В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 23
Текст из файла (страница 23)
ння (вокруг осн Ох). козорая имеет нанмецьшую площадь среди всех поверх. ,ростей аращення с окружностями заданного радиуса г, гэ в сечениях поверхности плоскостями х=а, х Ь соответственно. 5. а, Функция Ь в задаче о брахнстохроне не удовлетворяет условням прнмера 1, поэтому непосредственное применение результатов примера 1 было а данном случае неоправданным. Покажнге, повторив с нужными вндонзмененнямн вывод формулы (10), что она н уравненне (11) остаются в силе н в рассмазрнааемом случае.
Ь. Изменится лн уравненне брахнстохроны, если частица стартует нз точки Р, с,оглнчной от нуля начальной скоростью (двнженне происходит без трения в закрытой трубке)? с. Покажите, что если Р†произвольн гочка брахнсгохроны, отвечающей паре точек Р„ Р„ то дуга втой брахнстохроны от Рл до Р является бра. хнсгохроной пары Рл, Р. б. допущение о том, что брахнстохрона, отвечающая паре точек Р, Рм межег быть записана в виде у [(х), как выяснялось нз окончательных формул (23), 'не всегда оправдано. Покажите, используя результат задачи с, что вывод формул (23) можно провести н без подобного предположения о глобальном устройстве брахнстохроны, е. Расположите точку Р, так, чтобы отвечающая паре Р„ Р, брахнсто хрена в системе коордннаг.
когоран была введеяа в примере 3, не могла быть аапвсана в виде у /(х). !. Расположите точку Р, гак, чтобы отвечающая ларе Рз, Р, брахнстоярона в снстеме координат примера 3 имела внд у [(х), причем щ Сп' ([а, Ь); [и). Таким образом, получится, что в этом случае интересующий нас функцвонал (16) имеет на множестве Сп'([а, Ь[, щ ннжнюю грань, но не имеет мнннмума, я.
Покажнге, что брахнсгохропа пары точек Рм Р, пространства является плоской кривой. 6. Удаление В(Р„Р,) точки Р, просгравства ог точки Р, а однородном гравитационном поле будем намерять временем движения материальной часпщы по брахнсгохроне, сгвечающей паре Ре, Рм а, Найдите измеряемое в этом смысле удаление точки Р, от фиксированной вертикальной прямой. Ь. Найдите аснмпготнку функции г[(Ра, Р,), когда точка Р, поднимается по вертнкалн, приближаясь к уровню высоты точки Р,.
с. Выясните, является лн функцня а'(Рм Р,) метрикой. 6 7, Общая теорема о неявнои функции В этом заключительном параграфе главы почти весь развитыи в ней аппарат будет продемонстрирован в работе на примере исследования неявно заданной функции. Представление о содер- жании и месте теоремы о неявной функции в анализе и его при- ложениях читатель уже имеет из гл. 1?1П, поэтому мы не оста- навливаемся здесь на предваряющих формализм пояснениях суще- ства дела. Отметим только, что на сей раз неявно заданная функция будет построена совсем иным методом, опирающимся на принцип сжатых отображений, Этот метод часто используется в анализе и весьма полезен ввиду его вычислительной эффектив- ности.
Теорема. Пусть Х, У, Я вЂ” нормированные пространства, причем У вЂ” полное пространство; [[у = ((х, у) ее Х )с У ~ ~ х — хэ ~ ( (<х /! [У вЂ” Уа(Р) — окРестность точки (хе, Уе) в пРоизведении ХХУ пространств Х, У. Если отображение Р: (Р'-ь 2 удовлетворяет условиям 1. Р(ха, уа)=0.
2. Р(х, у) непрерывно в точке (хэ, уе) 3. р„'(х, у) определено в [Р' и непрерывно в (х„у,). 4: с„(х„уэ) обратимыйл) оператор, то найдутся окрестность (У = () (хе) точки хэ в Х, окрестность У=У(у) точки уе в У и отображение [: ()-РУ такие, что: Г, ()хУ с [[7. 2'. (р(х, у)=0 в ([ху)с:ю(у=((х), еде лен([, а Т(х) еиу). 3' уэ = Р (х.) 4'. 1 непрерывно в точке хэ. щ 1' Для упрощения записи и, очевидно, без ограничения общности рассмотрения можно считать, что ха=О, уа — — 0 и, сле- довательно, ([7 = ((х, у) еи Х х У [ [ х [ (сс Д ~ у ~ ( Щ. 2' Основную роль в доказательстве теоремы играет вспомога- тельное семейство отображений д,(У):= У вЂ” (Ра'(О, 0))-'. Р(х, У),, (1) зависящих от парам от араметра хен Х [х[(и, н определенных на мно- 1 жестве (у ~ У [ [у ~ (()).
) То есть 3[Р„'(хщ ра)1 ' з . б(21 У) Гл. х. диФФегейциАлъное исчисление 04 4 х овщхя теогемА 5 неявнои Фгнкции Обсудим ф~р~улу (1) Прежде всего выясним, корректно ли определены отображения д„и где лежат их значения; При (х, у) ен УР" определено отображение Р, значение Р(х, у) которого на паре (х, у) лежит в пространстве Я. Частное производное отображения Р„'(х, у) в любой точке (х, у) ен )Р', как мы знаем, есть линейное непрерывное отображение пространства !» в пространство Я. По условию 4 отображение Р„'(О, 0): )»-».2 имеет непрерывное обратное отображение (Р„'(О, 0))-'. Л-~)». Значит, композиция (Р„'(О, 0))-' Р(х, у) действительно определена и ее значения лежат в пространстве )». Итак, при любом х из а окрестности Вх(0; а);= [хееХ!!х(< <а[ точки 0 ~ Х у, есть отображение, у: Вг(0; [))-~ !» ()-окрестности Вг(О, (!):= (у е= )»!!у!<Я точки 0 ен)» в пространство )».
Связь отображений (1) с задачей разрешения относительно переменной у уравнения Р(х, у)=0 состоит, очевидно, в том, что точка у„является неподвижной точкой отображения д, тогда н только тогда, когда Р(х, у„) =О. Зафиксируем это важное наблюдение: д„(у„)=у„с:=>Р(х, у„)=0.
(2) Таким образом, отыскание и исследование неявно заданной функции у=у, =)(х) сводится к отысканию неподвижных точек отображений (1) и исследованию их зависимости от параметра х. 3' Покажем, что существует положительное число у « <пни[а, [)) такое, что при любом хее Х, удовлетворяющем условию !х!<7<а, отображение у„: Вг(0, у)-»-)' шара Вг(0; у):= = [у ~ )»!!у!<7<[)[ в г является сжимающим отображением с коэффициентом сжатия, не превосходящим, например, числа 1/2. Действительно, при любом фиксированном х ы Вх(0; а) отображение у„: Вг(0; р)-~1'дифференцируемо, что следует из условия 3 и теоремы о дифференцировании композиции отображений, причем у,(у)=ег —.
(Р„'(О, 0))-' (Р„'(х, у)) (РР(0, 0))-'(Р;(О, 0) — Р„'(х, У)). (3) В силу непрерывности Р„'(х, у) в точке (О, 0) (условие 3) найдется такая окрестность ((х, у) ен Хх !»/(х(<у<а 11 (у!< <у<[Ц точки (О, О) ен Хх !», в которой [й»(У) [«[(Р„'(О, 0))-'! [Р»(0, 0) — Р„'(х, у) [< — (4) Здесь мы пользуемся тем, что (Р'„(О, 0))-' ~Ж(Л; 1»), т. е. [(Р»(0, 0))-')<со.
Всюду дальше будем считать, что !х! <у и !у,' <у, поэтому имеет место оценка (4). Таким образом, при любом хек ВХ(0; у) и любых у„у,~ ~ Вг(0; у) по теореме о конечном приращении мы действительно получаем теперь, что 1 2 !У1 дам м1 4' Для того чтобы утверждать существование неподвижной точки у„отображения д„, нам надо иметь такое полное метрическое пространство, которое при этом отображении переходит в себя (быть может, и не на себя). Проверим, что для любого числа е, удовлетворяющего условиям 0<в<у, найдется такое число 6 6(е) из интервала 10; у[, что прн любом х ее Вх (О; 6) отображение д преобразует замкнутый шар Вг(0; е) в себя, т. е.
д,(дг(0; е)) с: Вг(0; е). Действительно, сначала по е подберем число 6 ~ 10, у[ так, чтобы при !х! <6 иметь д„(0) != !(Р„'(О, 0))-'. Р(х, 0) !« «[(Р1(0, 0))-'[/Р(х, 0) 1< - е. (6) Это можно сделать благодаря условиям 1 и 2, в силу которых Р(0, 0)=0 и Р(х, у) непрерывно в точке (О, 0). Если теперь !х!<6(а) <у и !у!«в<у, то из (5) и (6) получаем ! у.
(у) ! - ! а. (у) — у. (О) !+ ! у- (О) ! < —, ! у !+ -; < а, н, значит, при /х/<6(а) д„(ВР (О; е)) с: Вг (О; е). (7) Как замкнутое подмножество полного метрического пространства )» замкнутый шар Вг(0; е) сам является полным метрическим пространством. 5' Сопоставляя соотношения (5) и (7), на основании принципа неподвижной точки (см. гл. 1Х, э 7) теперь можно утверждать, что при каждом х ~ В„(0; 6 (в)) =: (l найдется единственная точка у=у, =:Г(х) ен Вг(0; а) =: Р', которая является неподвижной точкой отображения д: Вг(0; е) »-д, (О; е). В силу основного соотношения (2) отсюда следует, что так построенная функция г': (7-»-)~ уже обладает свойством 2', а значит, и свойством 3', поскольку Р(0, 0)=0 по условию 1. Свойство Г окрестностей (7 и )г следует из того, что по пострсмнию (7х'Р'с: В„(0; а)хдг(0; р)=)Р.
Наконец, непрерывность функции у=((х) в точке х=О, т. е. свойство 4', следует из 2' и того, что, как было показано в п. 4' доказательства, для любого числа Е.Р О (е<у) найдется такое число 6(а))0 (6(а) <у), что при любом хан Вх(0; 6(е)) выпол- Гл.
Х, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ р 7. ОВЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯЕНОН ФУНКЦИИ нено у»(ВУ(0; е))с:ВУ(0; е), т. е. единственная неподвижная точка у„=((х) отображения д„: ВУ(0, а)-р ВУ(0; е) при (х)«с' (6(е) удовлетворяет условию )~(х) ((е. Мы доказали теорему существования неявной функции. Сделаем теперь ряд дополнений о свойствах этой функции, порождаемых свойствами исходной функции Р. Доп'олиение 1 (о непрерывности неявной функции). Если в дополнение к условиям теоремы известно, что отображение Р: йГ-р-Е непрерывно не только в точке (хр, у,), но и в некоторой ее окрестности, то найденная функция Г: У-ФУ будет непрерывно не только в точке х, ен У, но и в некоторой ее окрест- 4 Из условий 3 и 4 теоремы на основании свойств отображения ь" ()»; Я)=э А А-'еп.'о(2; 'г') (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
