В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Пример б. Пусть У вЂ” подмножество о (Х; )'), состоящее из тех линейных непрерывных операторов А: Х вЂ” «У,,которые имеют непрерывные обратные операторы А-'. )'-«Х (принадле- жащие о()'; Х)). Рассмотрим отображение У~ А А-'~Ж()'; Х), состоящее в том, что каждому оператору А ~ 0 ставится в соот- ветствие обратный к нему оператор А-' вв.'о'(У; Х). Доказываемое ниже утверждение 2 позволяет ответить на вопрос о дифференцируемости этого отображения. Утверждение 2. Если Х вЂ” полное'пространство и АБЕБ, то при любом й вне(Х; 1') таком, что [й[<1А-т(-', оператор А+й также принадлежит У и справедливо соотношение (А + й)-' = А-' — А-тйА-'+ о (й) при й — О.
(3) 4 Поскольку (А+й)-'=(А(Е+А-'й))-'=(Е+А-тй) 'А ', (4) то достаточно найти оператор (Е+А-Ч~)-', обратный к оператору (Е+ А-ай) ы.В'(Х; Х), где Š— тождественное (единичное) отобра- жение ех пространства Х на себя. Пусть Л: = — А-1Ь. Учитывая сделанное к утверждению 2 'из $2 дополнение, можно заметить, что[Л[([А-'1 [й[, поэтому в силу сделанных относительно оператора Ь предположений можно считать, что 1Л1(д(1 Проверим теперь, что (Š— Л)-'= Е+ Л+ Ла+...+ Л" +..., (б) где ряд, стоящий справа, есть ряд, составленный из линейных операторов Л"=(Л °... Л) ~-Ф (Х; Х) Ввиду полноты Х (в силу утверждения 3 из $ 2) линейное нормированное пространство о (Х; Х) является полным, Тогда сходимость указанного ряда, составленного из векторов этого пространства, немедленно вытекает из того, что [Л" 1~1Л [а(да, , и того, что ряд ~', да сходится, если )д~< 1, ас а Непосредственная проверка (Е+ Л+ Л'+...) (Š— Л) =' = (Е+ Л+ Ла+...) — (Л+ Ла -1- Ла+...) = Е и (Š— Л) (Е+ Л+ Л'+...) = = (Е+ Л+ Л'+...) — (Л+ Л'+ Л'+...) = Е показывает, что мы действительно нашли (Š— Л)-'.
Стоит отметить, что свобода выполнения арифметических операций над рядами (перестановки членов!) в данном случае гарантируется абсолютной сходимостью (сходимостью по норме) рассматриваемых рядов. Сопоставляя соотношения (4) и (5), заключаем, что при 1Ь[ ~[А-' 1-" (А + й)-' = А-" — А-'ЬА-'+ (А-тй)' А-' —... ...+ ( — 1)" (А-тй)" А-'+... (6) Поскольку ! Я ( — А-'й)" А-' ~( Я [ А-1Ь[" [А-'[.~ а з а=я СО и=[А-'1'[й[' ~~ ~"= —,' [й[з, Ра то из (6), в частности, следует равенство (3). Р Возвращаясь теперь к примеру 6, можно сказать, что в случае полного пространства )' рассматриваемое отображение А А-т заведомо дифференцируемо, причем тч'(А) й = д (А-') й = — А-тйА-т.
В частности, это означает, что если А — квадратная невы- рожденная матрица и А-' — обратная,к ней матрица, то при возмущении матрицы А с помощью матрицы й с близкими к нулю элементами матрицу (А+й)-', обратную к возмущенной матрице А +й, можно в первом приближении находить по следующей формуле: (А + й)-' А-' — А-'йА-'. Гп. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ % 3 ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ Более точные формулы, Очевидно, можно получить, исходя из равенства (6). Пример 7.
Пусть Х вЂ” полное линейноенормированноепространство. Важное отображение ехр: 2'(Х; Х)'-п-,2'(Х; Х) определяется следующим образом: ехр А:= Е+ —, А+ — А'+...+„—, А" +... если А ее-О (Х; Х). Стоящий в (7) ряд сходится, так как О (Х; Х) — полное про- ! ~А (п странство и ~ — А" ~~( — ', а числовой ряд 7 — '' сходится. и 0 Нетрудно проверить, что ехр(А+й)=ехр А+В(А)й+о(й) при й — ~0, (8) (7) где Ь(А)й=й+ — ( (Ай+йА)+ —,(А'й+АйА+йА')+... + (Ап-1й 1 АпмйА 1 1 АйАп-А 1 йАп-~) 1 и 1Ь(А)(~ехр(А(=е1л!~, т.
е. Е(А) ее,2'(О (Х; Х); А (Х; Х)). Таким образом, отображение У(Х; Х)эА ехр А ее.'О(Х; Х) дифференцируемо при любом значении А. Заметим, что если операторы А и й коммутируют, т.'е. Ай = йА, то, как видно из выражения для Ь(А) й, в этом случае Ь(А) й= = (ехр А) й. В частности, для Х=И или Х=С вместо (8) вновь получаем ехр (А+й) =ехр А+(ехр А) й+О(й) при й — и О. (9) Пример 8. Попрооуем дать математическое описание мгновенной скорости вращения твердого тела с одной неподвижной точкой о (волчок).
Рассмотрим в точке о ортонормальный репер (е„ев е,)„жестко связанный с телом. Ясно, что положение тела вполне характеризуется положением такого орторепера, а тройка (еы е„еп) мгновеяных скоростей движения векторов репера, очевидно, вполне характеризует мгновенную скорость вращения тела. Положение самого репера (ем е„еп) в момент 1 можно задать ортогональной матрицей (сс(), 1, 1= 1, 2, 3, составленной из координат векторов еы ев е, относительно некоторого неподвижного ортонормированного репера пространства, Таким образом, движению волчка отвечает отображение 1-и-0(() из Я (ось времени) в группу Ю (3) специальных ортогональных матриц третьего порядка. Следовательно, скорость вращения теЛа, кото- о(г)о «)+О«)о*(()=0 о«)= — о«)о (Г)о«), или поскольку О* «) О (1) = Е В частности, если считать, что в момент 1 РепеР (еы ев еа) совпадает с репером пространства, то О (1) = Е и из (11) получается что о«) = О* «), (12) т.
е. матрица О«)=: Я«)=(в() координат векторов, (е„е„еп) в базисе (е„ев е,) оказывается кососимметрической: /в' в( в)1 / Π— в' в'~ Ай(() пп В,' В' В', = ВЗ О вЂ” В1 в„ в1 в,~ — вп в1 О ) Таким образом, мгновенная скорость волчка на самом-то деле характеризуется тремя независимыми параметрами, что в наших рассуждениях проистекало из соотношения (10) и что с физической точки зрения естественно, поскольку положение репера (еы ев еп), а значит, и самого тела описывается тремя независимыми параметрами (в механике это, например, углы Эйлера).
Если с каждым вектором в = в'е, +в'е, +в'е, пространства, приложенным к точке о, связать правое вращение пространства с угловой скоростью ~в( относительно определяемой этим векто. ром оси, то из полученных результатов нетрудно заключить, что в каждый момент ( тело имеет свою мгновенную ось вращения и скорость тела в данный момент может быть адекватно описана мгновенным вектором скорости вращения в(1) (см.
задачу 5). 4. Частные производные отображения. Пусть О =. (.'(а) — окрестность точки аенХ=Х~х.;.кХ в прямом произведении норми- рую мы договорились описывать тройкой (е,, ев е,), задается матрицей О «) =: (в;') (1) = (а,') «) — производной от матрицы О «) =. .= (сс<)(1) по времени. Поскольку 0(1) — ортогональная матрица, то в любой момент( выполнено соотношение О (1) О и (() = Е, (1О) где О* «) — транспонированная по отношению к О «) матрица, а Š— единичная матрица.
Заметим, что произведение А В матриц есть билинейная функция от А и В, а производная от транспонированной матрицы, очевидно, равна матрице, транспонированной по отношению к производной исходной матрицы, Дифференцирун равенство (10) с учетом сказанного, находим, что га х диооегенцилльное исчислении роззнных пространств Х„..., Х, н пусть |: 0- 1' — отображение 0 в нормированное пространство У. В этом случае У=1(х) =1(хы ..., х ), (! 3) н значит, фнкснровцв в (13) все переменные, кроме одной переменной хн положив ха = аю й ен (1...
т]'~[, мы получим функцию 1'(а„..., а; „х„пию ..., а )=;~;(х)=:гр;(хД, (14) определенную в некоторой окрестности 0; точки а: простран ва Х . ст р деление 3. Отображение ~р;: 0; — ]' по отношению к нег~одному отображению (13) называют частным отображением по переменной х, в точке а ее Х. О п р е д е л е н и е 4. Если отображение (14) днфференцируемо в точке х:=а,, то.его производная в этой точке называется частной произтодной нлн азотным дифференциалом отображения в точке а по переменной хь Эту частную производную обозначают обычно одним.нз символов д,~ (а), 0;~ (а), — (а), 1';, (а).
д) В соответствии с этими определениями 0;~(а) ~ Ж(ХВ У), точнее, 0ф(а) ен Т(ТХ,(а;); ТУ()(а))). Дифференциал й)(а) отображения (13) в точке а (есл ',1 ф-. фер цнруемо в точке а) часто в рассматриваемой ситуации нафеен н зыззют полным дифференциалом, чтобы отличить его от частных дифференциалов по отдельным переменным. Ранее есе этн понятия нам уже встречались в случае вещественнознзчных функций т вещественных переменных, у .
здесь подробно нх обсуждать. Отметим только„что, повторив прежние рассуждения, с учетом разобранного з 2 2 ° примера 9, легко доказать, что н з общем случае справедливо следующее Утверждение 3. Если отображение (13) дифференцируемо в точке а=(а„..., а ) ~Х,х...хХ =Х, то оно имеет ватой полный дифф точке частные дифференциалы по к ждой из переме нных, причем итвнием й ифференциал и частные дифференциалы связаны соо тно- й)(а)й=д,)(а)й,+...+д )(а)й вдв И=(й„..., й ) ее ТХ, (а,)х...хТХ (а ) =ТХ(а). а примере числовых функций мы уже уяснили себе, что наличие частных дифференциалов, вообще говоря, не гарантирует днфференцируемостн функции (!3).
й з. дне перенимал отаврдження Задачи н упражнения з Пусть А ю,о (Х' Х) — нильпопингпныл олеРагпор, т. е. сУЩес зУ такое Ь ~в К, что Аа='О. Покажите, что оператор (Š— А) з этом случае имеет обратный, причем (Š— А) ' Е+ А +... + А"-Ч Ь. Пусть 0: Р [х] -«Р [х] — оператор дифференцирования на линейном пространстве Р[х] полиномоз.
Заметив, что 0 — нильпотентный оператор, запишите оператор ехр(а0), где а ш Р, н покажите, что ехр(а0)(Р(х))' Р(х+а) = =: Та (Р (т)). с. Запишите матрицы оператоРов 0: Рь [х] — «Рп [а] и Та' Рь [х]-«Рп [х] х"-' (из задачи Ь) в базисе е, = —, 1 ~! ( п, пространства Р„[х1 веществен(л — ])1 ' ных полиномоз степени п от одной переменной 2. а.
Если А, В ья.о (Х; Х) н ЗВ тенЖ(Х; Х), то ехр(В 'АВ) = = В-' (ехр А) В. Ь. Если АВ=ВА, то ехр(А+В)=ехр А ехр В. с. Проверьте, что ехр О=Е н что ехр А всегда имеет обратный, оператор, причем (ехр А)-т=ехр ( — А). 3. Пусть А ьз м. (Х; Х). Рассмотрим отобрюкение ыл: Р-«й(Х; Х), определяемое соотаетстансм Р ю 1 «ехр (1А) ш .о (Х; Х). Покажите, что: а. Отображение юл непрерывно; Ь, фл есть гомоморфизм Р как аддитизной группы н мультнпликатнвную группу обратимых операторов из о (Х; Х).
4. Проверьте, что; з. Если ьм ..., ль — собственные значения оператора А ш Ж(С"; Са), то ехр ам ..., ехрйа суть собственные значения оператора ехр А. Ь. Ое1(ехр А)=ехр (1г А), где 1г А — след оператора А ш Ж(Сь; С~). с Если А ~в Ж(Р"; Р"), то Ве1(ехр А) > О. б. Если А» — транспоннронанная по отношению к матрице А ~а Х(Сн; С") матрица, а А — матрица из комплексно сопряженных (по отношению к элементам А) элементов, то (ехр А)* =ехр А* н ехр А=ехр А. / — 1 01 .е. Матрица 1 ) не является матрицей вида ехрА, какова бы нн была квадратная матрица А второго порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
