В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 3
Текст из файла (страница 3)
ЭЛементы множества Х в соответствии с геометрической терми- 'нологией обычно называют точками, Заметим, что если а неравенстве треугольника с) положить хз хд то с учетом аксиом а) и Ь) метрики получим, что О ~ й (х„хд), т. е.
расстояние, удовлетворя1ощее аксиомам а), Ь), с), неотрнцательно. Рассмотрим некоторые примеры. 1З ' 12 Гл. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 1ОБщАя ТЕОРИЯ) 5 1.МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО Пример 1. Множество Й действительных чисел становится мвтрическим пространством; если для чисел хт, х, положить т((хт, хь) = ~ хт - хь ~, как мы это всегда и делали. Пример 2.
На И можно ввести и мною других метрик. Тривиальной метрикой является, например, такая, при которой между любыми двумя различными точками расстояние полагается 'равным единице. Значительно содержательнее следующая метрика на Р. Пусть хь 7(х) — определенная для х ~ 0 неотрицательная функция, обращающаяся в нуль лишь при х=О, Если эта функция строго выпукла вверх, то, полагая для точек хт, хь ~(с' ' (((хт, хь) [(~хт — "хь!) . (2). пйлучим метрику на Р. Аксиомы а), Ь) здесь, очевидно, выполнены, а неравенство треугольника следует из того, что, как легко проверить, 7 строго монотонна и при 0(а(Ь удовлетворяет неравенствам /(а+ Ь) — 7 (Ь) ~ [(а) — '7 (О) = Г(а). В бб, б Л б б(*о Л( Ь(Л-Й1 или т((хт, х,) ' ' .
В.Ьоследнем случае расстояние между 1+ ~ хб — хь ~ ' любыми точками прямой меньше единицы. Пример З..В К", кроме траднционного расстояния л (((х„хь)' ~ !х[-х',!ь (3) между точкамн х,=[х'„..., х;), хь=[л11, ..., х,"), можно ввести расстояние 1 л 11/р (( (х„х,) = Д ! х[ — х,' )р~ (4) (=1 ' где р~1( То, что для функции (4) выполнено неравенство треугольника, вытекает из неравенства Минковского (см. гл. Ч, $4, 'п, 2). Пр имер 4. Если в печатном тексте встретилась слово с искаженными буквами, то, если дефектов не слишком иного, мы ' без особого труда восстанавливаем слово, исправляя 'ошибки. Однако исправление ошибок н получение слова-операция не всегда однозначная, и потому при про(их равных условиях предпочтение яадо отдать той расшифровке искаженного текста, для подчченыя кптвйой потребуется сделать меньше исправлений.
В спттгветстайи сп сказанным в теории кодирований иа мдожестве всех последовательностей длины и, состоящих из нулей н единиц, используется метрика (4) при р=1. Геометрически множество таких последовательностей интерпретируется как множество вершин единичного куба. 7=[хин епР~О =х'--1, 1=1, .:., и) в Р'. Расстояние между двумя вершинами — это число перемен нулей- и единиц необходимое, чтобы получить нз координат одной из этих вершин координаты другой вершины.
Каждая такая перемена есть переход- вдоль одного из ребер куба. Таким образом, рассматриваемое расстояние есть кратчайший путь по ребрам куба между рассматриваемыми его вершинами. Пример 6. При сравнении результатов двух серий.из п однотипных измерений чаще всего используют метрику (4) при р= 2. Расстояние между точками в этой метрике называют обычно их средним кеадратичным укронением.
Пример 6. Если в (4) сделать предельный переход прн р-1-+СО, то, как легко видеть, получается следующая метритта в Р': ' а(Х1, ХЬ)лл ПтаХ 1Х1 (в Х' )б (6) 1<1<л Пример 7. Множйство С[а, Ь] функций, непрерывных иа отрезке, становится метрическим пространством, если для функций г, а из С[а, Ь] положить (1(7", й()= тпах /7(х) — д(х)~.. (6) л~хч,ь Аксиомы а), Ь) метрики, очевидно, выполнены, а неравенство треугольника следует нз того, что 11(х) — й(х)~(11'(х)-й(х)(+~й(х) — й(х)~~(т(1, й)+(т(й, й)1 т.
е. ((Д, й)= птах 11(х) — й(х)~(т(Д, а)+(((д, й). а~х~ь Метрика (6) — так называемая равномерная, или чебьаиееская, метрика. в С[а, Ь]-исйользуется тогда, когда мы желаем заменить одну. функцию другой, например полиномом, по которой можно' было бы вычислять значения первой функции с нужной точностью в любой точке хе=[а, Ь]. Величина (1(7, д) как раз характеризует точность такого приближенного расчета. Метрика (6) в С[а, Ь] очень схожа с 'метрикой (6) в Р'.
Пример 8. Подобно метрике (4) в С[а, Ь] при р)1 можно ввести метрику ,ь 11/Р т(рД, й)=~~~[-й~р(х)((х) л То. что при р~) это действительно метрика, следует из неравенства Минковского для интегралов, получающегося пре- 14 Га. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБШЛЯ ТЕОРИЯ) $1.МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО . дельным переходом нз неравенства Минковского, которое можно написать для интегральных сумм. Особо важными частными случаями метрики (7) являются; при р=1 — интегральная метрика; при р=2 — метрика среднего квадратичного уклонения; при р=+ ОΠ— равномерная метрика.
Пространство С[а, Ь1, наделенное метрикой (7), часто обозначают символом Ср[а, Ь]. 'Можно проверить, что С [а, Ь) есть пространство С[а, Ь1, наделенное метрикой (6). Пример 9. Метрику (7) 'можно было бы использовать также на множестве егг [а, Ь1 функций, интегрируемых по Риману на отрезке [а, Ь1. Однако поскольку интеграл от модуля разности двух функций может обратиться в нуль, даже если функции не совпадают тождественно, то аксиома а) в этом случае не будет выполнена, Мы знаем, однако, что интеграл от неотрицательной функции лрен.Я[а, Ь1 равен 'нулю тогда и только тогда, когда 1р(х)=0 почти во всех точках отрезка [а, Ь1. Таким образом, если разбить аЯ.'[а, Ь1 на классы эквивалентных функций, причем функции из аФ [а, Ь| считать эквивалентными, если они отличаются не более чем на множестве меры нуль, то на совокупности РФ[а, Ь1 таких классов эквивалентности соотношение (7) действительно задает метрику.
Множество аФ [а, Ь1, наделенное этой метрикой, обозначается через аглтР[а, Ь~, а иногда и просто через ОЯ' [а, Ь~. П р и м е р 10. В множестве Соп [а, Ь1 функций, определенных на [а, Ь) и имеющих на этом отрезке непрерывные производные до порядка й включительно, ' можно определить следующую метрику: 11([, и)=П1БХ [Ма, ", Мл).
(8) где М1 — — гпах ~71п(х) — йап(х)|, 1=0, 1, ..., к. а<а<Л Используя то, что (6) есть метрика, легко проверить, что и (8) есть метрика. Предположим, например, что 7 есть координата движущейся точки как функция времени. Если ставится ограничение на допустимый район пребывания точки в промежуток времени [а, Ь1 и запрещается превышать определенную скорость, а, кроме того,, желают иметь некоторый комфорт, состоящий в том, что ускорения не должны превышать определенный уровень, то еетественно рассмотреть для функции 1 ~ См> [а, Ь1 набор 1пах ' 7(х)й 1пах ~7'(х)~, гпах /7" (х)~~ и по этим харак- а<а<а а<а<а а<а<а тернстнкам два движения 7, д считать близкими, если величина (8) для них мала.
-' "~ассмотренные примеры показывают, что одно и то же мно'жьертво можно метризовать различными способами. Введение той ялн иной метрики диктуется обычно самой постановкой задачи. 4й)чае же мы будем интересоваться самыми общими-свойствами ' фтрических пространств, присущими им всем. 2. Открытые и замкнутые подмножества'метрического пространенаа. Пусть (Х; а) — метрическое пространство. Подобно тому, как это было сделано в главе ЧП, $1 для случая Х=(ка, в обчцем случае тоже можно ввести понятия шара с центром в данной Яичке, открнггого множества, замкнутого множества, ' окрестности точки, предельной точки множества и т.
д. ' Напомним эти основные для дальнейшего понятия. О и р еде л е н и е 2. При 6) 0 н а ен Х множество В (а; 6) = [х ен Х ~ 1( (а, х) <"'6) 1шзывается шарам с центром а ее Х радиуса Ь или также Ь:окрестностью точки а. . В случае общего метрического пространства это название яв:ляется удобным, но его не следует отождествлять с традицион. ным геометрическим образом, к которому мы привыкли в Р. Пример 11. Единичный шар в С[а, Ь1 с центром в функции, тождественно равной нулю на [а, Ь1, состоит нз тех функций, иецрерывных на отрезке [а, Ь1 модуль которых меньше единицы 'Иа этом отрезке. Пример 12; Пусть Х вЂ” единичньш квадрат в Р, расстоя. ние между точками которого определяется как расстояние между .игиь(н же точками в Р. Тогда Х является метрическим простран'ством, причем взятый сам по себе квадрат Х с такой метрикой мо)кно считать шаром любого радиуса р «)г 272 относительно сво-егп центра.
Ясно, что так можно было. бы построить шары весьма при. чудливой формы. Так что термин шар не следует понимать слишком буквально. Определение 3. Множество бс: Х называется оиисрьипым в метрическом пространстве (Х; л(), если для любой точки хан 6 найдется шар В(х; 6) такой, что В(х; 6) с= О. Из этого определения, очевидно, следует, что само Х вЂ” откры-тое в (Х; л() множество; пустое множество ф также открыто.
Теми же рассуждениями, что и в случае Р', можно доказать, что шар В(а; г) нли его внешность [х ее Х ~л((а, х)) г[ суть откры тые множества. (См. гл. Ч111, 5 1, примеры 3,4.) Определение 4. Множество г с: Х называется еамкнутам з (Х; с(), если его дополнение Х'.,У открыто в (Х; с(). В частности, отсюда заключаем, что замкнутый и1ар В(а; г):= [хе= Х(с((а, х)~г[ !а, Гл. 1х, непРерыВные ОтОБРАжения (ОвшАя теОРия> $ ! МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО является множеством, замкнутым в метрическом пространстве (Х; й). Для. открытых и. замкнутых множеств в метрическом прост- ранстве (Х; й) справедливо Утверждение 1.
а) Объединение и 6, множеств л!Сбйй мак системы (Оо, сс ее 'и) множеств Оо, оп1крып!ых в Х, являе!Пся множесп!вом, оискрыиимм В Х. Ь) Пересечение П 61 конечного числа множеств, оиисрытых в Х, 1=1 является множеством, открытым в Х. з') Пересечение П У;, множеств любой системы (Уо, сс ~ 6) оен множеств У;„замкнутых в Х, явлчется множеством, замкну- тым в Х. л Ь') Объединение и .У! конечного числа множеств, замкнугпых г=! в Х, является множецпвом, замкнув!Ым в Х. Доказательство утверждения 1 дословно повторяет доказа- тельство соответствующего. утверждения для открытых и замкну- тых множеств в (чл, н мы его опускаем, (См, гл. ЧП, р 1, утвер- ждение 1.) О п р еде лен и е 5.
Открытое в Х множество, содержащее точку х ен Х, называется окрестностью этой точки в Х. Определение 6. Точка х я Х 'по отношению к множеству Е'~ Х называется внутренней точкой Е, если она содержится в Е вместе Ь не. которой своей окрестностью", внешней точкой Е, если она является внутренней точкой 'дополнения к Е в Х; граничной точкой Е, если она не является йи внутренней, ни внешней точкой по отношению к Е (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
