В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Отметим еще раз, что касательное отображение 1'(х): ТХ„-+ -+- ТУН„! есть отображение касательных пространств, каждое нз которых, благодаря аффинной или линейной структуре отображаемых пространств, мы отождествляли с соответствующим линейным пространством н говорили на этом основании, что 1'(х) яХ(Х; 1'). Именно это рассмотрение элементов )'(х») ен ен Х(ТХ„; ТУН„,), 1'(х,) ~ Х(ТХ,;, ТУ~„н) различных пространств как векторов одного и того же пространства Х(Х; У) лежит в основе определения высших дифференциалов отображения нормированных пространств. В случае аффинного или линейного пространства имеется естественная связь между векторами различных касательных пространств, соответствующих различным точкам исходного пространства.
Эта связь в конечном счете и позволяет в данном случае говорить как о непрерывной дифференцируемости отображения (1), так и о его высших дифференциалах. 2. Производная по вектору и, вычисление значений л-го дифференциала. При конкретизации абстрактного определения 1 может быль удачно использовано понятие производной по вектору, которое для общего отображения (!) вводится так же, как,это в свое время было сделано в случае Х =!с-, У = !с Оп р еде лен ие 2. Если Х и У вЂ” линейные нормированные пространства над полем (с, то производной отображения (1) в пзочке х ен У по вектору Ь е= ТХ Х назовем предел 0„)():= Н "+'"' "), кап о если указанный предел в У существует. Непосредственно проверяется, что ОА»((х) = ) Р»! (х) (4) и что если отображение ! днфференцируемо в точке хе=У, то оно имеет в этой точке производную по любому вектору, причем О») (х) = )' (х) Ь, (5) и в силу линейности касательного отображения ОА», + А»~ (х) = Ь»Р»М (х) +) ьР»3 (х).
(6) Из определения 2 видно также, что значение 0»((х) производной отображения (: У-+-У по вектору есть элемент линейного пространства ТУз,,> У, и что если (,— линейное непре- » ». производные огоев»жения высших по~яцков рывное отображение У в некоторое нормированное пространство Я, то О» (Ь () (х) = ! 0»((х). (7) ПопРобУем, тепеРь истолковать значение 1~"'(х)(ЬИ ..., Ь„) п-го дифференциала отображения 1 в точке х на наборе (Ь„..., Ь,) векторов Ь; ен ТХ„Х, ( = 1, ..., п. Начнем с п=1. В этом случае по формуле (5) )" (х) (Ь) = (' (х) Ь = 0»7 (х). ° Рассмотрим теперь случай и = 2. Поскольку (!»> (х) = =.'о (Х; Х(Х; У)), то, фиксировав вектор Ь, ея Х, мы сопоставляем ему по закону Ь, )! !(х)Ьз линейный оператор ()т" (х)Ь,) енЖ(Х; У), а вычислив затем значение этого оператора на векторе Ь,ЕЕХ, мы получим элемент Е~м (х) (Ьм Йа): = Ум (х) Ь») Ь» ен У (8) пространства У.
Но !!»~ (х) Ь = (~')' (х) Ь = 0»(' (х), ((»1 (х) (Ь„И,) =(0»,Г (х)) И.. поэтому (9) причем дифференцирование по векторам выполняется последова- тельно, начиная от дифференцирования по Ь, н кончая диффе- ренцированием по Ьсо 3. 6имметричность дифференциалов высшего порядка. В связи с формулой (10), уже вполне пригодной для вычислений, естественно возникает вопрос о том, в какой мере результат вычисля. ний зависит от указанного порядка дифференцирования. Если А ен,2'(Х; У); а ЬЕНХ, то спаривание АЬ можно рассматривать не только как отображение Ь АЬ из Х в У. Но и как отображение А АЬ из й(Х; У) в У, причем это последнее отображение, как и первое, является линейным.
Сравнив теперь соотношения (5), (7) и (9), можем записать, что (0»,~' (х)) Ь» —— О», (~' (х)'Ь») = 0»,0»,~ (х). Таким образом, окончательно получаем ~"'(х)(ЬН И,)=0»,0»~(х). Аналогично можно показать, что при любом и ~К имеет место соотношение ~оп(х)(ЬИ ..., Ь„): =(... ((~!"з (х)Ь~)...Ь„) 0»,0»,... Р» ~ (х), (10) Гл. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Утверждение. Если для отображения (1) форма 11л!(Х) в точке х определена, то она симметрична относительно любой пары своих ареуменпюв. < Основным элементом доказательства является проверка справедливости этого утверждения в случае п= 2.
Пусть Й„Й,— два произвольных. фиксированных вектора про- странства ТХ„Х. Поскольку (У открыто в Х, при всех доста- точно близких к нулю значениях 1~ 11 определена следующая вспомогательная функция от 0 Р1 (Й1~ И2) — 1 (Х+~ (Й1+Ил)) 1 (Х+(Й1) 1 (Х+(Й2)+1(х) ° Рассмотрим еще одну вспомогательную функцию д(о) =)(х+1(И1+о)) — 1(х+Ь), заведомо определенную для векторов о, коллинеарных-вектору Ь,, и таких, что ~ о~ ((И2!. Заметим, что Р,(Й„И,) =д(Й,)-д(0).
Заметим также, что коль скоро функция 11 У-ь 1' в точке хан У имеет второй дифференциал (л(х), она обязана быть диф- ференцируема по крайней мере в некоторой окрестности точки х. Мы будем слитать, что параметр ( настолько мал, что аргументы в правой части определяющего функцию Р, (Й„Й,) равенства лежат а указанной окрестности точки х.
Воспользуемся этими замечаниями и следствием теоремы о конечном приращении в следующих выкладках: ! Р1 (1„'12) — 1Т (Х) (Й1, Й2) ~ = = ! д(И,) — д(0) — 12)" (х) (Й„Й2) ! ( зцр )д' (02Й2) — ~~)" (х) Й11 ! Ил ! —— О<В,~1 зцр ! (~' (х+1(Й, + 0,И,)) — ~' (х+ 10,Й,)) 1 — 121" (х) Й, ! ! Й2 !. По определению производного отображения можно записать, что Т (х+2(Й1+62Й2))=1'(х)+1" (х)(1(Й1+62И2))+о(1) ~' (х+ 16,И2) =)' (х)+~" (х) (16,Й2)+о (1) при 1-~0.
Учитывая это, предыдущую выкладку можно продолл жить и после арифметических упрощений получить, что Р, (Й„И2) — 12Г (х) (Й„И,) ~ =о (12) при 1-~0. Но это равенство означает, что г' (х) (Й„ И,) = !Ип — ' 2 о пооизаодные отозРАжения высших пооядкоз з Поскольку, очевидно, Р,(Й„И2) = Р, (Й,„Й,), то отсюда уже следует, что Г" (х) (Й„И2) = гл (х) (Ил, И1).
Завершить доказательство утверждения теперь можно по индукции дословно так же, как это было сделано при доказательстве независимости значения смешанных частных производных от порядка выполнения дифференцирования. В Итак, показано, что и-й дифференциал отображения (1) в точке х енУ есть и-лияейный симметрический оператор ~'»2(х) ЕЕЖ(ТХл, ..., ТХ,; ТУ((л)) Ж(Х, ..., Х; )л), значение которого на наборе (И„»..., Й„) векторов Й1 ~ ТХ„Х, 1=1, ..., и, может быть вычислено по формуле (!О). Если Х вЂ” конечномерное пространство, (е„..., 'ел) — базис в Х и Й~=Й1е1 — разложение векторов Йт, 1= 1, ..., и, по этому базису, то в силу полилинейности )~л>(х) можно записать, что )~л~(х) (Й1, ..., Й ) =)тю (х) (Й1че1,, ..., Й„"е1 ) = = 1м' (х) (е;,, ..., е1„) Й1" ... Й„", или, используя прежние обозначения д;, 11(х) для О,, ...
О, ! (х), можно окончательно получить, что )'ю (х) (Й1, ° " Йл) = д1, „. 1 1(х) Й1ч ... Й„", где в правой части, как обычно, имеется в виду суммирование .по повторяющимся индексам в пределах их изменения, т. е. от 1 до Й. Условимся в следующем сокращении: Р!л>(х) (Й, ..., Й)=: Р<л>(х)Й". (11) В частности, если речь идет о конечномерном пространстве Х и Й=Й'е1, то ~<л> (х) Йл=, дй, ~(х) Й1.... ° И. что нам уже хорошо знакомо из теории числовых функций мно- гих переменных.
4. Некоторые замечания, В связи с обозначением (11) рассмотрим полезный и используемый уже в следующем параграфе Пример. Пусть А ы.е(Х„'..., Х„; )л), т. е. у=А(х„л..., х„) есть п-линейный непрерывный оператор, действующий из прямого ' произведения линейных нормированных пространств Х„..., Хл в линейное нормированное пространство )л. В примере б предыдущего параграфа было показано, что А является дифференцируемым отображением А: Ххх...хХ,-» У, 93 Гл. Х. ДИЕЕЬРаИЦИАЛЬИОИ ИСЧИСЛаина $6 ФОРмулА теплОРА причем А'(х„..., х„)(Ь„'..., Ь„) = = А (Ь,, хы ..., х„)+...+А (х„..., х„„Ь„).
Таким образом, если Х,=...= Х„=Х и если А — симметрический оператор, то А'(х, ...', х)(Ь, ..., Ь)=пА (х, ..., х, Ь) =:(пАх"-')Ь, и — ! Значит, если рассмотреть функцию Р: Х- У, определяемую условием Х ~ х г (х) = А (х, ..., 'х) =: Ах", то она окажется дифференцируемой и Р' (х) Ь = (пАх"-1) Ь, т. е. в этом случае Е' (х) = п,4х"-1, где Ах"-'!=А(х, ..., х, ). и†! В частности, если отображение (1) имеет в некоторой точке х ен У дифференциал 1!э' (х), то функция Е(Ь) =(гэ> (х) Ь" дифференцируема и г"' (Ь) = П(гэ! (Х) Ь"-1.
(12) Заканчивая обсуждение понятия производного отображения и-го порядка, полезно еще отметить, что если исходная функция (1) определена на множестве У пространства Х, являющегося прямым произведением нормированных пространств Х„..., Х, то можно говорить о частных производных отображениях дт) (х), ... ..., д„((х) первого и более высокого порядка д,, ((х) от функции 1' по переменным х; е= Хь 1=1, ..., т. На основании теоремы 2 из 5 4 в этом случае по индукции получаем, что если в некоторой точке хы У с: Х =ХХХ...хХ„ все частные производные д,, 11(х) опюбражения !": У-ь)' непрерывны', то в втой точке отображение ! имеет дифференциал и-го порядка )1э! (х).
Если учесть еще результат примера 2 из того же параграфа, то можно заключить, что отображение У аэ х 1!и! (х) ~ х[х...,х; г) РР э д, д непрерывны все частные производные отображения У =э х дг, ... 1„7(х) ы-о (Хг,, ..., Хг 1 У) порядка п (или, что то же самое, до порядка п включйтельио) исходнозз отображения у1У-и )х, Класс отображений (1), имеющих в У непрерывные производные отображения цо порядка и включительно, обозначают символом Сом(У; 1') нли, если не возникает недоразумений, более коротким символом С!"! (У) или даже Сш1. В частности, если Х=Х,х...х Х„, то сделанное выше заключение можно коротко записать в виде ((ЯСои)с=" (д,, ) си С, гы ..., 1„=1, ..., т), где С, как всегда, символ соответствующего множества непрерыв- ных функций. Задачи и упражненян 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
