В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Пусть К'=Х,х...хХ вЂ” линейное пространство, : являющееся прямым произведением линейных пространств К„... :..., Х„, и пусть А: Х-»У — линейное отображение Х в линей, ное пространство )'. Представляя каждый вектор х = (х„..., хм) ев , аи Х в виде 'х (х„..., х„)= (хи О, ..., 0)+(О, х„О, ..., 0)+...+(О, ..., О, х ) (1) ' и полагая для х; ен Хн (я [1, ..., т) А,(х):=А((0, ..., О, х;, О,,, О)), (2) мы замечаем, что А~'.
Х,-»'г' суть линейные отображения и что А (х) = А, (хт) +... + А (х ). (3) Поскольку при, любых линейных отображениях Ай Х;-» У ' 'определяемое формулой (3) отображение А: Х= Х,х...х Х -»'г', очевидно, линейно, то мы показали, что формула (3) дает общий вид любого линейного отображения А ЕЕЖ(Х=ХтХ...хХ; )'). Пример 10. Исходя из определения прямого произведения 1' У,х„.хУ„линейных пространств )'и ..., 'г'„и определения линейного отображения А: Х-» У, легко видеть, что любое линейное отображение А: Х - У = У'т Х...
Х У„ имеет вид х Ах=,(А,х, ..., А„х)=(у„..., у,)=у~'г', где Ай Х-»У~ — линейнйе отображения. Пример !1. 'Объединяя примеры 9 н 10, заключаем, что ' любое линейное отображение А: Х Х...хХ„=Х- У )' х...х)х„ -прямого произведения Х=Хтх...хХ„линейных пространств в :другое прямое произведение у = )'т х... х у „линейных пространств имеет вид у= " = ° ° . ° " =Ах, (4! где Ау, Хт-» )х~ — линейные отображения.
в| 60 Г», Х. ДиффЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Э К ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В частности, если Х,=Х,=...= Х„=(~, У,= У»=...='г'„= = И, то Асд Ху- У; суть линейные отображения Й ~ х апх ен Р, каждое из которых задается одним числом ап, Таким образом, в этом случае соотношение (4) превращается в знакомую численную запись линейного отображения А: К"- (В». 2. Норма оператора. Определение 3. Пусть А: Х,х...хХ„-Р1' — полилипейный оператор, действующий нз прямого произведения нормированных пространств Х„..., Х„в нормированное пространство 1'. Величина ~ А(хь ..., х») ~г 1А(: = ацр А.= х,. фэ (5) 1А(= зпр ~А.( — „"', ..., — "„" )~= » ~э знр ! А(еы ..., е„)(, (б) где последняя верхняя грань берется по всевозможным наборам еы ..., е, единичных векторов пространств Хы ..., Х, соответственно (т.
е. (е;)=1, 1=1, ..., п). В частности, для линейного оператора А: Х-~. г' из (5) и (6) получаем 1А1=зцп (— "-( зпр ~ Ае(. »~о 1х! (7) где верхняя грань берется по всевозможным наборам хы .., х„ отличных от нуля векторов пространств Хн ..., Х„, называется нормой полилинейного оператора А. В правой части формулы (5) вместо знака (-,'~ нормы вектора употреблено обозначение ( ~, рядом с которым стоит символ того нормированного пространства, которому вектор принадлежит. В дальнейшем мы будем придерживаться этого обозначения для нормы вектора и, если не возникает недоразумений, будем опускать символ пространства, подразумевая, что норма (модуль) вектора вычисляется всегда в том пространстве, которому вектор принадлежит.
Мы хотим тем самым пока внести некоторое различие в обозначения нормы вектора н нормы линейного или полилинейного оператора, действующего на нормированных векторных пространствах. Пользуясь свойствами нормы вектора и свойствами полилинейного оператора, формулу (5) можно переписать следующим образом: Из определения 3 нормы полилинейиого оператора А следует, что если (А(:Оо, то при любых векторах х; ен Хь 1=1, ..., и, справедливо неравенство ) А (х„..., х„))«(А (~ х, ~ ...
~х ~. (8) В частности, для линейного оператора получаем (9) !Ах!«(А(~х~. Кроме того, из определения 3 следует, что если норма поли- линейного оператора конечна, то она есть нижняя грань тех чисел М, для которых неравенство / А (хы "., х„) ( «М; х, / ... 1х, ~ (10) выполнено цри любых значениях х, ен Хь 1=1, ..., п.
Оп р еделени е 4. Полилинейный оператор А: Х,х...хХ»-~ -ь *г' называется ограниченным, если существует такое число М енЯ, что при любых значениях х„..., х„из пространств Хы ..., Х„соответственно справедливо неравенство (1О). Таким образом, ограниченными являются те и только те операторы, которые имеют конечную норму. На основании соотношения (7) легко понять геометрический смысл нормы линейного оператора в знакомом случае А: н -Р(ы, В этом случае единичная сфера пространства К'" переходит под действием преобразования А в некоторый эллипсоид в Р», центр которого совпадает с нулем в Й".
Значит норма А в данном случае просто наибольшая из полуосей этого эллипсонда. С другой стороны, норму линейного оператора можно трактовать также как верхнюю грань коэффициентов растяжения векторов при данном отображении, что видно из первого равенства в (7). Нетрудно доказать, что при отображении конечномерных пространств норма полилинейного и, в частности, линейного оператора всегда конечна. В случае пространств бесконечной размерности это, вообще говоря, уже не так, что видно на первом из следующих примеров.
Подсчитаем нормы операторов, рассмотренных в примерах 1 — 8. Пример 1'. Если считать, что / — подпространство нормированного пространства 1р, в котором вектор е„= (О, ..., О, 1, О, ...) » — ! имеет единичную норму, то, поскольку Ае»=»ле», ясно, что 1А 1 со. П р и м е р 2'. Если ~ 1,' = шах ! 7' (х) ~ «1, то ~ А7 ~ = ! 7" (хВ), « » чек<В ~1, причем (Аг(=1, если 7(х») 1, значит, (А(=1. Га.
Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Э Е ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕПНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Заметим, что если на том же линейном пространстве С (1а', Ь~; И) ввести, например, интегральную норму Ь Й = ) 1Й (х) лгх, а то результат вычисления (А( может существенно измениться. Действительно, пусть 1а, Ь)=10, 1), а х,= 1. Интегральная норма 1 функции 1"„=х" на отрезке [О, 11, очевидно, равна —, в то ВрЕМя КаК Аг„=АХа=Ха1„1="!. ОтСЮда СЛЕдуЕт,, ЧтО В ЭТОМ случае (А(=оо.
Всюду дальше, если не оговорено противное, пространство С(1а, Ь1; И) рассматривается с нормой, определяемой максимумом модуля функции на отрезке 1а, Ь]. Пример 3'. Если 171= шах !1(х))(1, то а<к<А 1ь 1.- ь ь ~ А!' ~ = ~ $ 1' (х) 1(х ~ ( $ ) 1" ) (х) 1(х ~ $ 1 1(х = Ь' — а. а а а Но при 7(х) 1 получаеь! 1А! 1=Ь вЂ” а, поэтому 1А)=Ь вЂ” 'а.
Пример 4'. Если )))= гпах (~(х)((1, то а~к(Ь к к шах ')7(1)1(1 =. шах ')171ЯЖ~ шах. (х — а)=Ь вЂ” а. а~ к а,ь а а< ~Ьа а~к~А Но при 1(() =1 пплучаем к шах ~ 11((=Ь вЂ” а, и~к(ьа поэтому и в данном примере (А1=Ь вЂ” а. Пример 5'. Непосредственно из определения 3 в данном ' случае получаем, что (А(=1.' Пример 6'. В силу неравенства Коши — Буняковского ( (хм хь) ! ~ ) хл ) ° ! х, ), причем, если х,=х„то это неравенство переходит в равенство. Следовательно, ( А(= 1. Пример 7'.
Мы знаем, что Кхы хь)1=1хь | (хь) з!п 1р, где лр — угол между векторами хл и х„поэтому (А(~1. В то же время, если векторы х„х, ортогональны, то з!пкр=1. Таким образом, ( А ( = 1. Пр нме р 8'. Если считать, что векторы берутся в евклидовом простравстэе размерности и, то можно заметить, что А (хм ..., х„) = !(е1 (х„..., х,) есть объем параллелепипеда натянутого на векторы х„..., х„, и этот объем максимален, если векторы х„..., х„, сохранив их длины, сделать взаимно орто. гональными. Таким образом, 11(е1 (хм ..., х„) ! =. ! хь ! ... ! х„(, ' рричем для ортогональных векторов имеет место равенство. Значит в рассматриваемом случае 1 А ( = 1.
Оценим теперь нормы операторов, рассмотренных в примерах '9 — 1!. Будем считать, что в прямом произведении Х = Х;х... х Х„ нормированных пространств Х„ ..., Х норма вектора х = = (х„ ..., х ) ее Х введена в соответствии с принятым в 3 1 (пример 6) соглашением.
Пример 9'. Задание линейного оператора А: Х,х...хХ =Х- У., как было показано, равносильно заданию и! линейных операторов А;: Хл -+ У, определенных соотношениями Алх, = А ((О, ... ..., О, х„О...:, 0)), 1=1, ..., т. При этом имеет место формула (3); в силу которой ' ! л,ь~ Р. !лак~ Р. !!л,!!а1„, а(Р !л,!!)1*!,. 1= ! 1 !1 ! Таким образом, показано, что ал ( А ( '==.
„), ( АЬ 1. 1=1 С другой стороны, поскольку' ) Алх1 ! =1 А ((О, ..., О, х1, О, ..., 0)) ! ~ ~ Я А ( ( (Оэ " е О, хл, Ол ° ° л 0) 1х = ( А Н! хлух,, можно заключить, что при любом 1 1, ..., и! справедлива также оценка (А1(:=(А 1. Пример 10'. С учетом введенной в У='г'ьх...хУ„нормы в этом случае сразу получаем двусторонние оценки и' 1А1)((А(~,У', (А11. 1аь ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ При мер 11'.
Учитывая результаты примеров 9 и 10, можно заключить, что л п 1А1г)()А(~. ~х~,У, '(АЦ 1=1 (=! 3. Пространство непрерывных операторов. В дальнейшем нас будут интересовать не все линейные или полилинейные операторы, а только непрерывные. В этой связи полезно иметь в виду Утверждение 1.
Для полилинейного оператора А: Х1К... ...хХ„-э. У, действующего из произведения нормированных про. странств Х„..., Х„в нормированное пространство У, следую- щиг условия равносильны: а) А имеет конечную норму, Ь) А — ограниченный оператор; с) А — непрерывный оператор, б) А — оператор, непрерывный в точке (О, ..., 0) ен Х1 х...х Х„. ~ Докажем замкнутую цепочку импликаций а) =юЬ) =юс) ~ =:> б) =О а). Ввиду (8), очевидно, а)~Ь). Проверим, что Ь) с=ь с), т. е. что из (10) следует непрерыв- ность оператора А. Действительно, учитывая полилинейность А, можем записать, что А (х,+Й„хх+Й„..., х„+Йи)-А (хн хз, " л хл) =А(Й,, х„..., х„)+...+А(х1, хм ..
° Аи 1л Йл)+ +А (Й1л ЙХ~ Хлл ° ° ° > Аи)+...+ А (Х1, "° Хи-1~ Йл-1л Й„)+ +А (Й„..., Й„). Теперь в силу (10) получаем оценку А(х,+Й„х,+Й„..., х„+Й„)-А(х1, х„..., х„)~~ = М (~ Й1 ~ ( хх ( ... ( х„~+... + ( Х1 1 (,уь ) ... (х„1 ( ( Й„~ + +(Й1((Йх!)Хх! ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
