В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Пример 1. Рассмотрим знакомую ситуацию, когда Х=)'=Р, и, таким образом 7: У -~- Р есть вещественнозначная функция вещественного аргумента. Поскольку любое линейное Гл Х ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 5 Ф ТЕОРЕМА О КОНЕЧНОМ ПРИРАЩЕНИИ отображение А ен,л,'(й; к) сводится к умножению на некоторое число а ен Я, т. е. Ай=ай, причем, очевидно, ( А ~.'= ~а'„то в любой точке хан У для любого вектора Й ен ТЫ„й получаем, что )'(х) Й= а(х) Й, где а(х) — числовая производная функции 1 в точке х.
Далее, так как ()' (х+ 6) — )' (х)) Й = )' (х+ 6) Й вЂ” ~' (х) Й = =а(х+6)Й вЂ” а(х)Й=(а(х+6) — 'а(х))Й, (10) ) 1' (х+ 6) — )' (х) ( = ~ а (х+ 6) — а (х) ( и, значит, непрерывная дифференцируемость отображения 1 в данном случае равносильна рассматривавшемуся ранее понятию непрерывно дифференцируемой числовой функции (класса Сьи ((«'; (ч)). Пример 2. Пусть на сей раз Х есть прямое произведение Х,х...хХ~ нормированных пространств.
Отображение (8) в этом слУчае есть фУнкциЯ 1(х)=)(хь ..., х ) от т пеРеменных х; ~ ен Хь 1= 1, ..., т, со значениями в пространстве У. Если отображение 1 дифференцируемо в точке х а=У, то его дифференциал и( (х) в этой точке есть элемент пространства ~(Х,х ... хХ„= Х; 1'). Действие с(1(х) на вектор Й=(Й„..., Й ), согласно формуле (!5) из й 3, представляется в виде 4 (х) Й = д4 (х) Й, + ... + д„,) (х) Й, где д;~(х): Х; — «1', 1=1, ..., т, суть частные производные отображения ) в рассматриваемой точке х.
Далее, (Ф (х+ 6) — с() (х)) Й = ~Ч , '(д;~ (х+ 6) — д;) (х)) Йь (11) «=1 Но в силу свойств стандартной нормы в прямом произведении нормированных пространств (см. $ 1, п. 2, пример 6) и определения нормы оператора получаем, что ~ д«) (х+ 6) — д Г (х) )л < х л у> ( $/ д) (х+ 6) — 4 (х) (я < х; у1 -= ( ~Ч~) д;)(х+6) — дг)(х) (л<хй 1> (12) Таким образом, дифференцируемое отображение (8) 'в данном случае непрерывно дифференцируемо в («', если и только если все его частные производные отображения непрерывны в У.
В частности, если Х =Р" и )'=й, мы вновь получаем уже знакомое понятие непрерывно дифференцируемой числовой функ. ции т дейетвительных переменных (функции класса Сон ((«'; Р), где («с:)ч'"). Замечание. Стоит отметить, что в записи равенств (10) и (11) мы существенно пользовались каноническим Отождествлением ТХ„Х, позволившим сравнивать или отождествлять векторы, лежащие в различных касательных пространствах. Покажем теперь, что для непрерывно дифференцируемых отображений имеет место Утверждение 1. Если Ю вЂ” выпуклый компакт в нормироеанном пространстве Х, и 1епСРИ(Ю; )«), где )« — тоже нормироеанное пространство, то отображение 1: лчГ- )«удовлетворяет услоеию Липшица на Ю, т.
е. сущеспаует постоянная М ) 0 такая, что для любых точек хи х, е= Ю выполнено нераеенстео ! 1 (х«) — Г' (х,) ( ~ М , 'х, — х, !. (13) По условию 1'. Ю вЂ” «Ж(Х; 1') есть непрерывное отображение компакта л«С в метрическое пространство 2' (Х; 1'). Поскольку норма есть непрерывная функция на нормированном пространстве, взятом с его естественной метрикой, то отображение х»(~' (х) (, как композиция непрерывных отображений, само есть непрерывное отображение компакта йс в (ч.
Но такое отображение обязано быть ограниченным. Пусть М такая постоянная, что в любой точке хан Ж имеет место неравенство (1'(х)(ч- (М. Ввиду выпуклости у«" вместе с любыми двумя точками х«Е=Ю, хеенЮ компакт ЯГ содержит и весь отрезок 1хи х,). Применяя к этому отрезку теорему о конечном приращении, немедленно получаем соотношение (13). й Утверждение 2. В условиях утверждения 1 существует такая неотрицательная стремян(аяся к нулю при 6«+О функция ы(6), что имеет меспю соотношение ~ ) (х+ Й) — '7 (х) — )' (х) Й ~ ч= в (6) ~ Й ), (14) спраеедлиаое е любой точке х ~ Ю при (Й~(6, если х+Й ~Л'.
4 В силу следствия теоремы о конечном приращении можно записать, что ~ 1 (х+ Й) — 1(х) — )' (х) Й ~ ~ зн р ( 1' (х+ ВЙ) — )' (х) 5 ~ Й 3 осес1 и, полагая ы (6) = зцр 11' (х,) - ~' (х«) (, ««««ым) )«,-««(се получаем (14) ввиду равномерной непрерывности функции х 1'(х), непрерывной на компакте Ю. Ь. Достаточное условие дифференцнруемости. Покажем теперь как, располагая общей теоремой о конечном приращении, можно Гл. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ $6. ПРОИЗВОДНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ вт в общем виде получить достаточное условие днфференцнруемостн отображений в терминах частных производных, Теорема 2. Пусть У вЂ” окрестность точки х нормирован- ного пространства Х = Х, м ...
~ Х, являющегося прямым произ- ведением нормированных пространств Х(»( ... »(Х, и пусть У-»-)г — отображение У в нормированное пространство [г. Если в и отображение (' имеет все частные производные отображения, то при условии их непрерывности в точке х отображение (" диф- ференцируемо в отой точке. 4 Для упрощения записи проведем 'доказательство В случае т = 2. Проверим 'непосредственно, что линейное относительно Ь=(Ь„Ь,) отображение ЕЬ=д»у(х) Ь,+дз((х) Ь, является полным дифференциалом ( в точке х. Сделав элементарные преобразования 1(х+Ь) — )(х) — и%= =)(х»+Ьг, х,+Ьз) — )(х„хз) — дг)(х)Ь» — дз~(х)Ьз= =)(х»+Ь(, хз+Ьз) — )(х(, хз+Ь,) — д»~(х(, х,)Ь,+ +) (Х„Хз+ Ьз) — ) (Х» Х,) — дз~ (Хг, Хз) Ь„ по следствию из теоремы 1 получаем ! ) (Хг+ Ь„хя+ Ьз) — ~ (Х„Хз) — дг~ (х„хз) Ьг — дД (х„хз) Ьз [ « зир [дг~(х»+9»Ь1, хг+Ьз) — дг)(хг, хз)[[Ь»[+ о<з,<( +,зпр [дз[(х„х,+96Ь,) — дз) (х„х,) [! Ь, [.
(15).. О<В,<1 Поскольку (пах Д Ь,/, (Ь,() «[Ь ), то из непрерывности частных производных дг(, дзу в-точке х=(х„х,), очевидно, следует, что правая часть неравенства (15) есть о(Ь) прн Ь=(Ь„Ь»)-»0. [ь С л едс т в и е. Отображение )»: и -» 'г' открытого подмно- жества и нормированного пространства Х=Х»х...хХФ в нор.
мированное пространство )' непрерывно дифференцируемо тогда и только тогда, когда в и непрерывны все частные лроизвсдные отображения 1. 4 В примере 2 мы показали, что при условии днфференци- руемости отображения 1; и — )г его непрерывная днфференци- руемость равносильна непрерывности его частных производных. Теперь же мы видим, что если частные производные непре- рывны, то отображение ~ автоматически днфференцнруемо, а сле- довательно (на основании примера 2), н непрерывно дифферен- цируемо. ~ Задачи я упражнения 1. Пусть Ь г -» У вЂ” непрерывное огображенне отрезка г'=[О, Ц ~ [с в нормнрозанное пространство у, а йз 1-» [» — пепрерыаная Вещестзеннозначная функция на Е Покажите, что еслн') н д днфференцнруемы и ннгерзале 10.
Ц н а точках згого интервала нмее» место соотношение [Р (х)1«в' ((), го спраяедлнзо также нераяенстзо (1(Ц вЂ” 1(0) ( «й (Ц вЂ” х (О). й. а. Пусть й г -» У вЂ” непрерывно днфференцнруемое отображение отрезка г'=[О, Ц ~ [г з нормированное пространство У Оно задает 'гладкий путь а У. Определите длину згого пути. Ь. Вспомните геометрический смысл нормы касательного отображения н оценнге сверху длину пути, рассмотренного н а. с. Дайте. геометрическое истолкование теоремы о конечном приращении. 3. Пусть й У'-» 1' †непрерывн отображение окрестносгн У точки и нормированного пространства Х з нормированное пространство У.
Покажите, что если 1 днфференцнруемо з У'~а н р (х) имеет предел ь »и й» (Х; у) прн х-» а, го отображение 1 днфференцнруемо з точке а н Р (а)= ь, 4. Пусть У вЂ открыт выпуклое подмножество нормнронанногц просгран. стаа Х, з Ь У -» У вЂ отображен У з нормированное пространство У Пока. жите, что если Р (х) ьи 0 на У, го отображение 1 постоянно. 9 5. Производные отображения высших порядков 1. Определение и-го дифференциала.
Пусть и — открытое множество в нормированном пространстве Х, а ):и у (1) — отображение У в нормированное пространство г'. Если отображение (1) дифференцируемо'в и, то в У определено производное от ) отображение Г: и 2'(х; ['). (2) Пространство й (Х; )') =: [г»' является нормированным пространством, по отношению к которому отображение (2) имеет внд (1), т. е. ['.
У-» 'г'1 и можно поставить вопрос о его днфференцируемости. Если отображение (2) дифференцируемо, то его производное отображение уу: и 2'(х; ),) =х(х; х(х; ) )) называют вторьия производным отображением нли вторым дифференциалом от ( и обозначают символом (" нли /(з». И вообще принимается следующее индуктивное Определение 1. Производным отображением порядка няМ нли и-м дифференциалом отображения (1) в точке хани называется отображение, касательное в этой точке к производному отображению порядка п — 1 от (.
Если производное отображение порядка Ь я [о[ в точке х ыУ обозначать символом ((ь» (х), то определение 1 означает, что 1(п» (х) . = Ч( -1)' (х). (3) Таким образом, если 1(ю(х) определено, то 7(з>(х) ен.о(Х", г'„)*=й(Х; й (Х; )'„1))=... х(х; ж(х; ...; 2'(х; ['))...). Гл. Х, ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Следовательно, на основании утверждения 4 из $ 2 дифференциал и-го порядка (<"' (х) отображения (1) в точке х можно Р"Р "Р "" "Р Р ~(Х, ..., Х: 1') и-линейных непрерывных операторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
