В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 12
Текст из файла (страница 12)
3. а. Покажите, что в случае выпуклой с положнтельной пронзводной на отрезке [и,,р[ функннн, прнннмаюшей на конках отрезка значення разных знаков, метод Ньютона (6) действнтеаьно дает последовательность [х ), сходящуюся к той точке о ш [а, 61, в которой [(о)=6. Ь.
Оненнте скорость сходнмостн последовательностн [6) к точке а. з ь линвпнов ногмиговлннов пгостялнство з 'З(Е Г Л А В А Х ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ С БОЛЕЕ ОБЩЕЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ й 1, Линейное нормированное пространство Дифференцирование — это отыскание наилучшего локального линейного приближения функции, поэтому любая сколь-нибудь общая теория дифференцирования должна опираться на элементарные представления, связанные с линейными функциями, Из курса алгебры читателю хорошо знакомо понятие линейного про. странства, а также понятия линейной зависимости и независимости системы векторов, базиса и размерности линейного пространства, подпространства и т.
д. В этом параграфе мы дадим . представление о линейных пространствах с нормой или, как говорят, линейныя нормированных пространствах, широко используемых в анализе. Начнем однако с примеров линейных пространств. 1. Некоторые примеры линейных пространств анализа. П ример !. Классическими примерами линейных пространств над полем действительных и комплексных чисел являются соответственно вещественное Я" и 'комплексное С" арифметические пространства размерности п. Пример 2. В' анализе,, наряду с указанными в примере 1 пространствами Р", С", встречается наиболее близкое к ним пространство 1 последовательностей х = (х', ..., х", ...) действительных или комплексных чисел.
Линейные операции в С как и в Я' и С", осуществляются покоординатно. Особенностью в сравнении с (~" или С" является то, что любая конечная подсистема счетной системы векторов (х;=(О, ..., О, х'=1, О, ...), 1~14) линейно независима То есть 1 — бесконечномерное (в данном случае счетномерное) линейное пространство. Совокупность 1 финитных последовательностей (все члены которых, начиная с некоторого, равны нулю) является линейным подпространством пространства 1, причем тоже бесконечномерным, Пример 3. Пусть Р[а; Ь1 — множество числовых (действительно- или комплекснозначных) функции, ° определенных на отрезке [а, Ь).
Это множество является линейным пространством (над соответствующим числовым полем) по отношению к операциям сложения функций и умножения функции на число. Совокупность функций вида О, еслй х~ [а, Ь) и хФт, е,(х) = 1,, если хан [а,.Ь) и х=т является континуальной системой линейно независимых векторов в Р [а, Ь]. Множество С[а, Ь) непрерывных функций, очевидно, является подпространством построенного пространства Р[а, Ь). П р и м е р 4. Если Х, и Х, — два линейных пространства над одним и тем же полем, то в их прямом произведении Х,хХ, естественным образом вводится структура линейного пространства; если линейные операции над элементами х= (х„х,)е= Х, х Х, выполнять покомпонентно.
Аналогично вводится структура линейного пространства в прямом произведении Х, х...х Х, любого конечного набора линейных ' пространств. Это полный аналог пространств Р" и С". 2. Норма в линейном пространстве. Теперь дадим основное Определение 1. Пусть Х вЂ” линейное пространство над полем действительных или комплексных чисел. Функция [ ): Х -~- й, ставящая каждому вектору х ~ Х .в соответствие действительное число ) х), называется нормой в линейном пространстве Х, если''она удовлетворяет следующим трем условиям: а) [ х ) = О с=э х = О (невырожден ность); Ь),[Ах)= )Л![х[ (однородность); с) ) х,+хз) ([х, [+ [х, ~ (неравенство треугольника). Оп р еде лен и е 2.
Линейное пространство с определенной на нем нормой называется линейным нормированным пространством. Определение 3. Значение нормы на векторе называется нормой этого вектора. Норма вектора всегда неотрицательна (и, как видно из а), равна нулю только для нулевого вектора). 4 Действительно, для любого х ~ Х, в силу с) 'и с учетом а) и Ь) получаем О=[О[=)х+( — х)Ц([х[+Ц вЂ” х[=)х)+$ — 1$[х[=2[х). ~ Из с) и принципа индукции следует общее неравенство [х,+...+х„[~[х1[+...+[х„Ь . (1) а с учетом Ь) из с) легко вывести также полезное неравенство ! [ х1 [ — [ хз [ ( в-- [ х1 — х, [. (2) Еь Гк.
Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Э !. ЛИНЕИНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО Любое .линейное 'нормированное пространство имеет естествен. ную метрику !!(х„хь) =]х! — х,!. (3) То, что так определенная функция д(х„хь) удовлетворяет акеиомам метрики, непосредственно следует из свойств нормы. Благодаря наличию в Х линейной структуры метрика !( в Х обладает 'двумя дополнительными специфическими свойствами: д(хТ+х, х,+х) =((х,+х) — (х,+х)] =[х, — х,]=0(х„ха), т.
е. метрика инвариантна относительно переносов, и !(()!ЛТ, Щ=!)!х! — Хх,]=]А(х! — х,)(=!А|]х,— хь]=!А!!((хк, хь), а ! к=! (4) то, кек следует из неравенства Минковского, мы получим норму в Р". Пространство Р, наделенное этой нормой, будем обозначать СИМВОЛОМ Ир' Можно проверить, что (5) ]х]р,~[х[„, если 1(рк~р„ и что ! х (р -Р и!ах Д х' ), ..., ( х" Ц при р-ь+Оо. Таким образом, естественно положить (х]:=шах Цхк(, ..., )х" Ц. Тогда из (4) и (5) следует; что ]х! ~]х]р(]х]к(п]х[„при р)!.. (8) Из этого неравенства, как, впрочем, и из самого определения (4) нормы ]х]р, видно, что йр является полным нормированным пространством. П р и м е р б. Предыдущий пример полезно обобщить следующим образом. Если Х= Х,х...х Х„есть прямое произведение нормированных пространств, то в Х можно ввести норму вектора (7) т. е.
она однородна: О п р е д е л е н и е 4. Если линейное нормированное пространство является- полным как метрическое пространство относительно естественной метрики (3), то оно называется полнььи нормированным пространством или банаховым пространством. Пример 5. Если для вектора х=(х', ..., х') ~!с' при р~! положить х= (хТ, ° ° °, х„), положив (а !! [х]р; =~~Ч~ ]х!]Р)Р, Р~1, 1=1 (9) где ]х!] есть норма вектора х! ~ Х!-в пространстве ХР Естественно, неравенства (8) и в этом случае остаются в силе. В 'дальнейшем, когда рассматривается прямое произведение нормированных пространств, всегда, если нет специальных оговорок, предполагается, что в нем норма определена в соответствии с формулой (9) (включая случай р=+ОО).
П р и м е р 7, Пусть р ~ 1. Обозначим через lр множество таких последовательностей х = (х', ..., х", ...) действительных или комплексных чисел, что ряд ~', ~х ~~ сходится, и для хен!р а=! положим I ! ! — ( ха~1Р Р !а ! (10) Проверку аксиом нормы мы оставляем читателю. Заметим, что эта норма порождает уже знакомую нам метрику (см. гл. 1Х, э 5) на С[а, Ь] и нам известно, что возникаюшее при этом метрическое пространство полно. Таким образом, линейное пространство С[а, Ь) с нормой (11) является банаховым.
Пример 9. В С[а, Ь] можно ввести и иную норму ,ь ! ! ](]р:=(1~~~~~р(х)Т!х~р, р)1, (12) а которая сводится к (11) при р-к-+со. Легко видеть (см,, например, гл. 1Х, $ 5), что при 1 ( р <. +СО пространство С[а, Ь] с нормой (!2) не являетоя полным. Используя неравенство Минковского; легко видеть, что !р является линейным нормированным пространством относительно стандартных линейных операций и нормы (10). Зто бесконечно- мерное пространство, по отношению к которому Рр является линейным поднространством конечной размерности. Для нормы (10) справедливы все неравенства (8), кроме последнего. Нетрудно проверить; что 1р является банаховым пространством. П р и м е р 8.
В линейном пространстве С [а, Ь) числовых функций, непрерывных на отрезке [а, Ь], чаще всего рассматрива' ется следующая норма: !)'(:= шах )~(х) ~. (11) керн ь1 Бь ьь ьь О~а — — — — +— З С С (х):=3г (х, х) й(х, у) 1=1х — у1. (18) л (х, у):=;5", х'у', 1=! . и метрикой (13) а в С" — положив л .(х, у):= ~ х'ф. 1-! (14) Гл. Х. ДИФФЕРЕНПИАЛЬЯОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 3. Скалярное произведение в векторном пространстве.
Важный класс нормированных пространств составляют пространства со скалярным произведением. Оии являются прямым обобщением евклидовых пространств. Напомним Определение 5. Говорят, что в линейном (над полем комп. лексных чисел) пространстве Х задана врггитсва форАЗа,' еСли задано отображение (, ): Хх Х-з. С, обладающее свойствами: а) (х„хз) =(хЗ, х,), Ь) <Л „,>=Л< „,,>, с) («1 + хз~ хз) — («1~ хз) + (х2~ хз)г где х„зь, х,— векторы из Х, а Л~ С.
Из а), 1!), с) следует, например, что (х1, Лх ) = (Лхз, х,) = Л (х,„х,) = Л (х„х1) = Л (х„х ); (хь' хз+хз) =(х2+хз х1) =(х2, «1) +(хз, х1) =(х1, хз) +(«1, .хз); (х, х) =(х, х), т. е. <х, х) — действительное число. Эрмитова форма называется положительной, если ' б) (х, х) ) О, и невырожденнои, если е) (х, х) = 0 с=> х = О. Если Х вЂ” линейное пространство 'нвд полем вещественным чисел, то, разумеется, надо рассматривать вещественнозначную форму (х1, х,). В этом случае вместо а) можно записать просто (х„х,) = (х„х,), что означает симметричность формы относительно векторов-аргументов х1, х,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
