В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 18
Текст из файла (страница 18)
6. Напомним, что множество, наделенное одновременно структурой группы . н структурой топологического пространства, называется пюлологической или яепрерьвноз группой, если групповая операция непрерывна н указанной топо. латин; если же групповая операция а некотором смысле даже аналитична, то топологическая группа называется группой Лп *). Алгебра Ли †э линейное пространство Х с антикоммутатизной билинейной операцией [, ]; ХхХ вЂ « Х, удовлетворяющей щоясдасщву Якоби: для любых векторов а, Ь, сея Х [[а, Ь], с]+[[Ь, с], а]+Цс, а], Ь]=0. Группы и алгебры Ли тесно связаны между собой и зюкную роль а осуществлении этой связй играет отображение ехр (см.
задачу 1) Примером алгебры Ли может служить ориентированное евклидозо пространство Ез с операцией векторного произведения его векторов. Обозначим пока эту алгебру Ли через ьАь з. Покажите, что вещественные кососнмметрнческие матрицы порядка 3 образуют алгебру Ли (обозначим ее ьАз), если произведение матриц А и В определить соотношением 1А, В]=А — ВА. *) Точное определение группы Ли и соответствующую сноску см. в гл. ХУ, $2, задача 8. Гл. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ э «ТЕОРЕМА О КОНЕЧНОМ ПРИРАЩЕНИИ Ь. Покажите, что соответствие 1 Π— вз вз'г 11 — вз О вт (в, в, в«) — в в' вт Π— и (з) ез (з) Выясните геометрический смысл коэффициента н (з), нзываемого кручением кривой в соответствующей точке й 4.
Теорема о конечном приращеиии и Некоторые примеры ее использоваиия 1. Теорема о конечном приращении. Изучая числовые функции многих перемеииых, мы в гл. )1, 8 3, и. 1 доказали для иих теорему о конечном приращении и подробно обсудили различные ') Ж. Ф, Френе (!816 — 1ООО) — французский математик. являегса иэоморфизмом алгебр ЬА« и ЕА«.
с. Проверьте, что если кососнмметрическая матрица ь) и вектор в соот- ветствуют друг другу, как указано в Ь. то для любого вектора г щ Е» имеет место раве«ство Яг=!в, г], а для любой матрицы Р щ Ю (3) †соответств РИР «Рв. й. Проверьте, что если ]г Рэ Г ь-ь О (1) <ю Ю (3) — гладкое отображение, то матрица 1« (Г) =О т (Г) д (Г) — кососимметрическая.
е. Покажите, чэо если г(Г) — радиус. вектор некоторой точки вращающегося волчка, а и (Г) — найденная в й матрица (О-«О) (Г), то г(Г) =(()г) (Е). 1. Пусть г н в — дза приложенных к началу координат вектора про- странства Ез. Пусть в Е«выбран правый репер и пространство совершает правое вращение с угловой скоростью ] в1 вокруг оси, определяемой векто- ром в. Покажите, что при этом г(Г)=[в, г(Г)]. Ф Сопоставьте результаты задач б, е, 1 и укажите вектор мгновенной скорости вращающегося волчка„о котором говорилось в примере 8.
Ь. Используя результат задачи с, проверьте, что вектор скорости в не зависит от выбора неподвижного орторепера в Ез, т. е. не зависит от системы координат. 6. Пусть г=г0)=(хт(«), х'(з), х'(з)) — параметрическое уравнение глад- кой кривой в Ез, причем в качестве параметра взята длина дуги вдоль кривой (натуральная парамгтриэацил кривой). йг а. Покажите, что вектор ет(з) = — (з), касательный к кривой в этом слуйз чае, имеет единичную длину. лет ~рг Ь.
Вектор — (з) = —,(з) ортогоналеи вектору е,. Пусть е,(з) — единичйе, иый вектор, сонаправленный с — (з). Коэффициент й (з) в равенстве — '(з) = йз йз = й(з) ез(з) называют кривизной кривой в соответствующей точке, с. Построив вектор ез(з)=[е,(з), е,(з)], мы получаем в каждой точке на. щей кривой репер (е,, е,, ез)(з), который называют репером Фргне*) или оэпртю«кдающим трехгранникам кривой, Проверьте следующие формулы Френе: Ие, — (з) = й (5) ез (3), йе, — (з) = — й (з) е«(з) + н (з) ез (з), йез — О) йз аспекты этой важной теоремы анализа.
Здесь теорема о конечном приращении будет доказана в общем виде. Чтобы ее утверждение было для читателя очевидным, советуем восстановить в памяти обсуждения, проведенные в указанном пункте, а также обратить виимаиие иа геометрический смысл нормы линейного оператора (см. 8 2, и. 2). Теорема 1 (о конечном приращении).
Пусть 1. "()-ь]«в непрерывное отображение открытого множества' () нормирован- ного пространства Х в нормированное пространство )г. Если отрезок [х, х+Й]=ЦЕХ]5=к+8)т, 0~8~1) пол- ностью содержится в () и опюбражение 1 дифференцируемо во всех точках интервала ]х, х+)г[=ЦйеиХ]$=х+В[г, 0(О(1], то справедлива следующая оценка: '1(х+") 1(х) ]г и- :зцр ]1 (й) ][в<к; Р1 ]Л]х (1) $вм. «+м Заметим прежде всего, что если бы для любого отрезка [Г, Г] с: [х, х+Л] иам удалссь проверить неравенство ]1(Г) — 1(Г)]- у, ]1'6)ЦЦà — ГЦ, йвй 11 в котором верхняя грань берется уже по всему отрезку [Г, Г], то, пользуясь непрерывностью 1 и нормы, а также тем, что зцр ]1' ($) ц ~ зпр ]1' ($) Ц, от(йч о"1 зв1«, «+М мы в пределе при Г-ьх и Г-ь-х+6 получили бы неравенство(1).
'Итак, будем доказывать неравенство (2). Для сокращения записи введем обозначения Л1:=1(Г) — 1(Г); , 'Л1]:= ]1(Г)'— — 1(Г)Ц, Лх;=à — Г, ]Лх]:=]à — Г! Воспользуемся следующим элементарным соотношением: -- ~гпах( — „, — ); (3) справедливым для неотрицательных чисел, удовлетворяющих ус- ловиям с(а+у, у=а+[]. (4) (2) При с=у=] неравенство (3) очевидно, зиачит, в силу однородности, оио справедливо и в общем случае, Предположим теперь, что (2) ие имеет места, т. е.
р 11'(з) Ц( —,] =р. ([ц) ] Лх] Тогда отрезок [Г, Г], который мы позволим себе также обозначать символом Лх, разобьем пополам и получим два отрезка Л'х, Л"х и соответствующие им приращения фуикции Л'1, Л"1, Ги. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В силу (3), (4) и (5) 1А/1 1«А П ! Ь"У!1 р = — ~шах[ —, «а 1- [1ах~ 1А"х
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
