В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 24
Текст из файла (страница 24)
пример б из $ 3) заключаем, что в каждой точке (х, у) некоторой окрестности точки (хр, у,) оператор Р„'(х, у) ~Ж(1»; с) является обратимым. Таким образом, при налйчни сделанного дополнительного предположения о непрерывности Р все точки И, у) вида (х, 1(х)) из некоторой окрестности точки (х„у,) удовлетворяют условиям 1 — 4, которым раньше удовлетворяла только точка (хр, ур).
Повторив построение неявной функции в окрестности любой из этих точек (2, у), мы получили бы функцию у=)(х) непрерывную в х и в силу 2' совпадающую с функцией у=1(х) в некоторой окрестности точки х. Но это и означает, что функция Г непрерывна в х. р Дополнение 2 (о дифференцируемости неявной функции). Если в дополнение к условиям теоремы известно, что в окрестности ЯГ точки (хр, у,) существует пиисже частная производном Р„'(х, у), непрерывная в точке (хы ур) то функция у=1'(х) дифференцируема в пючке хр, причем У (хр) = (Рр(хр ур)) (Р»(хр, ур)).
(8) 4 Проверим непосредственно,.что линейный оператор Е~ ч=.'с (Х; У), стоящий в правой части формулы (8), действительно является дифференциалом функции у=)(х) в точке хр. Как и прежде, для упрощения записи будем считать, что хр= О и у,=О, поэтому 1(0)=0. Проведем сначала предварительный подсчет ~1(х) — 1 (0) — Ех ) = ) ( (х) — Ех ( = =/~(х)+(Рр'(О, 0))-'(Р;(О, 0))х!= ! (Ру (О 0)) (Р» (0~ 0) х+ РУ (0~ 0) ~ (х)) / = = / (Р„'(О, 0))-'(Р(х, )(х)) — Р(0, 0) — Р„'(О, 0) х — Р„'(О, 0))(х)) (~ ($(РУ'(О, О))-') !Р(х, 1(х)) — Р(0, 0) — Р„'(О, 0)х — Р„'(О, 0))(х)/~ ~$(РУ'(О, 0))-') а(х, 7(х)) (/х/+/)(х)(), где ср(х, у)-р-0 при (х, у)-р (О, 0).
Эти соотношения написаны с учетом того, что Р(х, )(х)) =— О, и того, что непрерывность частных производных отображений Р;, Р'„в точке (О, 0) обеспечивает дифференцируемость функции Р(х, у) в этой точке. Положим для удобства записи а:=(Е( и Ь:=1(РУ'(О, 0)-'(. Учитывая, что ) ) (х) ~ = ) ) (х) — Ех+ Ех ~ ~ !1 (х) — Ех!+, Ех ~ == ~ Г (х) — Ех ~ + а ~ х ~, проведенную выше предварительную выкладку можно продолжить. и получить, что ( ~ (х) — Ех ~ ( Ьа (х, 1 (х)) ( ) а — 1 И х ~ + ~ Г (х) — Ех !), илн ~)'(х) Ех~~, („"+ а(х, ((х))~х!. Ввиду непрерывности 1 в точке »=О н того,' что г(0) =О, при х-р 0 также Г" (х) — ~-0, поэтому а(х, Г'(х)) — О при х- О.
Значит, из последнего неравенства следует, что / ) (х) — г (0) — Ех / = ~ ~ (х) — Ех ~ = о (~ х () при х -». О, )ь Дополнение 3 (о непрерывной дифференцируемостн неявной функции). Если в дополнение к условиям теоремы известно, что в окрестности Ф' точки (хр, у,) существуют и непрерывны частные производные отображения Р,', Р„', то в некоторой окрестности тачки х, функция у=1" (х) непрерывно дифференцируема и ее производное отображение вычисляется по формуле )'(х)= — (Р„'(х, 1(х)))-' (Р;(х, 1(х))).
(9) 4 То, что в индивидуальной точке х, для которой оператор Р;,(х, г(х)) обратим, производное отображение г' (х) существует и выражается в виде (9), нам уже известно из формулы (8). Остается проверить, что прн сделанных предположениях функция Г'(х) непрерывна в некоторой окрестности точки х=х,. Билинейная функция (А, В) ' » А  — произведение линейных операторов А, В является непрерывной функцией. Оператор В = — Р;(х, г(х)) непрерывно зависит от х как композиция непрерывных функций х (х )(к)) — Р'(х 1(х)) То же самое можно сказать о линейном операторе А-' =Р'(х, 1(х)).
Остается вспомнить (см. пример б из з 3), что отображение А-' А также непрерывно в области своего определения. Таким образом, задаваемая формулой (9) функция г" (х) непрерывна в некоторой окрестности точки х=хр как композиция не-. прерывных функций. Р Теперь мы можем подвести итог и сформулировать следующее общее др аЛ дг1 ''' дях дг"х дхх дг1 ' ' ' дях др1 дх1 дх' ''' дх~ Р„'= дрх дрх дх' ''' дхЙ дх7 дР'" дв1 ''' ду" дух дрк дя1 ''' дух матрицы Р„' (х,', ..., х',") браженне 1: ставление у1 =~'(х', ..., хй), г' = Р1(х', ..., х'", у', ..., у"), ,(12) у"=)" (х', ..., х"), гх=рх(х',, х'", у', ...; у"). такие, что; Гх. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ У т ве р ж де н не.
Если в дополнение к условиям теоремы о неявной с)7ункции известно„что функция Р принадяежит классу С'"г(!Р'; Е), то определяемая уравнением Р(х, у)=0 неявная 4дунк. ция у=)'(х) принадлежит классу С'х'(с7; У) в некоторой окрест. ности У точки хы 4 При п=О и и=1 утверждение уже доказано. Общий случай может теперь быть получен по индукции из формулы (9), если заметить, что отображение Ф(У; 2) =э А А-'~,Ф (2; У) (бесконечно) дифференцируемо и что при дифференцировании равенства (9) правая часть всегда содержит производные от 1 на один порядок более низкие, чем левая часть.
Таким образом, последовательное дифференцирование равенства (9) возможно столько раз, каков порядок гладкости функции Р. Р В частности, если 72 (х) Ь1 = — (Р„' (х, !' (Х)))-1 (Р; (х, ~ (х))) Ь„ 7" (х)(йы Ьх) = — с!(Р„'(х, 7 (х)))-1ЬЯР;(х, '1(х))Ь,— — (Р„'(х, ~(х)))-1й(Р„'(х, ~(х)) Ь,) Ьг = (Р„'(х, 1(х)))-'йРУ'(х, ~(х))Ь1(РУ'(х, ~(х)))-1 Р;(х, ~(х))Ь1 — (Р„(х, ! (Х))) 1 ((Рхх (х 1(х)) + Рхх (х ! (Х)) 1' (х)) Ь1) Ь1 = =(Р„'(х, 1(х)))-1((РУ;(х, 1(х))+Р„У(х, ~(х))~'(х))Ь1)х.
Х (РУ(х, 1(х)))-1 Р„'(х, 1(х)) Ь, — (Р;,(х, )'(х)))-1 Х х ((Р,"„(х, ~ (х)) + Р,"„(х, ~ (х)) ~' (х)) й,) Ь,. В менее подробной, но более обозримой записи это означает, что 1х (х) (й1 Ьг) (Рх) 1 7((РУ + РУУГ) Ь1) (Ру) 1 Рхй1 — ((Р + Р„"„!') Ь7) Ьх!.
(10) Так можно было бы в принципе получить выражение для производной любого порядка от неявной функции, однако, как видно уже нз формулы (10), эти выражения в общем случае слишком, громоздки, чтобы быть удобными в употреблении. Посмотрим теперь, как конкретизируются полученные результаты в важнейшем частном случае, когда Х = И , У = К', 2=1~".
В этом случае отображение г = Р (х, у) имеет координатное представление В 7. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Частные производные отображения Р„' ы Х(К'"; Я"), Р„' ~ ~ Ж(Г; И") задаются матрицами вычисленными в соответствующей точке (х, у). Непрерывность Р„' и Р', как нам известно, равносильна непрерывности всех элементов указанных матриц. Обратимость линейного преобразования Р„' (хю ух) ен Ж Щ"; ь!") равносильна невырожденностн матрицы, задаю!пей это преобразование. Таким образом, в рассматриваемом случае теорема о неявной функции утверждает, что если 1) Р(х,', ..., х,'", у,', ..., у,")= О, Р" (х1 .. х'" у' ... у") = О; 2) Р7(Х1, .„, х, у1, ..., у"), 1=1, ..., и, — функции, непрерывные в окрестности точки (х',, ...
х, у,', ..., у,) е=(1 хй"; др1 3) все частные производные — (х', ..., х'", у', ..., у"), дх7 = 1, ..., и, 1= 1,;..., т, определены в окрестности точки (Х1,, ..., х'", у', ..., у") н непрерывны в самой этой точке; 4) в точке (Х1, ..., х,, у1, ..., у,") определитель отличен от нуля, то найдутся онрестность 17' точни в Я, окрестность У точки (у',, ..., у,") в й" и ото- У -~ У, имеющее в данном случае координатное пред- !о Гл. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1 7.
ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ !1 1') в пределах окрестности (/х (ь точки (хь, ..., х~, уь, ... у ) = ~ (ч х(ч" система уравнений г'1(хт, ..., х'", у', ..., у") =О, г'п(х', ..., хт, у', ..., у")=0 равносильна функциональной зависимости /: (/-»У, выраженной равенствами (12); 2') у1=Г(хтьи ..., ХГ), ( Х 1 т ) 3') отображение (12) непрерывно в точке (х',, ..., х,'", у,', ..., ут). Если же, сверх того, известно, что отображение (11) принадлежит, классу гладкости С'"', то, как следует из приведенного выше утверждения, отображение (12) также будет принадлежать классу С!"1, разумеется, в соответствующей .своей области определения.
Формула (9) в рассматриваемом случае конкретизируется, пре. вращаясь в матричное равенство д(1 д/ь дуг дг' -' дуь дгь дх'' '''' дхт ду' ' "" ду" дх1 ' '''' дхт д/л д/и дх1 ' ''' дха» дрл дри дуь ' "' ду. дрп дул дм' "' дхт в котором левая часть вычисляется в точке (х', ..., л ), а правая — в соответствующей точке (х', ..., х'", у', ..., у"), где у' = =/1(х', ..., хт), 1=1, ..., и. Если п=1, т. ег когда решается относительно у уравнение г (хт, ..., х'", у) = О, матрица ги' состоит из одного элемента — числа — (х', ..., х'", у). дР В ЭТОМ СЛуЧаЕ у=/(Хт, ..., Хт) И Формула (10) в этом случае также несколько упрощается, точнее, может быть переписана в следующем более симметричном виде: (р„"„+р„.„/) и,р„и,+(р„.„+р„.„/) и,р„и, (13) Если же и п = 1 и па= 1, то у= /(х) есть вещественнозначная функция одного числового аргумента, и формулы (13), (14) пре- дельно упрощаются, превращаясь в знакомые числовые равенства /'(х) = — — ", (х, у), (р;„+р„„./') р„— (р"„,+р;„/) р'„ ("и)' для первых двух производных неявной функции, задаваемой уравнением Г(х, у)=0.
Задачи и упражнения 1. а, Предположим, что наряду с указанной в теореме функцией /: (ь'-»У нашлась функция /: (ь'-»У, определенная в некоторой окрестности !ь' точки ха н удовлетворяющая условиям уа=/(хп) и Р(х, /(х))РЕО в О /(окажите, что если / непрерывна в хм то в некоторой окрестности точки ха функции / и / совпадают. Ь. Покажите, что без предположения о непрерывности / в хз утверждение а, вообще говоря, неверно. 2.
Проанализируйте еше йаз доназательство теоремы о неявной функции н дополнений к ней и покажите, что: а. Если а=г" (х, у) непрерывно диффереицируемая комплекснозначная функция комплексных переменных х, у, то определяемая уравнением г" (х, у)=-0 неявная функция у = /(х) будет дифйеренцируемой по комплексному переменному х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
