В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Подмножество топологнческого пространства называегся относительно комппктлыл, если его замыкапне является компактом, Прнведнте прнмеры относительно компактных подмножеств Пв. 2. Топологнческое пространство называется локально комлпкл)лым, еслн каждая точка етого пространства имеет относнтельно компактную окрестность. Приведите прнмеры локально компактных, но не компактных топологнческнх пространств. 3. Покажнте, что для любого локально компактного, но не компактного топологнческого пространства (Х; т„) найдется такое компактное топологнче. скос пространство (г'; т),), что Х с )', а )г',Х состоят нз одной точкн н пространство (Х; тх) является подпространством топологнческого пространства' (г'; т,).
$4. Связные топологические пространства Определе-ние 1, Топологическое пространство(Х; т) назыз вается связным, если в ием иет других открыто-замкнутых подмножеств '), кроме самого Х и пустого множества. Это определение становится более прозрачным с точки зрения нашей интуиции, если ему придать следующую форму. Топологическое пространство связно тогда и только тогда, 'когда его нельзя представить в виде объединения двух йго непростых замкнутых (открытых) подмножеств без общих точек. Определение 2. Множество Е втопологическом пространстве (Х; т) называется связным, если оно связно как топологическое подпространство (Х; т) (с индуцированной топологией): Из этого определения и определения 1 вытекает, что.
свойство множества Е быть связным не зависит от объемлющего пространства. Точнее, если (Х; тх) и'()'; тг) — топологические простран.ства, содержащие Е и индуцирукнцие на Е одну и ту же топологию, то Е связно или нет одновременно как в Х, так и в У. Пример 1. Пусть Е = (хен(с)хчь0).
Множество Е = =(х~Е~х(0) непусто, не совпадает с Е и в то же время открыто. замкнуто в Е (как и Е+ — — (х~Е)х ь О)), если рассматривать Е как топологическое пространство с топологиен, индуцированной стандартной топологией (с. Таким образом, Е несвязно, как и подсказывает наша интуиция, У т в е р жд е н и е (о связных подмножествах Я). Не пустое множество Е с- (с связно тогда и только пюгда, когда для любых х, е, принадлежаи1их Е, из х(у~2 следует, чтв у ы Е.
Таким образом, на прямой связными являются только промежутки (конечные или бесконечные): интервалы, полуинтервалы, отрезки. 4 Необ ходи масть. Пусть Е-связное подмножество (с и тройка точек а, Ь, с такова, что а ~Е, Ьен Е. Но сййЕ, хотя ') То есть одновременно открытых н замкнхтма.
$6. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА зо Г». !Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 1ОБШАЯ ТЕОРИЯ) а<с<Ь. Полагая А =[х ББЕ(х<с), В= [х ен Е(х)с), видим, . что аееА, ЬЕБВ, т. е. АФф и В~ф и АПВ=ф. Кроме того„Е= А ЦВ и оба множества А, В открыты в Е. Это противоречит связности Е. Д о с т а то.ч н ос т ь, Пусть Š— подпроетранство Р, обладающее тем свойством, что вместе с любой парой точек а и Ь ему принадлежит и всякая промежуточная точка отрезка [а, Ь). Покажем, чтб Е связно. Предположим, что А — открыто-замкнутое подмножество Е, причем А~ ф и В=Е А Ф ф. Пусть аен А и Ь я В.
Для определенности будем считать, по а < Ь (ачьЬ, так как А П В=ф). Рассмотрим точку с)=зпр[А()[а, ЬЦ. Поскольку Аыа<ст< <ЬББВ, имеем с) ыЕ. Ввиду замкнутости А в Е заключаем,. что ст ен А. Рассматривая теперь точку с, =!п1 [В () [с„Ь)1, аналогично, ввиду замкнутости В заключаем, что сэ ~ В. Таким образом, а<сх<озкЬ, поскольку с,еБА, сзаВ и АПВ=ф. Но из определений сх и'сз и того, что Е= А [) В теперь вытекает, что ни одна точка интервала )с„сз[ не может принадлежать Е. Это противоречит исходному свойству Е. Таким образом, множество Е не может иметь подмножества А с указанными свойствами, что и' доказывает связность Е.
й Задачи в упрвжвеннв 1. э. Проверьте, что еслы А — открыто-звмкнутов подмножество (Х; т). то Е=Х',А тоже является таковым. Ь. Покэжнте, что в термынвх объемлющего пространства свойство связно- атя множестве можно вырээнть в следующем выде: подмножество Е топологн. ческого пространства (Х; т) связно тогда я только тогда, когда в Х нельзя укэззть пару открытых (зэмкнутых) н не пересекэющыхся множеств бх, 6"„ твкнх, что Ейбх Ф Э. ЕПбх чь 6) в Ес:бх Обх. 2. Поквжвте, что: в.
Объедяненне связных подпрастрэнств, ямеющнх общую точку, связно. „Ь. Пересеченяе связных подпрострэнств не всегда связно, с. Зэмыкэнне связного прострэпствэ -связно. 3. Группу 6Е(л) невырожденных матриц порядка л с вещественнымн элеь ментэмя можно рассматривать кэк пронзведенне Йн топологяческях праст- рвнств. еслн с кэжпым элемеытом матрицы связывэть свой экземпляр множе. ствэ П действвтельных чысел, взятых со стэндэрткой топологней. Выясннте, связно лн прострзпство 6Е (л).
4, Топологыческое прострэнетво называется»она»ьно связным, есля каждая его точка обладает связной окрестностью. э. Покэжнте, что яз локвльяой связносты еще не вытекэет связность топо- логыческого пространства. 1 Ь. Множество Е в Пь есть грэфяк функцнн хь-ь Ип — (прн х чьо) плюс отрезок 1(л, у) ьы Пз) х, Од) у) ~1) осн ордннвт. Нэ Е рвссмэтрнвэется ннду- цяравэявзя нз );м тбпояогня. Покэжнте, что получэющееся прн этом тополо- гяческое простоэнство является связным, но не являетсв локально связным. 5.
В гл. Ч11, 1 2, и. 2 мы определяли связное подмножество );ю кэк такое множество Е ~ П», любые две точки которого манна соеднннть путем с носы. телем в Е. В отлнчне от введенного в нзсюящем параграфе определения топологической связпостн, рассмотренное в главе ЧП понятие нменуется обычна »инсйной сеянной»ьью. Проверьте, что: з. Всякое линейно связное подмножество П» является связным. Ь. Не всякое связное подмножество П» прн л ~ 1 является линейно связным (см. задачу 4).
с. Всякое связное открытое подмножество )1» является линейно связным. й б. Полные метрические пространства В этом параграфе речь будет уже только о метрических пространствах и, точнее, об одном классе таких пространств, играю. щем важную роль в различных отделах анализа. 1. Основные определения и примеры. По аналогии с уже известными нам из рассмотрения пространства [ч". понятиями, введем понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей точек произвольного метрического пространства. Определение 1. Последовательность [х„; аеБЩточек метрического пространства (Х; й) называется фундажеяли)ланой по-' следовательностью нли лоследоеательяостью Коти, если для любого э>0 иайдется номер Л) яр) такой, что при любых номерах т, л ен14, больших, чем )Ч, выполняется соотношение )((х, х„)» в.
Определение 2. Будем говорить, что последовательность (х,; и ен 14) точек метрического пространства (Х; т() сходится к точке а ББ Х и что а есть предел втой последовательности, если 1пп а'(а, х„) = О. » ьь Последовательности, имеющие предел, будем, как и прежде, называть сходящимися. Теперь дадим основное Определение 3. Метрическое пространство (Х; й) называется поляыл), если каждая фундаментальная последовательность его точек является сходящейся. Пример 1.
Множество (ч действительных чисел состандартной метрикой является полным метрическим пространством, что следует из критерия Коши сходимости числовой последойательности. Заметим, что поскольку всякая сходящаяся последовательцость точек метрического пространства, очевидно, является фундамен.
тальной последовательностью, то в определении полного метрического пространства в сущности просто постулируется выполнение в нем критерия Коши сходимости последовательности. Пример 2. Если из множества (ч удалить, например, числоО, то в стандартной метрике множество Р'~,0 уже не будет полным пространством. Действительно, последовательность х„= 1/л, л ыр(, его точек фундаментальна, но она не имеет предела в Р~,О.
Пример 3. Пространство Р с любой из стандартных ме(ьрик в нем является полным, как это.было выяснено в гл. У11ь 2'2, П.1, за Гл,!х. непрерыВныВ ОтОБРА/кения (ОБшАя теОРия! ! а. полные метРические пРОстРАнстВА П р и м е р 4. Рассмотрим множество С [а, Ь) вещественнозначиых непрерывных на отрезке [а, Ь] с= Я функций с метрикой с((/, а)= !пах ~/(х) — а(х)! а(х~ь (см. 9 1, пример 7). Покажем, что метрическое пространство (С[а, Ь]; ь() является полным. 4 Пусть «/„(х); и ее !4) — фундаментальная последовательность функций из С[а, Ь), т. е.
Т/в» 0 =1Ь/ ее 14 ч!/ит ее 14 'т/и ее !4 ((ит- Ь//1 и» Ь/) =~ ~ч!/хне[а, Ь](!/ (х) — /„(х)!«Е)). (2) При каждом фиксированном значении хне[а, Ь], как видно из (2), числовая последовательность «/„(х); и ~ !4) фундаментальна и по «ритерию Коши имеет определенный предел /(х). Итак, /(х): = 1!Тп )„(х), 'х ~ [а, Ь], (3) Проверим, что функция /(х) непрерывна на [а, Ь], т. е. /Ее Из (2) и (3) следует, что при и»Ь/ выполнено неравенство «/(х) — /л (х) ! ~ е, 'Фх ы [а, Ь].. (4) Фиксируем точку х еп[а, Ь) и проверим непрерывность функции / в этой точке, Пусть смещение й таково, что (х+й) ~ [а, Ь].
Из тождества 1(х+й)-1(х) =/(х+й)-/„(х+й)+«„(х+й) -/„(х)+/,(х) -/(х) вытекает неравенство «/(х+й)-/(х) ! к, и У(х+й) — /„(х+й)~+~[„(х+й) — Р„(х)!+«[„(х)-1(х)!. (Б) Крайние члены правой. части. последнего неравенства в силу (4) нв превосходят е, если и»Ь/. Фиксирована»й/, получаем функцию /„ВЕС[а, Ь) и, подбирая б=б(е) так, что при !й«(о выполняется !/„(х+й)-!,(х)!(е, получаем, что ![(х+й)-[(х)/( с,ЗВ, если «й)(б. Но это и означает, что функция ! яепрерывца в точке х. Поскольку точка х была произвольной точкой отрезка [а, Ь], мы показали, что /ыС[а, Ь)н ~ Итак, пространство С[а, Ь] с метрикой (1) является полным метрическим пространством.
Это очень важный и широко используемый в анализе факт, Пример 5. Если на том же множестве С[а, Ь) вместо ме ;;в)чки (1) рассмотреть интегральную метрику ь Ь((/, л) = 1 ~ / — д ~ (х) ч/х, (б ;;й!у возникающее метрическое пространство уже не будет полныь. Ради простоты обозначений положим [а, Ь]=[ — 1, Ц. ! упассмотрим, к примеру, последовательность «/„ее С[ — 1, Ц; иее!4 функций, определенных следующим образом: — 1, если — ! ~х~ — 1/и, /„(х)= их, если — 1/и -х(1/и, 1, если !/и~х--.! -'-:[рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
