В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Примером такой формы может служить знакомое из аналитической геометрии скаляпиое произведение векторов трекмерного евклидова пространства. В связи с этой аналогией принято Оп р еде лен н е 6. Невырожденную положительную эрмитову форму в линейном пространстве называют скаллрныАЗ проивведениЕАЗ в этом пространстве. Пример 1О. В Р" скалярное произведение векторов х= ° (ХЗ, ..., Хл), у=(у', ..., у") МОЖНО ОПрЕдЕЛИтЬ, ПОЛОЖИВ Э !. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ПРОСЗРАНСЗВО Пример 11. В 1, скалярное произведение векторов х, у -можно определить, полагая (х, у>: =,'5'„х'у'.
1=! ',Написанный здесь ряд сходится абсолютно, поскольку 2 "',1х!у!)==,,У,1х'~2+ ~~ (у'~з. 1=! 1=! 1-! Пример 12. В С)а, Ь) скалярное произведение можно определить формулой , ь <1, у>:=')(1 у)(х)йх (15) л Из свойств интеграла легко следует, что все требования , к скалярному.произведению в этом случае выполнены.
Для скалярного произведения справедливо следующее важное ,"'".неравенство Коши — Бун «овского: /(х, у) ~з ~ (х, х) (у, у). (16) . 4 Действительно, пусть а=(х, х), Ь=(х, у) и с= (у, у). "По условию а~О и с~О. Если с)0, то из 0((х+Лу, х+Лу)=а+БЛ+ЬЛ+сЛЛ ь при Л вЂ” — получим с ,-:-или 0 «= ас — ЬБ'=ас — ~ Ь!з, 1что совпадает с (16). з". 'Аналогично рассматривается случай а) О.
Если же а=с=О, то подставляя в (17) Л= — Ь, получим ЬО~ — БЬ вЂ” ЬБ= — 2)Ь|2, т. е. Ь О, н неравенство (16) опять ,"справедливо. 1 Линейное пространство со скалярным произведением обладает :;естественной нормой Используя неравенство Коши — Буняковского, проверим, что если (х, у) — невырожденная положительная эрмитова форма, то :.формула (18) действительно определяет норму. г . х. днаференцняльное исчисления й З. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1 В самом деле, [х[=~ (х, х) =ОС=ОХ=О, поскольку форма <х, у) невырожденная, Далее [) [=)(<), ) >=~'ХЛ<х, >='[ХД«, >=[) [[х[. Проверим,.
наконец, неравенство треугольника [х+у[([х[+(у[. Нам, таким образом, следует показать, что ТТгат *+г)~$()-ьг'(а, и). или после возведения в квадрат и упрощений, что . <х, у)+(у, х) ( 2)(<х, х) <у, у) ° Но (х, у) + <у, х) = (х, у) + <х, у) = 2 дхе (х, у) ( 2 [ <х, у) й и доказываемое неравенство теперь непосредственно следует из неравенства Коши — Буняковского (16). 3 Отметим в заключение, что линейные пространства со скалярным произведением в конечномерном случае называют обычно евклидовыми или зрмипювыми,'когда полем констант является [ч или Ж соответственно.
Если же линейное нормированное пространство бесконечной размерности, то его называют гильбертовым, если оно полно, и предгильбертовым, если оно не полно по отношению к метрике, индуцированной естественной нормой в нем. Задачи и упражнения 1. а. Покажите, что если в линейном пространстве Х задана метрика Е (хм ха), трансляционно ннвариантная и однородная, то Х можно нормиро. вать, положив 1, 'я[=а(0, х). ° Ь.
Проверьте, что норма в линейном пространстве Х является функцией, непрерывной по отношению к той топологии, которая индуцируется естествен. ной метрикой (3). с. Докажите, что если Х вЂ” конечномерное линейное пространство, а 11х[ и [ х 1' †д нормы на Х, то всегда можно найти положительные числа М, й( такие, что для любого вектора х ш Х выполнено М,'1 х 1 ( [ х,," еи (т' '„' х !. (19) б. На примере норм ) х ! и [ х ~[ в пространстве Л убедитесь, что предыдущее неравенство в бесконечномерных пространствах, вообще говоря, ие выполняется.
2. а. Докюките неравенство (5). Ь. Проверьте соотношение (5), с. Похажите, что при р-«+со определенная формулой [12) величина [([р стремится к величине [[1, задаваемой формулой (11). 3. а, Проверьте, что рассмотренное в примере 7 нормированное пространство 1р является полным. Ь. Покажите, что подпространство пространства (, состоящее нз 'финитных (заканчивающихся нулямн) последовательностей, йе является банаховым пространством. 4.
а. Проверьте, что соотношения (11), 112) задают норму в пространстве С [а, Ь[, и убедитесь в том, что при этом в одном случае получается полное, а в другом не полное нормированное пространство. Ь. Задает ли формула (12) норму в линейном пространстве аЯ [а, Ь[ интегрируемых по Риману функций? с. Какую факторизацию (отождествленне) следует провести в езт [а, Ь), чтобы задаваемая формулой (12) величина была нормой в полученном линейном пространстве? б. а. Проверьте, что формулы (13) — (15) действительно зада(от скалярное произведение в соответствующих линейных пространствах. Ь. Будет ли задаваемая формулой (15) форма скалярным произведением в пространстве еЯ[а, Ь! интегрируемых по Риману функций? с.
Какие функции в еЯТ[а, 6[ следует отождествить; чтобы ответ на вопрос Ь был положительным в фактор-пространстве классов эквивалентности. б. Используя неравенство Коши — Буняковского, найдите нижнюю грань ь ь ('! 11 - (()па~*)(г[ — )м~*)-- ,) (() а а вещественнозиачных функций, ие обращающихся в нуль на отрезке [а, Ь[. 2 2.
Линейные и полнлинейные операторы 1. Определения н примеры. Начнем с ' того, что напомним следующее Определение 1. Если Х и У вЂ” линейные пространства над одним и тем же полем (в нашем случае полем [» или [О), то отображение А: Х вЂ” «У называется линейным, если для любых векторов х, хд,,хз пространства Х и любого числа [д поля козффициентов имеют место равенства А (х,+х,)-А(х,)+А(хз) А ([дх) = )ьА (х), Для линейного оператора А:.Х-«У вместо А(х) часто пишут Ах. Определение 2. Отображение А: Хдх;..хХ„-«У прямого произведения линейных пространств Х,, ..., Х„в линейное пространство У называется полилинейным (л-линейным), если зто отображение у А(хд, ..., х„) линейно по каждой переменной прн фиксированных значейнях остальных переменных.
Множество л-линейных отображений А: Х,х...х Մ— «У будет .обозначаться символом Ж (Х„ ..., Х„; У). В частности, при и = 1 получаем множество Ж (Х; У) линейных отображений яз Х, Х в У. При л =* 2 полилниейное отображение называется билинейным, при л=З вЂ” трилинейным и т. д. Не следует смешивать и-линейное отображение А ~ Ж(Хд..., ..., Х„; У) и линейное отображение А(е?Ж(Х; У) линейного пространства Х=Хдх...хХ„(см. в втой связи примеры 9-11). Гл. Х. ДиффЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ З 2. ЛИНЕЯНЫЕ И ПОЛИЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Если У = И или )х = С, то линейные и полилинейные отобра.
жения называют чаще линейными или соответственно лояилинейными функциями (илн функционалами, если отображаются пространства функций). Когда же à — произвольное линейное прястранство; линейное отображение А: Х-»-У чаще называют линейным олератпором, действующим из пространства Х в пространство 1'. Рассмотрим некоторые примеры линейных отображений, П р и м е р 1. Пусть 1 — линейное пространство числоных финвтных последовательностей.
Оператор А: 1-») определим следующим, образом: А ((хы хх "., х„, О, ...)): =(1 х„2х„..., лх„, О, ...). Пример 2. Функционал А: С([а, Ь~; Й)-»)т' определим соотношением А (7): =7(хо) где Ген С([а, Ь1; Ы), а хА — фиксированная точка отрезка [а, Ь1. Пример 3. Функционал А: С([а, Ь]; Й)-»Й определим соотношением А()'): =)7(х)йх. Пример 4. Преобразование А: С([а,' Ь1; И)-»С([а, Ь1; Й) определим формулой А(г): )7(1)й(, а где х-точка, пробегающая отрезок [а, Ь!. Все зто, очевидно, линейные отображения.
Рассмотрим некоторые знакомые примеры полилинейных отображений. П р и м е р 5. Обычное произведение (х„„., х„) х, ... х„ л действительных чисел является типичным примером п-линейной функции А енЖ(И, ..., Й; Й). Пр имер 6. Скалярное произведение в евклидовом векторном пространстве над полем К является билинейной функцией А (хы хх) (хы хх). А Пример 7. Векторное произведение (х„х,) [хм х,~ векторов трехмерного евклидова пространства Е' является билинейным оператором, т.
е. А сей(Е'. Е', Е') П р и ме р 8. Если Х вЂ” конечномерное векторное пространство над полем И; (е„ ..., е„) †баз в Х; х = х'е, — координатное ; представление вектора х ее Х, то, полагая х,' ...х", А(хы ",, х,)=де! получаем и-линейную функцию А: Х"-»Й. В качестве полезного дополнения к приведенным примерам кразберем еще устройство линейных отображений произведения линейных пространств в произведение линейных пространств. Пример 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
