В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Более того, 'если У не является полным пространством, то именно зтот переход, вообще говоря, невозможен. 2. Непрерывные отображении. а. Основные определения. Определение 3. Отображение ~: Х-«У топологического пространства (Х; тх) в топологическое пространство (У; тг) называется непрерывным в точке а е= Х, если для любой окрестности У(1(а)) с= У точки ((а) ен У найдется окрестность П(а) с= Х точки аюХ, Образ которой )(О(а)) содержится в У(Г(а)). Итак, 1: Х-«У непрерывно в а~Х:= 'РУ Ц (а)) ЗОГ (а) ((Я(а)) с= У (1(а))).
В случае, если Х и 1' — метрические пространства (Х; йх), (У; 'йг), определение 3, разумеется, можно сформулировать на языке е — 6: . 1: Х-«У непрерывно в а ее Х:= = Уе > 0 36 > 0 ч х я Х (йх (а, х) < 6 =:Ь йг (Г (а), ) (х)) < е). Определение 4. Отображение г: Х-«1' называется непре'-'рыным, если оно непрерывно в каждой точке х ~ Х.
: Множество непрерывных отображений Х в У обозначают символом С(Х; 1'). Теорема 1 (критернй непрерывности). Отображение ): Х-~- ' -«У топологическаго пространства (Х, тх) в топологическое про. * странство (У; тг) непрерывно тогда и только тогда, когда про: образ.любого открытого (замкнутого) подмножества У открыт :(замкнут) в Х. 4 Поскольку прообраз дополнения есть дополнение к прооб-, ,разу, достаточно доказать теорему для открытых множеств. Покажем сначала, что если г ~ С(Х; 1'), а Ог ее тг, то бх = ' '=г-'(бг) ветх. Если бх — — ф, то открытость прообраза налицо.
"Если же Олаф и а~Ох, то по определению непрерывности отображения г в точке а для окрестности бг точки )(а) найдется такая окрестность Пх(а) точки а в Х, что )(Пх(а))сбт. Значит, Пх (а) с бх = ~-т(бг). Поскольку бх = Ц Пх (а), заклюасох чаем, что бх — открыто, т. е. Ох ветх. Теперь докажем, что если прообраз любого открытого в У '' множества открыт в Х, то Г ЕЕ С(Х; У). Но, беря любую точку : аен Х и произвольную окрестность У„(((а)) ее образа в 1', мы .обнаруживаем, что множество Ох(а)=)-'(У ()(а))) является от.
крытой окрестностью точки а в Х, образ которой содержится в Ух (1(а)). Следоввтельно„проверено определение непрерывности отображения Г: Х-«У в произвольной точке а ~ Х. Определение 5. Биективное отображение 1: Х вЂ” «У одного -'топологического пространства (Х; тх) на другое (У; тг) называется гомеоморфным или гомеоморфизмом, если как оно само, твк и ему обратное отображение )"-'. 1'-«Х непрерывны. Определение 6. Топологические пространства, допускаю, щие гомеоморфное отображение друг на друга, называются гомеоморфными. Как показывает теорема 1, при гомеоморфном отображении ~ Х-«У топологического пространства (Х; тх) на пространство (У; тг) системы откРытых множеств тх, тг соответствУют ДРУГ другу в том смысле, что Ох ентх сФ)(бх) =бг ее тг.
Таким образом, с точки зрения топологических свойств гомеоморфные пространства абсолютно одинаковы. Следовательно, гомеоморфность топологических пространств есть такое же отноше- 4З $ Е НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОВРАЖЕНИЯ 4» Г».!Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) ние эквивалснтности в множестве топологических пространств, как, например, нзометричность есть отношение 'эквивалентности з метрических пространствах.
Ь. Локальные' свойства непрерывных отображений, Укажем локальные свойства непрерывных отображений. Они вытекают не= посредственно из соответствующих свойств предела. Утверждение 3 (непрерывность композиции непрерывных отображений). Пусть (Х; тх), (У; тг), (Е; тг) — топологичвскив пространства. Если отображение йч У-«2 непрерывно в пючкв Ь ен У, 'а отображение 7: Х-«У непрерывно в точке а ы Х, при- чем 7 (а) = Ь, то композиция зтих отображений у /: Х-«2 непре- рывна в точке а ~Х. Эго следует из определения непрерывности отображения и утверждения 1, Утверждение 4 (ограниченность отображения в окрестно- ети точки непрерывности).
Если отображение Г: Х У тополо- гичсского пространства (Х; т) в мвтричгсвог пространство (У; й) непрерывно в некоторой пючкв а ~ Х, пю оно ограничено в неко- торой окрестное«пи зтой 'точки. Утверждение следует из финальной ограниченности (по базе) отображения, имеющего предел. Прежде чем формулировать следующее утверждение о свойст- вах непрерывных отображений, напомним, что для отображений в (ч или в Я" величинуе ф а): — Иш е (7; В (а; «)) . -о мы назвали колебанием отображения 7 в точке а. Поскольку и понятие колебания отображения на множестве и понятие шара В(а, «) остаются в силе в любом метрическом пространстве, то определение колебания е(1; а) отображения 7 в точке а также остается в силе для отображения 7: Х вЂ” «У метрического пространства (Х; йх) в метрическое пространство (У; йг).
Утверждение 5, Отображение Г: Х-«У метрического проппранства (Х; йх) в метрическое пространство (У; йг) непрерывно в точке а е=-Х тогда и только тогда, когда е(1; а) =О. Это утверждение непосредственно следует из определения непрерывности отображения в-точке. с. Глобальные свойства иейрерывных отображений. Остановимся теперь на важнейших глобальных свойствах непрерывных отображений.
Теорема 2. При непрерывном опюбражении обри компакта является компактом. ,4 Пусть 7: Ю-«У — непрерывное отображение компакта ! ЗГ; тур«1 в топологическое пространство (У; тг), н пусть Ою а ~'д) — покрытие 7 (Ю) множествами, открытыми в У, В си. лу теоремы 1 .множества (О»к=1'(Ог), а~«») образуют ОТКры- тое покрытие Ю. Извлекая из него конечное покрытие Ол', ... ..., Оьх, находим конечное покРытие б'„'1, ..., 0'„'» множества ~(Х) с: У. Таким образом, 7(л) — компакт в У.
Ф С л едет в и е. Непрерывная вещественная функция г: «ь -«Я на компакте принимает в некоторой точке компакта наибольшее (наименьшее) значение. 4 Действительно, )(УГ) — компакт в Я, т. е. ограниченное и замкнутое множество. Это значит, что 1п( Г (уу) ен 7 (»пГ) и зпр 1(Ю) ен ~~(йу). Э' В частности, если Ю вЂ” отрезок 1а, Ь)~й, то мы вновь полу- чаем классическую теорему Вейерштрасса. На отображения, непрерывные на компактах, дословно пере- носится теорема Кантора о.равномерной непрерывности. Прежде чем ее формулировать, приведем нужное Определение 7.
Отображение 7: Х вЂ” «У метрического про- странства (Х; йх) в метрическое пространство (У; йг) называется равномерно непрерывным, если для любого е)О найдется 6) О такое, что на любом множестве Е~Х с диаметром, меньшим 6, колебание е(7; Е) отображения ) меньше е. Теор ем а 3 (о равномерной непрерывности).
Непрерывное отображение Г: (й"-«У метрического компакта Ю в метрическое пространство (У; тг) равномерно непрерывно. В частности, если Ю вЂ” отрезок на 14, а У=Я, то мы вновь возвращаемся к классической теореме Кантора, доказательство которой, изложенное в гл. 1Ч, й 2, и. 2, практически без изме- нений перейосится на указанный общий слуяай. Рассмотрим теперь непрерывцые отображения связных про- странств. Теорема 4. При непрерывном отображении образ связного топологичвского пространства свяжи, 4 Пусть 7: Х-«У — непрерывное отображение связного топо- логического пространства (Х; тх) на топологическое пространство (У; тг).
Пусть Е„открыто-замкнутое подмножество У. В силу теоРемы! пРообРаз Ех 7-'(Ег) множества Е, откРыто-замкнУт в Х. В силу связности Х имеем тогда: либо Ех — — ф, либо Ех= = Х. Но это означает, что либо Е,= ф, либо Ег =У = 7(Х). В Следствие. Если функция 7": Х-«1т, нспрерьаная насвязном ' топологичгском пространстве (Х: т), принимает значение 7(а) =- = А енй и 7(Ь) = В ее И, то для любого числа С, лежащего между А и В, найдется такая точка с ее Х, в которой )(с) =С.
4 Действительно, по теореме 4 7'(Х) — связное множество в й. Но в 1~ связными множествами являются только промежутки (см. утверждение из $ 4). Таким образом, вместе с точками' А н В точка С содержится в )(Х). Ь 44 гл. Ис непрерывные ОтОБРАжения (ОБЩАЯ теОРиЯ) Ч 7 ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИИ В частности, если Х вЂ” отрезок, мы возвращаемся к классической теореме о промежуточном значении непрерывной веществен. иозначной функции. Задачи н упражнения 1. в. Если атобрзжение й Х -« У непрерывно, то будут ли абрззы открытых (звмкнутых) в Х множеств открытыми (ззмкнутымн) множествами в У? Ь.
Если при отабрзжении й Х -« У' не толька прообраз открытого множествз, но й образ открытого множества открыт, та обязано ли 1 быть гомеоморфизмом? с. Если отображение й Х вЂ” У непрерывно н биективно, то всегда ли оно гомеоморфно? б. Будет ли гомеоморфным огабрзжекие, удовлетворяющее условиям Ь и с одновременно? 2. Покажите, что всякое непрерывное биективиое атобрзжение компакта .является гомеоморфизмом 3.
Выясните гомеоморфиы ли (попзрно) кзк топологнческне пространства следующие подмножества (?лс прямая, нптервзл нз прямой, отрезок нз прямой; сфсрз; тор. 4. Топологнчсскос прострзнстно (Х; т) называется линейно свлзлоссь если любые две его точки можно соединить путем, лежащим в Х. Точнее зто ознзчзег, что для любых точек А н В из Х существует такое непрерывное атобрвжение й ! — «Х отрезка !а, Ь) ~ (? в Х,.что 7(а)=А, 1(Ь)=В. з. Покажите, чта всякое линейно связное пространство связно Ь.
Покажите, что любое выпуклое множество в (?л связно. с. Покажите, что сфера 5(а; г) линейно связин в 1?», по в другом метрическом прастрзнстве онз мажет быть вообще не связной б. Проверьте, что в топологнческом прастрзнстве нельзя соединить путем внутреннюю точку мкожествз с внешней точкой множества. не пересекая грвницу зтого множествз.
З 7. Принцип сжимгпощих отображений Здесь будет установлен принцип, который, несмотря на всю свою простоту, оказывается средством эффективного доказательства многих теорем существования. Оп р еде л е н и е 1. Точка а ~ Х называется неподвижной ° точкой отображения.(: Х-ь Х, если 1(а) =а. О и р еде л е н и е 2. Отображение 1: Х -«Х метрического пространства (Х; й) в себя называется сжимающим, если существует число о, О (а(1, такое, что для любых точек х„х, из Х имеет' место неравенство й (((хт), 1(хз)) ( дй (х„х,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
