В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Ь..В условиях теоремы пространство Х не обязано быть нормированным, а может быть жобым топологическнм пространством. а. а. Выясните симметрична ли форма /" (х) (И„Из), заданная соотноше. пнем (10). Ь. Запишите в матричном виде формы (9) и (10) для случая числовых фуннцнй р (Ы, хз, у) и р (х, у', уз). с. Покажите, что если И ш !»-» А (!) »е Ж(Ип; Ип) есть бесконечно гладко зависящее от параметра ! семейство невырожденных матриц А (/), то — 2А-1 А-1 — А-1 — А-ь, где А '=А 1(0 РА -1 дА ьг«А ь(/ дгз — символ матрицы, обратной к матрице А=А (О.
4. а. Покажите, что дополнение 1 к теореме является прямым следствием условий устойчивости неподвижной точки семейства сжимающих отображений, рассмотренных в 4 7 главы 1Х. Ь. Пусть (А,.-Х -«-Х) — семейство сжимающих отображений полного иор. мированного пространства Х в себя, зависящих от параметра й который изменяется в области И нормированного пространства Т. Покажите, что если Аг(х)=ьр(б х) является функцией класса Саи (ИхХ; Х); то неподвижная точка х(!) отображения Аг как функция ! принадлежит.классу Сао(И; Х). б.
а. Опираясь на теорему о неявной функции, докажите следующую теорему аб обратном отображении. Пусть йь 0-»Х — отображение окрестности б тоььки уч полного нормированного пространства У в нормнровзнное пространство Х. Если отображение х=й(у) 1' дифференцируемо в 6, 2' й'(у) непрерывно в у„ 3' й'(уз) обратимый оператор, гл. х. диеенрвнцилльнов исчисление то найдутся окрестность У р= У ючки у, в У и окрестность (Г != Х точки хр в Х такие, что йс У -ь(! биективно, а обратное к нему отображение 1: (Г-+ !' непрерывно в'(Г и дифференцируемо в х„причем р (хр) =(у' (ур)) ' Ь.
Покажите, что если сверх приведенных в а условий известно„что отображение у прийадлежит классу Сии(~', сг), то обратное отображение 1 пранадлежит классу Сио ((г; У). с. Пусть 1: !гл-ьР' —.гладкое отображение„у которого в любой точке х рн )гл матрица 1'(х) невырождена и удовлетворяет неравенству 1(1') г(х)1) ~С)0 с константой С, не зависящей ог х, Покажите, что 1 — биективное отображение. б. Используя опыт решения задачи с, попробуйте дать некоторую оценку радиуса той шаровой окрестности (Г= В (хр! г) точки хр, в которой заведомо определено рассматриваемое в теореме об обратной функцитг отображение 1: и У. 6.
а. Покажите, что если линейные отображения А ри,л'(Х! У) и В рц т.2' (Х; );!) таковы, что Лег А с Лег,В (!гег, как обычно, символ, обозначающий ядро оператора), то найдется такое линейное отображение Л т,л,' (У; )г), что В=)р А. Ь. Пусть Х и У вЂ” нормированные пространства, з 1: Х -ь)г и у: Х -р У— гладкие функции на Х со.значениями в )г и У соответственно. Пусть Я— гладкая поверхность, задаваемая в х уравнением у(х)=ур пеквжите, что если хе !и Я точка экстремума функции 1!з, то любой вектор Л, касательный к Я в точке х„ одновременно удовлетворяет двум условиям: 1'(хр) Л=О и (хр) А=О, с докажите, что если хрт Я точка экстРемУма фУнкпии 1!в, то Р (хр) = =л у'(хр), где )ррц,л'(У! (г).
б. Покажите, как из предыдущего результата получается классический нгобходимыв признан Лагранжа условного екстргмуми функции иа гладкой поверхности в р)л. ГЛАВА Х! КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 5 1. Интеграл Римана на и-мерном промежутке !. Определение интеграла. а. Промежуток в (ч™ и его мера, Определение 1. Множество 1=(хя!члена!»хг =Ьг, 1= —. 1, ..., и) называется промежутком нлн координатным паралмлепипедом в ! л.
Если желают отметить, что промежуток определяется точками а=(а', ..., ап) и 6=(Ь!..... Ьл), то его часто обозначают сим- волом 1„» или, по аналогии с одномерным случаем, записывают ' в виде а-=х»Ь. Определение 2. Промежутку 1 (х е= 1~") аг»хг»(рг, л !=1, ..., и) ставится в соответствие число ~1~):= И((р! — а!), ! =! называемое объемом или мерой промежутка. Объем (меру) промежутка 1 обозначают также символами о(1) или р(1). Л е м и з 1. Мера промежутка в !ч" а) однородна, т.
е. если л,1л,» '.— — 1»л х», еде ) ~0, то ~Л1, 1=Л" ~1, 1; Ь) аддитивна, т. е. если промежутки 1, 1м ..., 1» таковы, что 1 = Ц 1ь и промежутки 1„, ..., 1» попарно не имеют сби(их г=! внутренних точек, то (1(=,У~)1!'»' г=! с) если промежуток 1 покрыт конечной системой промежутков » » 1„..., 1», гп. е. 1 ~ ( ) 1ь то 11~» Х г=! г=! Все эти утверждения легко вытекают из определений 1 и 2.
Ь. Разбиение промежутка и база в множестве разбиений, Пусть задан промежуток 1=(хан Р'~а!»хг»бгр 1=1, ..., и). Разбие- 14 Гл Х!. КрдтНЫЕ ИнтЕГРАЛЫ $1. ИНТЕГРАЛ НА п-МЕРНОМ ПРОМЕЖУТКЕ ния координатных отрезков 1ау, ЬУ1, 1=1, ..., и, индуцируют разбиение промежутка ! на более мелкие. промежутки, получающиеся прямым произведением промежутков разбиения указанных координатных отрезков. Определение 3. Описанное представление промежутка ! у б дю ьг!-1!!,б у у у~)ууую 1=1 называть разбиением промежутка 1 и обозначать символом Р. Определение 4. Величина Х(Р):= гпах й(1,) (максималь1<у<а ного из диаметров промежутков разбиения Р) называется параметром разбиения Р.
Оп ределение 5. Если в каждом промежутке 1! разбиения Р фиксирована некоторая точка 5!ее !м то говорят, что имеется разбиение с отмеченными точками. Набор Я„..., $ь), как и прежде, 'будем обозначать одним. символом $, а разбиение с отмеченными точками — символом (Р, $). В множестве б'= ((Р, Е)) разбиений с отмеченными точками промежутка 1 вводится база )у(Р)-РО, элементы Вп (й) О) кото- . рой, как и в одномерном случае, определяются соотношением В,:=((Р, 5) ~б ~),(Р)~й).
То, что Я=(Вп) — действительно база, следует из существования разбиений с параметром Х(Р), сколь угодно близким к нулю. с. Интегральная сумма и интеграл. Пусть 1: 1-РРУ вЂ” веществениозначная ь) функция на промежутке 1, а Р=(11 "°, 1ь)— разбиение этого промежутка с отмеченными точками $1Е1, ... ", Ь) О п р еде л е н и е 6. Сумма о(1, Р, $):= ~!4$!)! 1!( 1=1 называется интегральной суммой (Римана) функции 1, соответствующей разбиению (Р, $) с отмеченными точками промежутка 1. Определение 7. Величина ~!(х) йх:= !Нп о(1, Р, $), ! А!Р! О если указанный предел су!цествует, называется интегралом (Ри.
мана) от функции ! на промежутке !. Мы видим, что данное определение и вообще весь процесс построенйя интеграла на промежутке 1 с:1с" дословно повторяет уже знакомую нам процедуру определения интеграла Римана на *) Обратите внимание иа то, ято в последующих определениях можно было бы считать, что значения ! лежат в любом линейном нормированном пространстве. Например, ато мокнут Цыть пространство 0 комплексных.чисел, простраисува 1сп 0п и т. д. отрезке. Для большего сходства мы даже оставили прежний вид 1(х) йх подынтегрального выражения.
Равносильные, но 'более развернутые обозначения интеграла таковы: )!(Х1, ..., Хп)йк'... йка ИЛИ ~...~!(Ху, ..., Х")йХ1 ... йХ». Чтобы подчеркнуть, что речь идет об интеграле по многомерной области 1, говорят, что это кратный интеграл (двойной, тройной и т. д. в соответствии с размерностью 1). д. Необходимое условие интегрируемости. Определение 8. Если для функции 1: 1-ь-Я указанный в определении 7 конечный предел существует, то -1 называется интегрируемой (по Риману) урункцией на промежутке 1. Множество всех таких функций будем обозначать символом еп (1). Проверим следующее простейшее необходимое условие интегрируемостн.
Утверждение 1. 1ен'еЯ(1)=:ь1 ограничена на 1. 4 Пусть Р— произвольное разбиение промежутка 1. Если функция 1 неограничена на 1, то она неограничена и на некотором промежутке 1ц разбиения Р. Если (Р, 5'), (Р, $") — разбиения Р с такими отмеченными наборами точек, что ~' и $", отличаются только выбором точек $;;, Ц в промежутке'1,„ то !О(1, Р, $') — о(1, Р, $") ~= ~!а;,) — !(Ц,) ~ ~ !ь~. Меняя одну из точек е1„$,"„при неограниченности 1 в 11„мы могли бы сделать правую часть последнего. равенства сколь угодно большой. В силу критерия Коши отсюда следует, что интегральные суммы функции 1 не имеют предела при Х(Р)-о.0.
> 2. Критерий Лебега интегрируемости функции по Римаиу. Изучая интеграл Римана в одномерном случае, мы уже познакомил! читателя (без доказательств) с критерием Лебега существования интеграла. Здесь мы напомним некоторые понятия и докажем этот критерий. а. Множество меры. нуль в Р . Определение 9. Говорят, что множество Ес:(~у" имеет (и-мерную) меру нуль или является множеством меры нуль (в смысле Лебега), если для любого е) 0 существует покрытие множества Е не более чем счетной системой (!!) и-мерных промежутков, сумма Я!11 ~ объемов которых не превышает е, Лемма 2. а) Точка и конечное число точек суть множества меры нуль. Ь) Объединение конечного или счетного числа множеств меры нуль есть множество меры нуль.
!6 Гл. ХГ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ $ Г ИНТЕГРАЛ НА з-МЕРНОМ ПРОМЕЖУТКЕ с) Подмножество множества меры нуль само есть множество мери нуль. д) Оевырожденный промежуток *) /в з с: »чз не является множеством мери нуль. Доказательство леммы 2 ничем не отличается от доказательства ее одномерного варианта, рассмотренного в и. Зг», 9 1, гл.
Аг», поэтому мы на нем ие останавливаемся. Пример 1. Множество рациональных точек в»с" (точек, все координаты которых рациональны) счетно и потому является множеством меры нуль. Пример 2. Пусть /: 1-ьР— непрерывная веществеинозначная функция, определенная на (п — 1)-мерном промежутке 1 ~ К"-з. Покажем, что ее график в»с" есть множество и-мерной меры нуль. 4 Поскольку функция / равномерно непрерывна иа 1, то по е)0 найдем 6)0 так, чтобы для любых точек х,, х,ее/ при условии ~х,— х,»(6 иметь ~/(хз) — /(хз)((е. Если теперь взять разбиение Р промежутка 1 с параметром Х(Р)(6, то на каждом промежутке 1; такого разбиения колебание функции / будет меньше е. Значит, если х; — произвольная фиксированная точка промежутка 1„то и-мерный промежуток 1;=/зк(/(х;) — е, /(хг)+е), очевидно, содержит всю часть графика функции которая лежит над промежутком 1И а объединение 01; промег жутков /з покрывает весь график функции / над 1.
Но ~Ч,'(1;(= г = ~(1;( 2е=2е(1( (здесь ~1;( — объем 1; в К" ', (1;~ — объем с /з в»с"). Таким образом, уменьшая е, действительно можно общий объем покрытия сделать сколь угодно близким к нулю. Замечание 1. Сопоставляя утверждение Ь) леммы 2 с примером 2, можно заключить, что вообще график непрерывной функции /: Р" з-ь»~ или непрерывной функции /: М -ьй, где М ~ »с" ', является множеством п-мерной меры нуль в К". з Лемма 3.
а) Класс 'множеств меры нуль не изменится от того, пониматр ли в определении 9 покрытие множества Е системой промежутков (Ц в обычном смысле, т. е. считая Е~ ( (/г, или в более жестком смысле, требуя, чтобы каждая точка множества была внутренней точкой по крайней мере одного из промежутков покрытия зз). ь) То есть теней промежуток / ь=(хгп»ез ~ аз(хг(ьг, г=ц ..., и», что нрн лнгбоы знзченнн Г ж (1, ..., п» имеет место строгое неравенство а' С Ь'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
