В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Проведите полностью доказательство равенства (7). 2. Проведите подробно конец доказательства утвержденна о сил~метрич. ности Рхэ (х). 3. а. Покажите, что если для пары векторов йь йз и отображения (1) в области !! определены функции 0и 0и Ь Ои Ои) и они непрерывны в некоторой точке х ш !Г, то в этой точке имеет место равенство Ри Ои 1(х) = и, и, = Ои,ои,) (х). Ь. Покажите на примере числовой функции 1(х, у), что непрерывность дэ) дэ) в некоторой точке смешанных производных —, —, котя и влечет в силу а дхду' дудх' ик равенство в этой точке, вообще говоря, не влечет наличия в этой точке второго дифференциала функнии. с.
Покажите, что наличие Р" (х, у), котя и обеспечивает наличие и равено"1 де) ство в соответствующей точке смешанных производных —, —, не вледх ду' ду дх' чет, вообще говоря, ик непрерывность в этой точке. 4. Пусть г! ш.Ж(Х, ..., Х; Г), причем А — симметрический л.линейный оператор. Найдите последовательные производные до порядка и+ ! включительно от функции х ь Ахгч А (х, ..., х) $ й.
Формула Тейлора и исследование экстремумов 1. Формула Тейлора для отображений. Т е о р е м а 1. Если отображение 1: У -э- 'г' окрестноспш У У(х) точки х нормированноео пространства Х в нормированное пространство )х таково, что !" имеет в У производные до порядка и — 1 включительно, а в самой точке х имеет производную (!э!(х) порядка и, то ) (к+Ь) -) (х)+Г (х) )1+" + —, (ги! (х) Ь" +о((~") (1) при Ь -ь О.
Равенство (1) есть одна из разновидностей формулы Тейлора, написанной на сей раз уже для достаточно общих классов отображений. < Докажем формулу Тейлора (!) по индукции. При и 1 она верна в силу определения !'(х). Гх. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ за ФОРмулА тейлОРА Пусть формула (1) верна для некоторого (п — 1) ~К. Тогда на основании теоремы о конечном приращении, формулы (12) из З б и сделанного предположения индукции получаем ~1(х+Ь) — ()(х)+~'(х)Ь+...+ —, ~(">(х)й") ~.~ ~ зцр (~~'(х+ОЬ) — ()'(х)+Г(х)(ОЬ)+... а<в<> ~ ...+(— „',),)Га>(х)(ОЬ) -з)((;Ь;=о((ОЬ(а-))Ь~=ОСЬ!а) при Ь -«О. Мы не останавливаемся здесь на других, иногда весьма полезных, вариантах формулы Тейлора.
В свое время они подробно обсуждались для числовых функций. Теперь мы предоставляем их вывод читателю (см., например, задачу 1). 2. Исследование внутренних экстремумов. Используя формулу Тейлора, укажем необходимые, а также достаточные дифферен- циальные условия внутреннего локального экстремума веществен- нозначной функции, определенной на некотором открытом множе- стве нормированного пространства.
Как мы увидим, эти условия аналогичны, уже известным нам дифференциальным условиям экстремума вещественнозначной функции вещественного перемен- ного. Теорема 2. Пуси>ь 1: ()-«(ч — вещеппвеннозначная функция, определенная на открытом множестве 0 нормированного прост- ранства Х и имеющая в окрестности некоторой точки хя(>' непрерывные производные отображения до порядка Ь вЂ” 1 ~ 1 вклю- чительно, а также производное отображение >(»>(х) порядка й в самой точке х. Если >" (х)=0, ..., >(»-»(х)=0 и )>»>(х)-ьО, то для того, чтобы х была точкой экстремума функци>( 1' не обходи мо, чтобы Ь было четко, а форма >(»> (х) Ь» была .полуопределенной а); достаточно, чтобы значения формы 1(»> (х) Ь" на единичной сфере' >Ь( 1 были отделены от нуля; при этом, если на втой.
сфере 1>»> (х) Ь" ) б >'О, то х — точка локального минимума, а если >'(»> (х) Ь» ~ 6 ( О, то х — точка локального максимума. ') Зто значит, что форма Р»' (х) А» не может принимать значении разный знаков, хоти прн неноторыл аначенннх А чь О она может обрап>атьси в нуль. Равенство (п',(х) О, нак обычно, понимаетси в том смысле, что )а> (к) й О Алн любого вектора Ь. 4 Для доказательства рассмотрим тейлоровское разложе- ние (1) функции 1 в окрестности точки х.
Сделанные предполо. жения позволяют записать, что 1 ( + й) — 1 ( ) = —,', Р ( ) Ь + (Ь) (Ь(» где а (Ь) — вещественнозначная функция, причем а(й) -«О при Ь-«0: ' Докажем сначала необходимые условия. Поскольку 1(»>(х)чьО, найдется вектор Ье4:О, на-котором )(»> (х) Ь» чь О. Тогда при значениях вещественного параметра 1, 0 достаточно близких к нулю, Ях+ (йа) — >' (х) = —, (х) ((йе)»+ а ((йе) ! (йе >» = (А > 1(а~ (х) ~и + а ((Ь,) ~ Ь )») 1" и заключенное во внешние скобки выражение имеет тот же знак, что и 1(»> (х)й», Для того чтобы х была точкой экстремума, необходимо, чтобы левая (а значит, и правая) часть последнего. равенства не меняла знака при изменении знака Е Но это возможно, только если й чети о. Проведенное рассуждение показывает, что если х †точ экстремума, то знак разности 1(х+(й») — 1(х) прн- достаточно малых значениях-1 совпадает со знаком ((»>(х)Ь,", и, следовательно, в этом случае не может быть двух векторов йе, Ь„ на которых бы форма >(»>(х) принимала значения разных знаков.
Перейдем к доказательству достаточных условий экстремума. Для определенности рассмотрим случай, когда 1(»>(х)й»)6>0 при (Ь!=1. Тогда 1 (х+ Ь) — ) (х) = —, 1(»> (х) Ь»+ а (Ь) > Ь 1" = (-> Р(»> (х) ( —,) + а(Ь)) (Ь(»>( —, б+сс(й)) (Ь(", и, поскольку а(Ь)-«О при Ь-«0, последний член неравенства положителен для всех достаточно близких к нулю векторов Ь ~ О.
Таким образом, для всех таких векторов Ь ) (х+ Ь) — 7(х) >О, т. е. х — точка строгого локального минимума. Аналогично проверяется достаточное условие строгого локаль ного максимума. 1«. Замечание 1. Если пространство Х конечномерно, то еди. ничная сфера Я(х; 1) с центром в точке х ен Х, являясь ограни- Га. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ченным замкнутым множеством в Х, компактна. Тогда непрерывная функция (й-форма) Г!»'(х)Ь»=д;, ! Г" (х)6' ...
Ь'» имеет на о'(х; 1) как максимальное значение, так и минимальное значение. Если эти значения разных знаков, то экстремума в точке х функция г' не имеет. Если же эти значения одного знака, то, как было показано в теореме 2, экстремум есть. В последнем случае достаточное условие экстремума, очевидно, можно высказать в виде эквивалентного ему требования определенности (положительной или отрицательной) формы г!»! (х) 6».
Именно в таком виде оно нам уже встречалось при рассмотрении вещественнозначных функций в (ча. Замечание 2; Как мы видели на примере функций (: (ч"-Р(ч, указанная в необходимых условиях экстремума полуопределенность формы 1!»>(х)Ь» еще не является достаточным признаком экстремума. 3 а м е'ч а и и е 3. На практике при исследовании экстремумов дифференцируемык функций обычно пользуются только первым или первым и вторым дифференциалами.
Если по смыслу исследуемой задачи единственность и характер экстремума очевидны, то при отыскании экстремума можно Ограничиться первым дифференциалом, найдя ту точку х, где )'(х) =О. 3. Некоторые примеры. Пример 1. Пусть г,енС(з!(Йз1 1ч), а 1~С!з!([а, Ь]; ((), т. е. (й, и', и') Т.(и», и', и') — определенная в (чз непрерывно дифференцируемая веществениозначная функция, а х 1[х)— гладкая вещественнозначная функция, определенная на отрезке [а, Ь]сй. Рассмотрим функцию Р: С"'([а, Ь], Р) -+- Р, (2) задаваемую соотношением ь Сгм([а, Ь]! Р)=э( РД)=~1(х, )(х), ~'(х))дх~Р.
(3) а Таким образом, (2) есть вещественнозначный функционал, определенный на множестве функций ~~ С!" ([а, Ь]; Р). В физике и механике известны фундаментальные вариационные принципы, связанные с движением. Согласно этим принципам истинные движения среди всех мыслимых выделяются тем, что оии совершаются по траекториям, вдоль которых те или иные функционалы имеют экстремум. Вопросы, связанные с экстремумами функционалов, — нейтральные в теории оптимального управления. Таким образом, отыскание и исследование экстремумов функционалов является важной самостоятельной задачей, теории З 6.ФОРмУлА теилОРА которой посвящен обширный раздел анализа — вариационное исчисление. Мы уже кое-что сделали для того, чтобы переход от анализа экстремумов числовых функций к отысканию и исследованию экстремумов функционалов был для читателя естественным.
Однако мы не будем углубляться в специальные вопросы вариационного исчисления и проиллюстрируем на примере функционала (3) лишь рассмотренные выше общие идеи дифференцирования и исследования локальных экстремумов. Покажем, что функционал (3) является дифференцируемым отображением и найдем его дифференциал. Заметим, что функцию (3) можно рассматривать как композицию отображения Гз! С!'>([а, Ь]; (~)-РС([а, Ь]; (с), (4) задаваемого формулой гз(!)'(х)=А (х, !'(х), !" (х)), и последующего отображения С ([а, Ь]; К) =-э а Ез (а) = ~ а (х) дх ~ й. а (б) Отображение Рз в силу свойств интеграла, очевидно, линейное и непрерывное, таким образом, с его дифференцируемостью вопрос ясен.
Покажем, что отображение Р! тоже дифференцируемо, причем Р, 'ф 6 (х) = д»1. (х, ) (х), )' (х)) Ь (х)+ дз(. (х, ~ (х), ~' (х)) И' (х) (7) при Ь о=С!" ([а, Ь]; зч). Действительно, в силу следствия из теоремы о конечном приращении в нашем случае можно записать, что ! 1(из+Аз, из+Аз из+Аз) — Ь(из, из, из)-. з — „) ~ д»(,(и», и', и') Л! == зпр ((дзТ.(и+Ой)— 3-! осос! -дзЬ(и), д»Е,(и+Об) — дзЬ(и), дзЬ(и+Об) — д,А(и))) ) !А)Ф.:; «3 !пах /дзЬ(и+Оп) — д»Ь(и) ! ° !пах | Ь»!, (8) осес! »=!,з,з »=!.з,з где и=(и'„и', и') и Л=(бз, бз, Лз). Если теперь вспомнить, что в С<'> ([а, Ь]; зч) норма !! )с!! функции 1 есть шах Я) 1с, )~'(с) (где )1~с есть максимум модУля функции на отрезке [а, Ь]), то, полагая и'=х, из=Г(х), и'= =1'(х), »з»=0, »зз=й(х) и дР=Й'(х), из неравенства (8), учитывая равномерную непрерывность функций дзТ.(из, и', и'), ! = 4 В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
