В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 8
Текст из файла (страница 8)
37). Из свойств ннтеграла непосредственно вытекает, что эта по 'йледовательность фундаментальна в смысле метрики (б) в С [ — 1, 1. '.„Высоте с тем она не имеет предела в С[ — 1, Ц, ибо если бы н. ,, прерывная функция /ее С[ — 1, Ц была пределом указанной последовательности в смысле метрики ! '!Тт), то на промежутке — 1==х~О функция / должна была бы быть 'постоянной, равной — 1, а на про..мвжутке 0 ~ х и- 1 — постоянной, -1 -1л ,Равной 1, что несовместимо с неп-,! „„ / м ;Фврывиостью ! в точке х=О. !Р Пример б. Несколько труд- ! ",Же ' показать, что даже множе!]ьгво ей'[а, Ь] определенных на ',47!Резке [а,'Ь] вещественнозначных -1 йитегрируемых по Риману на этом отрезке функций также не' Рис. 67. "!!Вляется полным в смысле мет- '1ьнки (6) *).
Мы покажем это, опираясь на критерий Лебега ин'«'П~рируе!ности функции по Риману. 4 В качестве [а, Ь] возьмем отрезок [О, Ц и построим на леем такое канторовское множество, которое не является множе"ством меры нуль. Пусть /дне)0, 1/3[. Удалим из отрезка [О, Ц сРеднюю его часть длины Л, точнее, Л/2-окрестность середины 'втрезка [О, Ц. На каждом из оставшихся двух отрезков, удалим 'Щеднюю часть длины Л 1/3.
На каждом из четырех оставшихся Отрезков удалим среднюю часть длины /! 1/3' и т. д. длина всех ') По поводу самой метрики (6) на етг(н, Ь! см. замечание, сделанное В примере 9 иа 4 !. 2 В. А. Зорвч, ч. !1 34 гк |Х. НЕПРЕРЫВНЫе ОтОВРА)кения |ОВШАя тЕОРИя) 6 6. ПОЛНЪ!Е МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 35 удаленных в таком процессе интервалов равна /1+ а 2/3 + + /6 4/3'+...
+ /6 . (2/3)" +... = 37). Поскольку 0 С ц с —, имеем 1 — ЗЛ)0 и, как можно цроверить, отсюда следует, что,оставшееся на отрезке 10, 1] (канторово множество) К не имеет меру нуль в смысле Лебега. Рассмотрим теперь следующую последовательность; (/„ея енв)У(0, 1]; и еЩ. Пусть /„— функция, равная единице всюду на 10, 1], кроме точек, выбрасываемых на первых п шагах интервалов, на которых она полагается равной нулю. Легко проверить, что эта последовательность фундаментальна в 'смысле метрики (6).
Если бы некоторая функция /~В«210,!] была пределом этой 'последовательности, то / 'должна была бы почти во всех точках отрезка 10, 1] совпадать с характеристической функцией множества К. Тогда / имела бы разрывы во всех точках множества К. Но поскольку К не имеет 61еру нуль, из критерия Лебега можно было бы заключить, что / ф Вгг 10, 1]. Значит, еч 1а, Ь] с метрикой (6) .не является полным метрическим прострайством. 1»' 2. Пополнение метрического пространства. Пример. 7. Вернемся вновь на действительную ось и рассмотрим множество (ь) рациональных чисел с метрикой,' нндуцированной стандартной метрикой на (ч.
Ясно, что последовательность рациональных чисел, сходящаяея в Р к $'2 фундаментальна, но не имеет предела в 4;), т. е. Щ с указаниой метрикой не является полным пространством. Вместе е тем ц] оказывается нодпространством полного метрического пространства Й, которое естественно рассматривать как пополнение(((| Заметим, что множество ((]с=И можно было бы рассматривать и. как подмножество полного метрического пространства й», однако называть Р пополнением ((] не представляется целесообразным.
Оп ределен не 4. Наименьшее полное метрическое пространство, содержащее данное метрическое пространство (Х; «), назовем пополявнивл) пространства (Х; «). Это интуитивно приемлемое определение требует по меньшей мере двух разъяснений: что такое «наименьшее» и существует ли оно. Очень скоро мы сможем ответить на оба эти вопроса, а пока примем следующее более формальное Определение 5. Если метрическое пространство (Х; «) является подпространством метрического пространства.
(У; «) и множество ХЕ= У всюду плотно в У, то пространство (У; «) называется пополягяигл) метрического пространства (Х; «); О и р е де л е н н е 6. Метрическое пространство (Х„«6) называется изолитричным метрическому пространству (Х,; «6), если существует биективное отображение /| Х|-|-Х»-такое, что для любых точек а,.Ь из Х, справедливо равенство «»(/(а),/(Ь)) = =«)(а, Ь). (Отображение /: Х)-»Х, называют в этомслучае изолитригй.) Ясно, что введенное отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е. является отношением эквивалентности 'между метрическими пространствами.
При изучении свойств'метрических пространств мы изучаем не индивидуальное простррнство, а свойства сразу всех изометричиых ему пространств. По этой причине изометрнчные пространства можно не различать. Пр имер 8. Две конгруэнтные фигуры на плоскости как метрические пространства изометричны, поэтому при изучении метрических свойств фигур мы вовсе отвлекаемся, например, отрасположения фигуры в плоскости, отождествляя между собой все конгруэнтные фигуры. Приняв соглашение об отождествлении изометричных прост« ранств, можно показать, что если пополнение 6«етрнческого пространства и существует, то оно единственно.
Проверим предварительно, что справедлива . Лемма. Для любой чгтвгрки иючгк а, Ь, и, о метрического пространства (Х; «) имеет место нгровгмопво ~«(а, Ь) — «(и, о)(-=.«(а, и)+«(Ь, о). (7) 4 В силу неравенства треугольника «(о, Ь) .«(о, и)+«(и,- )+«(Ь, о), откуда и следует (7). В Теперь докажем Утверждение 1. Если метрические пространства.(У)' «)) (У',; «6) являются иополягниял|и одного и того жг пространсоиа (Х; «), то они изол«строчны., 4 Изометрию /: У,— У» построим следующим образом.
Для хен Х положим ./(х)=х. Тогда «6(/(х)), /(х«)) =«6(х)), /(х«)) = =«(х|, х,)=«|(х|, х») при х|, х»яХ. Если угыУ)'~,Х, то у| — предельная точка для, Х, так как Х всюду плотно в У,. Пусть (х„; п ~ 14] †сходящая к у| в смысле метрики «6 последовательность точек Х. Зта последовательность фундаментальна в смысле «). Но поскольку на 'Х метрики «| и «, совпадают с «, эта последовательность фундаментальна также н в (У,; «6). Последнее пространство полное, йоэтому эта последовательность имеет в нем предел у, ен У. Стандартным образом проверяется, что такой предел единственный. Положим теперь /(у)) =у»л Поскольку любая точка у«е У,',Х, так же как и любая точка у| е- =У|", Х, является пределом некоторой фундаментальной последовательности точек из Х, то построенное отображение 7': У»-~.
-| У» сюръективно. 2» ЗЕ ГЛ.!Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБШАЯ ТЕОРИЯ! 3 3. ПОЛНЫВ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Проверим теперь, что для любой пары точек у'„у,' из г'! выполнено равенство дт(~(д!), 1(д!)) =д (д! д~). (8) Если у;, у," лежат в Х, то эта очевидно. В общем же случае возьмем две последовательности (х„'; и ен (ч), .(х„"; и ~ Щ точек ' из Х, сходящиеся соответственно к д', и у,".
Из неравенства (7) вытекает что д! (у;, д,) = 1пп д! Щи х'„), л со или, что то же самое (9) т(! (у!', у,') = 1пп !((х„', х,). Йо построению эти же последовательности сходятся к у,'= 7(у!) и у,' =7(у!") соответственно в пространстве(УЯ; д,). Значит, д,(д'„у;)'= 1пп г((х„', х„"). (1О) Сравнивая соотношения (9) и (1О), получаем равенство (8). Это равенство заодно устанавливает инъективиость нашего отображения 7; УТ-~)'т и тем самым завершает доказательство того, что ) — изометри я. В определении 5 пополнения (т'; д) метрического пространства (Х; д) мы требовали„чтобы (Х; д) было подпространством ()'; д) всюду плотным в (г'; д). С точки зрения отождествления изометричных пространств можно было бы теперь расширить представление о пополнении н принять следующее Определение 5'.
Метрическое пространство ()'; дг) называется пополнением метрического. пространства (Х; дх), если в (У; дг) имеется всюду плотное подпространство, изометричное (Х' "х). Докажем теперь Утвер жден не 2. Каждое метрическое пространство имеет пополнение. 4 Еслгг исходное пространство само является полным, то оно само является своим пополнением. Идею построения пополнения неполного метрического пространства (Х; дх) мы уже, по существу, продемонстрировали, доказывая утверждение 1.
Рассмотрим множество фундаментальных последовательностей в пространстве (Х; !(х), Две такие последовательности (х„'; нее(4), (х„', и ее (() назовем эквивалентными или конфинальными, если !(х(х„', х„")-+О при и-~СО. Легко видеть, что отношение конфинальности действительно является отношением эквивалентности. Множество классов эквивалентных фундаментальных последовательностей обозначим через 5, Введем в 5 метрику по следую- щему правилу.
Если з' и з" — элементы 5, а (х„', а ен 141 (х„', и Й٠— некоторые последовательности из классов з' и з" соответственно, то положим !((з', ь ) = 1пп дх (х,', х„"). Из неравенства (7) следует, что это определение корректно: написанный справа предел существует (по критерию Коши для числовой последовательности) и не зависит от индивидуального выбора последовательностей'(х„', п я И), (х„'; и я г() из з', з". Функция д(з', з") удовлетворяет всем аксиомам метрики.
Полученное метрическое пространство (5; !() и является искомым пополнением пространства (Х; дх). В самом деле, (Х; дх) изо. "метрично подпростраиству (5х, !() пространства (5, д), состоящему из тех классов эквивалентных фундаментальных последовательностей, в каждом из которых имеется постоянная последова' тельность (х„=хенХ; пяЦ. Такой класс зя5 естественно ьтцждествить с точкой х ~ Х. Получающееся при этом отображе"ние 1: (Х; дх)-+.(5х., д), очевидно, изометрично. Остается проверить„что (5х', с() всюду плотно в (5; !() и что '(5; г() — полное метрическое пространство. Проверим сначала плотность (5х, д) в (5; с(). Пусть з — про'извольный элемент 5, а (х„; п ~ (ч) — фундаментальная последо'- вательность из (Х; дх), Принадлежащая этому классу з ~ 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
