В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 26
Текст из файла (страница 26)
ь') Иными словами, зсе резне, иметь лн з виду з определенна 9 замкнутые нлн огнрытые промежутке. Ь) Компакт еьг" в И" является множеством меры нуль в том и только в том случае, если для любого е) 0 существует конеч- ное покрытие АГ промежутками, сумма объемов которых лгень- .иге е. 4 а) Если (Ц вЂ” покрытие множества Е, т.
е. Е ~ (/1,, при- чем У,'(1;((е, то, взяв вместо каждого промежутка 1з гомоте- тичный ему относительно его центра промежуток /и получим систему промежутков (1з) такую, что,У, '~ 1;((Х"е, где г — общий для всех промежутков коэффициент гомотетии. Если Л) 1, то, очевидно, система (1;) будет покрывать множество Е так, что любая точка Е является внутренней точкой по крайней мере одного из промежутков покрытия. Ь) Это следует из а) и возможности извлечь конечное покрытие из любого открытого покрытия компакта Ю. (В качестве такого покрытия может выступать система (1г' дЦ открытых проме- жутков, получаемая из рассмотренной в а) системы (/з».) ~ Ь. Одно обобщение теоремы Кантора.
Напомним, что колеба- нием функции /: Еьуч на множестве Е мы назвали величину ьз(/; Е):= зцр (/(хз) — /(хз)~, а колебанием функции в точке «„к,ые х ее Š— величину ьз (/; х): = 1пп ьз(/; (/~в(х)), где (/е~ (х) — 6-окрестз а ность точки х в множестве Е. Лемма 4. Если в каждой точке компакта Ю для функции /: Ю-ь(ч имеет место соотношение ьз(/; х) (ьге, то для любого е) 0 найдется 6) 0 такое, что для любой точки х ен Уз' будет выполнено неравенство ьз (1; (/~е (х)): ьзе+ е, При ьзз=О это утверждение превращается в теорему Кантора о равномерной непрерывности функции непрерывной на компакте. Доказательство леммы 4 буквально повторяет схему доказательства теоремы Кантора (п.
2, 9 2, гл. Ч1), поэтому мы на нем не задерживаемся. с. Критерий Лебега. Как и прежде,. будем говорить, что неко- торое свойство имеет место почти во всех точках множества М или выполнено почти всюду на М, если подмножество М, где это свойство может нарушаться, имеет меру нуль. Теорема 1 (критерий Лебега).
/ЕееЯ'(1)сФ(/ ограничена на 1)/1(/ непрерывна почти всюду на 1]. 4 Необходимость. Если / ее егг (1), то по утверждению 1 функция / ограничена на /. Пусть (/(( М на 1. Проверим, что / непрерывна почти во всех точках 1. Для этого покажем, что если множество Е точек разрыва функции не есть множество меры нуль, то /че еЯ'(1). 1В Гл. Х!. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ $ !, интеГРАл нА а-меРном пРОмежутке Действительно, представив Е в виде Е= и Е„, где Е„= а=,! =(хен1/1з(11 х))11л), на основании леммы 2 заключаем, что если Е не имеет меру нуль, то найдется номер лэ такой, что множество Е„, тоже не есть множество меры нуль. Пусть Р— произвольное разбиение промежутка 1 на промежутки (11!.
Разделим промежутки разбиения Р на две группы А и В, где А = ~11 ~ Р !11П Е„, ь Ф Л э! (~; 11) ) ф, а В = Р А. Система промежутков А образует покрытие множества Е„,. В самом деле, каждая точка Е лежит либо внутри некоторого промежутка 11 АР, и тогда, очевидно, 11 ен А, либо на границе некоторых промежутков разбиения Р. В последнем случае хотя бы на одном из этих промежутков колебание функции должно быть (в силу 1 неравенства треугольника) не менее чем — ! и он войдет 2АО в систему А.
Покажем теперь, что, выбирая различным образом набор $ отмеченных точек в промежутках разбиения Р, мы можем заметно менять величину интегральной суммы. Именно, выберем наборы точек $', $" так, чтобы в промежутках системы В отмеченные точки обоих наборов совпадали, а в промежутках 11 системы А точки Ц, Ц выберем так, что (1(Ц1) — 1($1)!) —. тогда !а(1, Р, .Ц) — а(1, Р, $')(= з Х (1(»1) — 1(»1)) (11 (!) ~„,У, ! 1;!)с)0. Существование ! 11 а А 11а А такой постоянной с вь!текает из того, что промежутки системы А образуют покрытие множества Е„„которое по предположению не есть множество меры нуль. Поскольку Р было произвольным разбиением промежутка 1, на основании критерия Коши заключаем, что интегральные суммы а(1, Р, $) не могут иметь предел при А(Р)-»0, т.
е. 1феЯ'(1); Д о с та то ч н ос т ь. Пусть е — произвольное положительное число, а Е, = (х ен 1!со (1; х) ~е!. По условию Е, есть множество меры нуль. Кроме того, Е„очевидно, замкнуто в 1, поэтому Е, — компакт. По -лемме 3 существует такая конечная система 11, ..., 1» промежутков в Р, что Е,с О 1, н 2',!1,!<е. Положим Ст 1=! 1=! = Ц 1Н а через С, и С, обозначим объединение промежутков, 1=! полученных из промежутков 1; гомотетией с центром вцентре 11 и коэф11!Ициентом 2 и 3 соответственно. Ясно, что Е, лежит строго внутри С, и что расстояние д между границами множеств С, и С, положительно.
Отметим, что сумма объемов любой конечной системы промежутков, которые лежат в СА и попарно не имеют общих внутрен. них точек, не больше чем 3"е, где л-размерность пространства Р."." Это следует из определения множества С, и свойств меры промежутка (лемма !). Отметим также, что любое подмножество промежутка 1, диаметр которого меньше с(, либо содержится в множестве С„ либо лежит в компакте !А!"=1' (С,' дС,), где дС,— граница Сэ (и, следовательно, Ст ' дС, — совокупность внутренних точек множества С,).
По построению Е,с:1" АГ, поэтому в любой точке хенЮ должно быть ы(1; х) (е. По лемме 4 найдется число 6) 0 такое, что для любой пары точек х1„х, ен Я", удаленных друг от друга не больше чем на 6,' имеет место неравенство !1(х!) — 1(х,) !(2е. Сделанные построения позволяют теперь следующим 'образом провести доказательство достаточности условий интегрируемости.
Берем любые дза разбиения Р', Р" промежутка 1 с параметрами )1,(Р'), Х(Р") меньшими, чем А=пни (1(, 6). Пусть Р— разбиение, полученное пересечением промежутков разбиений Р', Р", т. е. в естественных обозначениях Р = (11У = 11 П 111!. Сравним' интегральные суммы а(1, Р, $) и а(1, Р', $'). Учитывая, что !11(= = ~ ! 1а !, можно записать: 1 ! а (1, Р', Ц) — а (1, Р; $) ! ~ ~ (1 (Ц) — 1($ц)) ! 1ы ! ~ ( 1/ ~Х !1(Ц) — 1($1т)!! 1ы!+Хэ!1(Ц) — !%Э(! 1!у! Здесь в первую сумму ~',! вошли те промежутки 1ы разбиения Р, которые лежат в промежутках 1; разбиения Р', содержащихся в множестве С„а остальные промежутки разбиения Р отнесены к сумме ~А, т. е.
все они обязательно содержатся в Ю (ведь Л(Р) (Й). Поскольку /1!(М на 1, заменяя в первой'сумме !1(Ц1)— — ~($;т)! величиной 2М, заключаем, что первая сумма не превосходит 2М 3"е. .Учитывая, что во второй сумме Ц, А!1 я 1; с: Ю, а Х(Р') <6, заключаем, что !1(Ц) — 151Т) ! (2е, и, следовательно, вторая сумма не превосходит 2е!1!. Таким образом, ! а (1, Р', $') — а (1, Р, $) ! ( (2М 3" + 2 ! 1 !) е, откуда (ввиду равноправности Р' и Р ), используя неравенство треугольника, получаем, что ! а (1, Р', Ц) — а (1, Р", Ц) ! ( 4 (3"М+ ! 1!) е для любых разбиений Р', Р" с достаточно малыми параметрами. В силу критерия Коши теперь заключаем, что 1нЮ(1). )» 121 Гк Х!.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Э 1. ИНТЕГРАЛ НА О-МЕРНОМ ПРОМЕЖУТКЕ Э Замечание 2. Поскольку критерий Коши существования предела функций имеет силу в любом полном метрическом пространстве, то критерий Лебега, как видно из доказательства, справедлив для функций со значениями в любом полном линейном нормированном пространстве. 3. Критерий Дарбу. Рассмотрим еще один полезный критерий интегрируемости функции по Риману, применимый уже только к вещественнозначным функциям. а. Нижние и верхние йнтегральиые суммы. Пусть 1 — вещественнозначная функция на промежутке 1, а Р=(1() — разбиение промежутка 1. Положим т,= !п1 1(х), М(= зпр 1(х), х ее ° ли)( ! Оп ределен ие 10. Величины (1 ) Х ~ 1 (1 ) Х ! называются соответственно нижней и верхней интегральной суммой (Дарбу) функции 1 на промежутке 1, отвечаюшей разбиению Р много промежутка.
Лемма 6. Между интегральными суммами функции 1: 1-+ К имеют место следующие соотношения: а) з(1, Р) = ш1 о(1, Р, $) «о(1, Р, $) «ьпРо(1, Р, $) = 5(1, Р); $ Ь) если разбиение Р' промежутки 1 получается измельчанием промежутков разбиения Р, то з(1, Р)«з(1, Р')«5(1, Р')« ~5(1, Р); с) для любой пиры Р„Р, разбиений промежутка 1 справедливо неравенство з(1, Р,) 5(1, РО). 4 Соотношения а) н Ь) непосредственно следуют из определений 6 и 10 с учетом, разумеется, определений верхней и нижней граней числового множества.
Для доказательства соотношения с) достаточно рассмотреть вспомогательное разбиение Р, получающееся пересечением промежутков разбиений Р, и Р,. Разбиение Р можно рассматривать как измельчание каждого из разбиений Р„р„поэтому из соотношений Ь) следует, что з()', 1') з(1, Р) «5Ь Р)-50, Ро) Ь. Нижний и верхний интегралы. Определение 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
