В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 28
Текст из файла (страница 28)
! Из критерия Лебега (теорема 1, 2 1) существования интеграла на промежутке и определения 2 вытекает Теорема 1. Функ!(ия 1: Е- К интегрируема на допустимом множестве тогда и только тогда, когда она непрерывна почти во всех точках множества Е. 4 Функция !Хе по сравнению с функцией 1 может иметь дополнительно точки разрыва лишь на границе дЕ множества Е, которая по условию является множеством меры нуль. 3. Мера (объем) допустимого множества. Оп р еде лен и е 3. Мерой (Жордана) или объемом ограниченного множества Ес: Р" назовем величину р(Е): = ') 1 йх, е если указанный интеграл (Римана) существует. Поскольку ~ 1 !(х= ~ Ке(х) !(х~ е е а множество точек разрыва функции ХР, совпадает с дЕ, то по критерию Лебега получаем, что так введенная мера определена только для допустимых множеств.
Таким образом, допустимые множества и только они являются измеримыми в смысле определения 3. Выясним теперь геометрический смысл величины р(Е). Если Š— допустимое множество, то р(Е) = ) Хе(х)!(х= ~ Ке(х)йх= ~ Хе(х)дх, Тзе где последние два интеграла суть нижний и верхний интегралы Дарбу соответственно. В силу критерия Дарбу существования интеграла (теорема 3.$ 1) мера р(Е) множества определена тогда и только тогда, когда указанные нижний и верхний интегралы совпада!от. По теореме Дарбу (теорема 2 2 1) они являются пределами нижних и верхних интегральных сумм функции Хе, отвечающих разбиениям Р промежутка 1.
Но в силу определения функции Хе нижняя интегральная сумма равна сумме объемов ,промежутков разбиения Р, лежащих в Е (это объем вписанного в Е многогранника), а верхняя сумма равна сумме объемов тех 1 3. ОБщие сэопстВА интегРАлл г26 Гл. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ промежутков разбиения Р, которые имеют общие точки с множеством Е (объем описанного многогранника). Значит, р (Е) есть общий предел при А(Р)«О объемов вписанных в Е и описанных около Е мнягогранников, что совпадает с принятым представлением об объеме простых тел Е ~ Р'. При и = 1 объем принято называть длиной, а при и = 2— площадью. Замечание 3. Поясним теперь почему вводимая определением 3 мера р(Е) множества называется иногда мерой Жордана.
Определение 4. Множество Е ~Р' называется множеством меры нуль в смысле Жордана или множеством объема нуль, если для любого Б~О его можно покрыть такой конечной системой промежутков. |т, ..., 1», что,У', 11;)(Б. 1=-1 По сравнению с мерой нуль в смысле Лебега здесь появилось требование конечности покрытия, которое сужает лебеговский класс множеств меры нуль. Например, множество рациональных точек является множеством меры нуль в смысле Лебега, но не в смысле Жордана.
Для того чтобы верхняя грань объемов вписанных в ограниченное множество Е многогранников совпадала с нижней гранью объемов описанных около Е многогранников (и служила мерой )ь(Е) или объемом Е), очевидно, необходимо и достаточно, чтобы граница дЕ множества Е имела меру нуль в смысле Жордана. Именно поэтому принимают О и р еде лен и е 5. Множество Е называется измеримым и смысле Жордана, еслйоно ограничено и его граница имеет меру нуль в смысле Жордана. Как видно из замечания 2, класс множеств, измеримых по Жордану, это в точности тот класс допустимых множеств, который был введен определением 1.' Вот почему определенная выше мера )ь(Е) может быть названа (и называется) мерой Жордана множеств Е (измеримых по Жордану). Задачи и упражнения 1.
а. Покажите, что если множество Е « Р' таково, что р (Е) =О, то и для замыкания Е этого множества справедливо равенство р (Е)= О. Ь. Приведите пример ограниченного множества Е меры нуль в смысле Лебега, замыкание Е которого уже не является множеством меры нуль в смысле Лебега. е. Выясните, 'йадо ли понимать утверждеаие Ь) леммы 3 из й 1 как то, что для компакта понятия мнакества меры нуль и смысле Жордана и в смысле Лебега совпадают. б. Докажите, что если проекция ограниченного множества Е «Й» на гиперплоекоегь 1?» ' имеет (» — !);мерный объем нуль, то само множество Е имеет и-мерный объем нуль.
е. Покажите, что измеримое по Жордаиу множество без внутренних точек имеет нулевой объем. 2. а, Может ли существовать введенный определением 2 интеграл от некоторой функции ) по ограниченному множеству Е, если Е не является допустимым множеством (нзмериыым в смысле Жордаиа)? Ь Интегрируема лн постоянная функция й Е-«)ч на ограниченном, но неизмеримом по Жордану множестве Е? с. Верно ли, что если некоторая функция 1 интегрируема на множестве Е, то сужение ) ~А этой функции на любое подмножество А «Е мнгзкества Е является интегрируемой на А функцией? б. Укажите необходимые н достаточные условия на функцию й 'Е -« ~, определенную на ограниченном (но не обязательно измеримом по Жордану) 'множестве Е, при которых интеграл Римана от нее по множеству Е существует.
3. а. Пусть Š— маожеетво меры нуль в смысле Лебега, а Л Е -«1? — непрерывная и ограниченная функция на Е. Всегда ли 1 интегрируема па Е? Ь. Ответьте на вопрос а, считая Е множеством меры 'нуль в смысле Жордана, с. Чему равен интеграл от укаэанной в а функции Л если он существует? $3. Общие свойства интеграла 1. Интеграл как линейный функционал. Утверждение 1. а) Множество егг(Е) функций, интегрируемых по Риману на ограниченном множестве Е ~Р, является линейным пространством относительно стандартных операций сложения функций и умножения функции на число.
Ь) Инпгеграл является линейны.и функционалом ~: егг (Е) -1-(ч на пространстве е?г (Е). Е 4 Если учесть, что объединение множеств меры нуль также является множеством меры нуль, то утверждение а) вытекает непосредственно из определения интеграла и критерия Лебега существования интеграла от функции. на промежутке. Учитывая линейность интегральных сумм, предельным переходом получаем линейность интеграла. Замечание 1. Если вспомнить, что один и тот же предел интегральных сумм должен существовать при А(Р) — «.О независимо от выбора отмеченных точек й, то можно заключить, что Ды ыей(Е)) у( (1(х) =О почти всюду на Е)=р()1'(х) йх=О) ,Таким образом, если две интегрируемые функции совпадают почти во всех точках множества Е, то их интегралы по Е тоже совпадают, Значит, если профакторизовать линейное пространство иФ4Е)з относя в один класс эквивалентности функции, совпадающие почти во всех точках множества Е, то получится линейное пространство ейг (Е),.на котором интеграл тоже будет линейным функционалом.
2. Аддитивности интеграла. Хотя мы всегда будем иметь дело с допустимыми множествами Е с-(ч», в и, 1 можно было этого и й 3. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА 2в Ги. Х1. КРАТНЪ|Е ИНТЕГРАЛЪ| не предполагать (что мы и сделали). Теперь же речь будет идти только о допустимых множествах. У т в е р ж д е н и е 2. Пусть Е„Е, — допустимые множества в Кк, а / — функция, определенная на Е,() Е,. а) Имеют место соотношения ( Л ~ /(х)йх~<=О(Л ~ /(х)йх~ /1 ('=( ~ /(х)йх) ~ Л ~ 1(х)йх.
е,пе, / ( е, / ! Ек / е,пе, Ь) Если еще известно, 'ипо р (Е, () Е,) = О, то при условии существования интегралов имеет место равенство /(х) йх = ~ /(х) йх+ ~ / (х) йх, в~ПЕк е~ Ек 4 Утверждение а) следует нз критерия Лебега существования интеграла Римана по допустимому множеству (теорема 1, Ч 2). При этом надо только вспомнить, что объединение и пересечение допустимых множеств также являются допустимыми множествами (лемма 2, 2 2). Для доказательства утверждения Ь) заметим сначала, что Хе,|!е,(х) Хе (х)+Хе,(х) — Хе,пе,(х). Значит, ~ (х) йх = ~ )Хе,па. (х) йх = е,век / ~ Ек|!Е, ~ //Хе, (х) йх + ~ //Хе, (х) йх" — ~ //Хе, и с, (х) йх / / / = $ /(х) йх+ $ /(х) йх. Ек .
е, Дело в том, что интеграл ~/Хе,пе,(х)йх= ~ 7(х)йх, / Ек!|Е, . как нам известно из а), существует, а поскольку р(Е,ЛЕЗ) О, то он равен нулю (см, замечание 1). йи 3. Оценки интеграла. а. Общая оценка. Начнем с одной общей оценки интеграла, справедливой и для интегралов от функции со значениями в любом полном линейном нормированном пространстве. Утверждение 3. Если '/еноте(Е), то 1/'1 я ВЯ(Е) и плюет место неравенство ~ / (х) йх ~ ч-- ~ 1/1(х) йх. 1 е е 4 ТО, Что 1/~~о/Г(Е), ВнтЕКаЕт ИЗ ОПрЕдЕЛЕНИя ИНтЕГраЛа по 'множеству и критерия Лебега интегрируемости функции иа промежутке.
Указанное неравенство получается теперь предельным Ьереходом из соответствующего неравенства для интегральных сумм. Ь. Интеграл от неотрицательной функции. Следующие утверждения относятся уже только к вещественнозначным функциям. Утверждение 4. Для функции ): Е-+.Я справедливо следующее предложение: (/ е= ой (Е)) ~, (Чх ен Е (/ (х) =- О)) ~ ~ / (х) йх % О. е 4 Действительно, ведь если /(х) э: 0 на Е, то /Хе(х) ~0 Р К'. Далее, по определению ~/(х) йх = ~ /Хе(х) йх.
е /~е Последний интеграл по условию существует. Но он является пределом неотрицательных интегральных сумм, значит, он иеотрицателен. Р Из доказанного утверждения 4 последовательно получаем Следствие 1. (/, й е= е / (Е)) /1 Д ~ д на Е) =:Р ( 1/ (х) йх ( ~ й (х) йх) Следствие 2. Если /ен ой'(Е) и в любой точке допустимого множества Е выполнены неравенства т(~(х) (М, то тр(Е) ~ ~~(х),йх ~ Мр(Е). Е Следствие 3. Если /еноЯГ(Е), т= |п( /(х), М= зпр /(х), кыЕ .
кев то найдется такое число 9 ен [т, М1, что ~ /' (х) йх = ор (Е). е Следствие 4. Если Š— связное допустимое множество и функция /: Е-РР непрерывна, то найдется такая точка 3 е= Е, чпю )/(х)йх=/($) р (Е). Следствие 5. Если в дополнение к условиям следствия 2 имеется функция д ен о/г (Е), неотрицательная на Е, то т $д(х) йх ~ $)д(х) йх(М ~д(х)йх. е е е Последнее утверждение является обобщающим и обычно называется, как и в случае одномерного интеграла, теоремой о среднем для интеграла. 5 В А/Зорич, ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
