра !. В этом случае Ь=О, и мы приходим к более простой форме параметрического задания искомой кривой. Таким образом, брахистохроной является циклоида, имеющая в исходной точке Р, точку возврата с вертикальной касательной. Постоянная, а, коэффициент гомотетии, должна быть подобрана так, чтобы кривая (23) прошла также через точку Р,. Такой выбор, как можно заметить, нарисовав кривую (23), вовсе ие всегда является Однозначным; и это свидетельствует о том, что необходимое условие экстремума (11), вообще говоря, ие является достаточным.
Из физических соображений, однако, ясно, какому из возможных значений параметра а следует отдать предпочтение (что, впрочем„можно подтвердить и прямым вычислением). Задачи и упражнения 1. Пусть 1: У-ь У вЂ” отображение класса С'"1 (У; х') открытого подмножестяя У нормированного пространства Х я нормированное просгрзпстяо ]л. Пусть отрезок [х, х+й] полностью содержится я У, и я точках интервала ]х, х+й[ фупкцпя [ имеет дпфферепцизл (я+1)-го порядка, причем ]Р"+11 $) [~ ~ М з любой точке $ 1Я ]х, х+й[. а. Покажите что функция яу)=[(х+!й] — (![х)+у'(х) уй]+...+ — 1~»[х)[!й)л) 1 Л1 определена пя отрезке [О, 1) ~ [с, дп[1фереппяруемя пя пптерязле [О, ![ п прп любом ! ы ]О, 1[ справедлива оценка !д у)[ „—,М[!й!.[й!.
1 Ь. Покажите, что ! я (1) — у (0) ! ( — М ! й [я+з. 1 (п+ 1)! с. Докажите следующую формулу Тейлора: ! 1(х+й) — ~[(х)+у [х) й+ ... + — Рл' (х) йл ( ! й !"+1, 1 11 М Л-[+) 02 Гл. Х. ДИФФЕРЕННИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4 г, овщдя тео~емд о неявнои Фннкции б. Что можно сказать сб отображеннн й У-лУ, если известно. что Р.+ (х)вно в У? 2..а. Если л-линейный снмметрнческнй оператор А таков, что для любого вектора хзиХ Ах" О, го А(х,,, хл)жо, т.
е. оператор А равен нулю на любом наборе х„..., хл нектаров вз Х. Ь. Если отображение й У-~.У имеет н точке хщУ п.й дифференциал рл' (х) н удовлетворяет условию )(х+Ь) Ьа+Ьзь+" + — Ьлйл+а (Л) ~ Ь!"; ! где йи ~=О, 1, ..., и суть ьлннейные операторы, а а(Ь) — О прн Ь-ьо, то 1,! = [й' (х), ! - О, 1, ..., и. с. Покажите, что нз налнчня приведенного в предыдущей задаче разлсження функции й вообще говоря, еще не выгекзет наличие и-го дифференциала рл' (х) (прн и) 1) у этой функции а точке х б. Локажнте, что 'отображение ю (Х; г') нз А ь-л А ' щ Ж (Х; !') в сбластн своего определения является бесконечно днфференцнруемым, причем (Ащ)~л~ (А) (йг Ь ) ( 1)л А-~Л,А-зйз ° ...
° А -гйлА К 3. а. Пусть 1?~в СЦа, Ь); [?). Покажите, что если для любой функцнн Ь щ С з' ([а, Ь[; [?) такой, что Ь (а) =Ь(Ь),О, выполняется 'условие ь ) Ф(х) Ь(х) ах=о, то Ф (х) О на [а, Ь). л Ь. Выаеднге уравнение (11) Эйлера Лагранжа как необходимое условие экстремума функцнонала (3), ограннченного на множество функций [ за снС'и ([а, Ь[; [?), принимающих на концах отрезка [а. Ь[ заданные значення. , 4. Найдите форму у=[(х), а ~ х( Ь, меридиана той поверхности араще.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
