В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 15
Текст из файла (страница 15)
)Х„)+„.+)Х1()хх( ....(Х„1ЦЙ„~+ из которой, очевидно, следует непрерывность А в любой точке (х1, ..., Хл) ~ Х1х...хХ„. В частности, если (х„...,' х„) (О, ..., 0), то из с) получаем б). Осталось показать, что й) хю а). По е)0 найдем 8=6(е))0 так, чтобы при шах((Х1Ь ... ..., (х., ф ~8 иметь (А (х1, ..., х„)! <а. 5 1. линейные и пОлилинеиные ОпеРАТОРы 6.
Тогда для любого набора г;, .;., е„единичных векторов получаем ~ А (в1, ..., е„) )= '-„) А (беы ..., бе„) ( " ' —, т, Е. 1А)СŠ— '„Ссо. ~Ь Выше (пример 1) мы видели, что не всякий линейный оператор имеет конечную норму, т. е. он не всегда непрерывен. Мы отмечали также, что нарушение непрерывности линейного оператора может произойти только 'в случае, когда он определен 'ва пространстве бесконечной размерности. Начиная с этого места, символом М(Х1, ..., Х„; У) будет обозначаться множество полилинейных непрерывных операторов, действующих из прямого произведения линейных нормированных пространств Х„ ..., Х„ в линейное нормированное пространство 1'.
В частности, Ж (Х; У) есть множество всех линейных непрерывных операторов из Х в У. В множестве Ж(Х1, ..., Х„; У) вводится естественная структура линейного пространства: (А+В)(х„..., х,): =А(х„..., х„)+В(Х1, ..., х„) (ЙА) (Х11.'., х„): =ХА (Х1, ..., х„) Очевидно, если А, В вил(Х„..., Х„; 1'), то (А+В) е.о (Х1, ... ..., Х„; У) и (ЙА) вне(Х„..., Х„; 1'). Таким образом, Ж(Х1, ..., Х,; У) можно рассматривать как линейное пространство. У т в е р ж д е н и е 2. Норма полилингйного оператора является ' нормой в линейном пространстве Ж(Х1, ..., Х„; У) непрерывных полилинейных операторов. 4 Прежде всего отметим, что в силу утверждения ! для любого оператора А ен.'д(Х„..., Х„; У) определено неотрица.
'тельное число ( А1(оо. Неравенство (8) показывает, что 1 А 1= 0 с==> А = О. Далее, по определению нормы полилинейного оператора ~(АА)(кь "., хл) ~ ~ х,~,...~ хл~ «фь ~1 (хь "° х«1~ ~)„()А) ~«1( ° -.(х 1 «1 фь З В.А,Ельки, .И Гл. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ О «. ЛИНЕИНЫЕ И ПОЛИЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Наконец, если А и  — элементы пространства Ж (Х» ..., 'Хли У), то ((А+В! («1, ..., «л)! ! х, ! °...
° ! хл ! «,~О !А (х» ..., хл)+В (х» ..., хл) ! «,.ЫО !.А(х1, ..., хл)!+ !В(х» ..., хл)! 1 + Теперь, употребляя символ о (Х» ..., Х„; У), мы будем иметь в виду линейное пространство непрерывных п-линейных операторов, нормированное указавиой операторной нормой. В частности, е (Х, У) — нормированное пространство линейных непрерывных операторов, действующих из Х в У. ' Сделаем к утверждеиию 2 следующее полезное До п о л и е и и е. Если Х, У, Š— нормированные прсстрансп«ва и А еп Ж(Х; У), а В е=.в" (У; Е), то 1В ° А! =.1В! (А),— 4 В самом деле, !В А)=зцр ' (зцр ' — ' !(В ° А) х! (В;,! Ах! «фО !х! «фО )В! ацр! «1=(В! (А!.
)ь ФО !х! Утверждение 3. Если' У-полное нормированное прост-ранство, то к'(Х„..„Х„; У) также является полным нормированным пространством, 4 Проведем доказательство для пространства Ж(Х; У) линейиых непрерывных операторов. Общий случай, как будет видно из приводимых ниже рассуждений, отличается только более громоздкой записью. Пусть А» А„ ..., Ал, .
†фундаментальн последовательность в о (Х; У). Поскольку при любом х ~ Х ! А,„х — Алх ! = ! (Ам — А,) х ! л- ! А и — Ал ! ! х ! с то ясно, что при любом х еп Х последовательность А,х, А,х, " . ..., Алх, ... фундаментальна в У. Ввиду полноты У оиа имеет предел в У, который мы обозначим через Ах. Итак Ах: =* 1(гп Алх.
л со Покажем, что А: Х вЂ” «У — линейный непрерывный оператор, — Я1Р «,...,« х фО ! х, ! ° ... ° ! х,„ ! «ЬО«О Линейность А следует из того, что 11ш Ал(Х«х«+Х,х«) = 1пп (ХТА«х1+Х,А„х,) = л со с со = Х, !нп А„х«+ Х, 1нп Алхя 'л о л со Далее, при любом фиксированном е ) О и достаточно боль- ших значениях т, п епК, выполнено )А — А„!!< е, поэтому (А х — А„х!~е!х! иа любом векторе х ~ Х.
Устремляя в последнем неравенстве т к бесконечности и пользуясь непрерывностью нормы вектора, получаем ! Ах — Алх ! -= Е1х !. ' Таким образом, 1А — А„)(е, и поскольку А =Ах-1-(А — Ал), заключаем, что 1А )()А„)+е. Следовательно, мы показали, что А е-=.г, (Х; У) и ! А — А„)-« -«О при п-«со, т.
е. Аыо 1!ш А„в смысле нормы пространства к!(Х; У). > В заключение остановимся иа одном специальном замечании, относящемся к пространству полилииейиых операторов, которое иам потребуется при рассмотрении дифференциалов высшего порядка. У т в е р ж д е и и е 4. Между прсстранс!«1вами ~(Х» ° ° ° Х ' Х(Х ~» °" Х: У)) и ~(Х, ° ° °, Х ' У) при любом т ~ (1...,, и) существует биекция, сохраняющая линейную структуру и норму. 4 Предъявим этот изоморфизм. Пусть Я ее.'ь'(Х1...«, Хлй .'с (Х +» ..., Х„; У)), т.
е, ~((«1с с хл) е='~ (Хлс+1~ ''' Хл 1 )' Положим А(х» ..., хл): =Л(х» ..., х )(х,1, ..., х„). (11) Тогда 16 (х» ..., х,„!', )т11= ЕНР «1 ~ О Я«Р ! И (х» "° «лс) (хл»» °" хл) ! «т ~ О в Г». Х. ДИФФБРЕ1ШИАЛЪНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ $ 3. ДИФФЕРВНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ Проверку того, что соотношение (11) задает нзоморфнзм рассматриваемых линейных пространств, мы оставляем читателю. Применяя и раз утверждение 4, в частности, получаем, что пространство Б (Х,; .'Б' (Хз! ...; .'ю (Х„; У))...) изоморфно пространству Б'(Х„..., Х„; У) и-линейных операторов.
Задачи н упражнения 1. в Докажите, что если АР Х -«У — линейный оператор, действующий нз нормированного пространства Х в нормнровзнное пространство У, н пространство Х конечномерно, то А — непрерывныя оператор. Ь. Докажите для полнлннейного оператора утвержденнв, аналогичное сформулнровзнвому в з. 2. Двз линейных нормированных пространства называются изоморфными, если существует такой нзоморфнзм между ними, квк линейными векторными пространствами, который вместе с ему обратным является непрерывным линей.
ным оператором а. Покажите, что линейные нормированные пространства одннзковой конечной размерности нзоморфны. Ь, Поквжнте, что для бесконечномерного случая утверждение з уже, вообще говоря, не имеет места. с. В пространстве С ((а, Ь)1 Р) введите две нормы твк, чтобы тождественное отображение С ()а, Ьй Р) нв себя не было непрерывным отобрзженнем полученных нормнроввнных пространств. 3. Покажите, что если полнлннейный оператор непрерывен в некоторой точке, то он непрерывен всюду 4.
Пусть А: Е" — Е" — лнпейное преобразование евклндовв л-мерного пространства, А": Е»-« Е» †сопряженн к нему преобрззовзнне. Покажите, что: з. Все собственные значення оператора А ° А*: Е"-«.Е" неотрнцвтельны Ь. Если эч:а...~» — собственные внвчення оператора' А А*. то(А(= -Ус„ ! с. Если оператор А имеет обратный А-Ч Е»-«Е», то А л;==.
У»1 б Если (а~~) — матраца преобразования А: Е»-«Е" в некотором бззноь то справедливы оценкн » лл» щвх ~/ ~Л ~(аг) м,' А ~ 1/ ~ (а1) ()сй)А'. 1~1~» З. Пусть Р (х) — лннейное пространство многочленов от переменной х с вещественнымн козффнцнентамн, Норму вектора Р ы Р (х) определим фор. мулой ! ~ Р , '~ Р*(х) Вх. а. Ограннчен лн в полученном пространстве оператор Ее Р)х)- Р!х1 дифференцирования 0 (Р(х)): Р'(х)г ' Ь. Найдите норму оператор» Р, Р 1х)-«Р(х! умножения нз к (Р(Р (х))1 = х Р (х)). 6.
Нв примере операторов проектнропання в йз поквлгнте, юо неравенство В'А)~1В) ° )А ", мажет быть строгим. 5 3. Дифференциал отображения 1. Отображение, дифференцируемое в точке. Определение 1. Пусть Х, )' — нормированные простран. ства. Отображение (: Е- У множества Е~Х в У' называется дифференцируемым в точке х ~ Е, внутренней для Е, если суще- - ствует такое линейное непрерывное отображение Ь(х): Х-Р )', что ) (х+ Й) — )' (х) = Ь (х) Й+ сс (х; Й), (1) где а(х; Й) =о(Й) при Й-РО, х+Й ен Е*). Оп редел ение 2.
Линейная относительно Й функция Ь(х) ен ен,2'(Х; У), удовлетворяющая соотношению (1), называется диф. ференциалом, касательным отображением или производной ото- бражения '(1 Е-Р У в точке х. Как и прежде, мы будем обозначать Ь(х) одним из символов й((х), О! (х) или )" (х). Мы видим, таким образом, что приведенное общее определение дифференцируемости отображения в точке почти„дословно совпа- дает с уже знакомым нам из главы Н111, З 2 определением, где оно рассматривалось в случае Х= К", У = )с». Поэтому без повтор- ных пояснений мы позволим себе в дальнейшем употреблять такие введенные там понятия, кзк прирашение функции, прираа~вние аргумента, касательное пространство в точке, оставляя за ними соответствующие обозначения.
Проверим, однако, в общем виде следующее Утверждение 1. Если отабражение !": Š— ~-У дглфференци- руемо во внутренней точке х множества Ес:Х, то его диффе- ' ренциал Ь(х) в этой точке определен однозначно. 4 Итак, проверим единственность дифференциала. Пусть Ь, (х) и Ь, (х) — линейные отображения, удовлетворяющие соотношению (1), т. е. ) (х+ Й) — Р (х) — Ь, (х) Й = а, (х; Й), Цх+ Й) — ) (х) — Ьз (х) Й = ссз (х; Й), (2) где а;(х; Й)=о(Й) при Й- О, х+Й~Е, 1=1, 2. Тогда, полагая Ь (х)=Ь, (х) — Ьг (х) и а (х; Й) =а, (х; Й) — а, (х; Й), после вычитания второго из равенств (2) из первого, получим, что Ь (х) Й = а (х; Й). Здесь Ь (х) — линейное относительно Й отображение, а а (х; Й) = о (Й) при Й-РО, х+Й ен Е. Взяв вспомогательный числовой параметр )ь, «) Запись вх (х; й) =о(й) прн й-«О, х+й ~в Е«, разумеется, означает, что ! а (х, й) )у ! й !» мб, в о, +ьав го х диоовэвнцилльноз исчнслвниз э з, диоовэвнцилл отовэлжвния можно теперь записать, что !Е(х)Й1= л — —,~ — =-! — „'-л — -~-!й~- 0 при Х- О, 'л~ Таким образом, Е(х)п 0 при любом ЬФО (напомним, что х— внутренняя точка Е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
