В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Поскольку Е(х) 0=0, то мы показали, что при любом значении й имеет место равенство 1,(х)й=(.о(х)й. Если Š— открытое подмножество в Х, а (: Е- У вЂ” отображение, дифференцируемое в каждой точке х оп Е, т. е, дифференцируемое на Е, то в силу доказанной единственности дифференциала отображения в точке, на множестве Е возникает функция Е=эх 1'(х)екЖ(Х; У),обозначаемая)'. Е-~.2'(Х; У), которую называют производной от !' илн производным отображением по отношению к исходному отображению (: Е-о- У.
Значение 1' (х) этой функции в индивидуальной точке х еп Е есть линейное непрерывное отображение 1' (х) ея .'о (Х; У), являющееся дифференциалом или'производной функции 1 в данной конкретной точке х екЕ. Отметим, что ввиду высказанного в определении ! требования не п р е р ы в ност и линейного отображения Е (х) из равенства (1) следует, что отображение, дифференцируемое в точке, необходимо является непрерывным в этой точке. Обратное, конечно, неверно, что мы уже видели на примере числовых функций. Сделаем еще следующее важное 3 а м е ч а н и е. Если условие дифференцируемости отображения 1 в некоторой точке а записать в виде 1(х) — !(а) =Е(х)(х — а)+а(а; х), где а(а;:х) =о(х — а) при х-о-а, то становится ясно, что определение 1 на самом деле относится к отображениям ): А — В.любых аффинных пространств (А, Х), (В, У), линейные пространства Х и У которых нормированы.
Такие аффинные пространства, называемые аффинными нормированными пространств ии, встречаются часто, поэтому сделанное замечание полезно иметь в виду при использовании дифференциального исчисления. Все дальнейшее, если нет специальной оговорки, в равной степени относится как к линейным, так и к аффннным нормированным пространствам и лишь для упрощения записи мы используем символику векторных пространств.
2. Общие законы дифференцирования. Из определения 1 вытекают следующие общие свойства операции дифференцирования, В приводимых ниже формулировках Х, У, 2 — нормированные пространства, а П и У вЂ” открытые множества в Х и У соответственно. а. Линейность дифференцирования. Если отображения ~;. П-о У, ! = 1, 2, дифференцируемы в пючке хея0, то их линейная комбинация (34о+Щ): У-о-У ;также дифференцируема в точке х, причем ()„1,'+ Щ)' (х) = Х,Д (х)+ ) о)о (х). Таким образом, дифференциал линейной комбиниции отобра- жений есть соответствующая линейная комбинация дифференциалов этих отображений.
Ь. Дифференцирование композиции отображений. Если отображение )': (У -о- У дифференцируемо в точке х ен я У с Х, а отображение д: У-+Я дифференцируемо в точке 1(х)=у еп У с: У, пю композиция у ° 1 этих отображений диффе- ренцируема в йючке х, причем (у ° 1)' (х) = д' (1 (х)) ° 1' (х). Таким образом, дифференциал композиции равен композиции диффренциалов. с. Дифференцирование обратного отображения. Пусть 1: П -+ У вЂ” непрерывное в точке х вк (/ с Х отображение, имеющее обратное ~-'. У- Х, определенное в окрестности точки у=((х) и непрерывное в этой точке., Если отображение 1 дифференцируе ко в точке х и его касательное отображение 1'(х) епЖ(Х; У) в этой точке имеет непрерывное обратное [)'(х))-'ев,2'(У, Х), то отображение !"-' дифференци- руемо в точке у =1(х), причем !1-'~' (1 (х)) = 17' (х))-', Таким образом, дифференциал обратного отображения есть линейное отображение, обратное к дифференциалу исходного отображения в соответствующей точке.
Доказательства утверждений а, Ь, с мы опускаем, поскольку они аналогичны тем доказательствам, которые были даны в гл. Ч111, $ 3 для случая Х=Р", У=Р. 3. Некоторые примеры, Пример 1. Если(; У-о-У вЂ” постоянное отображение окрест- ности У=()(х) с Х точки х, т. е. 1((У)=Уоеп У, то 1'(х)= 0 ея.2'(Х; У). 4 Действительно, в этом случае, очевидно, ~ (х+ й) — ) (х) — Ой = уо — уо — 0 = 0 = о (й).' Пример 2. Если отображение(: Х- Уесть линейное непре- рывное отображение линейного нормированного пространства Х в линейное нормированное пространство У, то Г (х) 1 ек Х (Х; !') в любой точке хек Х.
4 Действительно, 1(х+ й) — 1 (х) — (п = )х+(п — (х — (п — — О. э Гл. Х, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ $ 3. дИФФЕРЕННИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ Заметим, что на самом-то деле здесь г'(х) ее,2'(ТХ Ту, ) и Ь вЂ” вектор касательного пространства ТХ„. Но в линейном пространстве определен перенос вектора в любую точку хе= Х, что позволяет нам отождествить касательное пространство ТХ„ с самим линейным пространством Х. (Аналогично в случае аффинного пространства (А, Х) пространство ТА„векторов, «приложенных» к точке а~ А, можно отождествить с векторным пространством Х данного аффинного пространства.) Следовательно, выбрав базис в Х, его можно разнести по всем касательным пространствам ТХ,.
Зто означает, что если, например, Х =Я-, У =Я" и отображение 1 ен.о (Р"; !!«") задается матрицей (а!), то в любой точке х ен 1«" касательное к неыу отображение 1' (х): Т)х',"-Р -~.ТЦ>„> также будет задаваться той же матрицей. В частности, для линейного отображения х ах=у изй в!« при х БЕК и Ь еи ТК, 1«получаем соответствующее отображение !' ТЯ„~.Ь ай ее ТЯ! >л!.
С учетом сделанных оговорок результат примера 2 можно условно сформулировать так: отображениег"! Х вЂ” У, производное от линейного отображения )' Х -» У линейных нормированных пространств, постоянно, причем в любой точке хан Х)" (х) =1. П р и и е р 3. Из правила дифференцирования композиции отображений и результата примера 2 можно заключить, что если Г: д.д-з.
У вЂ” отображение окрестности 0 =(>'(х) с Х точки х ев Х, дифференцируемое в х, а А ~.х (У; 2), то (А.1)'(х)=А ~'(х). Для числовых функций, когда У=«',=Я, зто не что иное, как знакомая возможность вынесения. постоянного множителя за знак дифференцирования. П р и м е р 4. Пусть снова У = У (х) — окрестность точки х нормированного пространства Х, и пусть ): У- У=У>х...хУ, — отображение 0 в прямое произведение нормированных про- странств Уь ..., Ул. Задание такого отображения равносильно заданию и отобра- жений гд: (>'-» 1'>, 1=1, ..., л, связанных с 1 соотношением х 1(х) = у = (уд, ..., у,) = ((д (х)...
„), (х)), справедливым в любой точке (). Если теперь в формуле (1) учесть, что ~(х+Ь) — ~(х) ~ Д(х+Ь) -)д (х), ..., 1„(х+Ь) — ~,(х)), Ь (х) Ь = (Ьд (х) Ь...,, !.„(х) Ь), а(х; Ь)=(и,(х; Ь), ..., ал(х; Ь)), го со ссылкой на результаты примеров б изЗ 1 и !О из З 2 можно заключить, что рассматриваемое отображение 1 дифференцируемо в точке х тогда и только тогда, когда днфференцируемы все его компоненты 1>: У вЂ” >.У„! =1, ..., п, причем в случае дифференцируемости отображения 1 имеет место равенство !" (х)= (1"! (х), ..., гл'(х)).
П р и ме р 5. Пусть теперь А ~,О (Хд, ...., Х„; У), т. е. А — непрерывный л-линейный оператор, действующий из произведения Х, х...х Хл линейных нормированных пространств Хд,..., Х„ в линейное нормированное пространство У. Докажем дифференцируемость отображения А: Хдх...хХ„= Х- У и найдем его дифференциал. Л Используя полилинейность А, находим, что А(х+Ь) — А(х)=А(х,+Ьь ...„хл+Ьл) — А(х„..., х,) = = А(хь ..., хл)+А (Ьь хд,;, х,)+...+А (хд, ..., х„ь Ь;)+ +А (Ьь Ьь х», . ° ° хл)+ ° ° +А (хд> хл-ь Ьл — д Ьл)+ + А (Ь„..., Ьл) — А (х,, ..., хл) Поскольку норма в Х = Х, х... х Х„удовлетворяет неравенствам !х;!х,~)х!»~ У., !х>!х,, ! =1 а норма )А! оператора А конечна и !А ($ь ..., $„)!((А~)!~~!....
!$„!, можно заключить, что А (х+ Ь) — А (х) = А (хд+ Ьь ..., хл + Ьл) — А (хь ..., х,) = А (Ьд, хь ..., хл)+...+А (хь ... > хл ь Ьл)+а(х; Ь), где и(х; Ь)=о(й) при Ь вЂ” >.О. Но оператор ~(х)И= А-(Ь>, хд, ..., х,)+...+А (хь ..., х, д, Ьл) есть линейный по Ь=(йь ..., Ьл) непрерывный (в силу непрерыв- ности А) оператор. Таким образом, установлено, что А' (х) й = А' (хь ..., хл) (Ьд, ..., Ь,) = = А (Ьь х«, ..., хл)+...+А (хь ..., хл ь Ь,) или, короче, д(А(хд> ",, хл)=А(д(хд, хь > хл)+" +А(х!» х -ь д(хл) В' Га.
Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 3 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ В чдстцо и, а) х„.... х„— произведение и-чнсловых переменных, то с((х, ... х„)=дх„х, ... х„+...+х, .....х„тс(х„; Ь) (х„хе) — скалярное произведение в Е', то Й(хм х,) =(дх„х,)+(хм дх,); с) [хн х,1 — векторное произведение в Е', то с([х„ха) = [с(хм ха)+[хм с(х,]; б) (хм х„ха) — смешанное произведение в Е', то с((хы х„ха) =(с(хм хеа х,)+(хн дхм ха)+(х„хм с(ха); 'е) бе1 (хы ..., х„) —, определитель матрицы, составленной из коордйнат и векторов хы,..., х„п-мерного линейного простран- ства Х с фиксированным в Х базисом, то д (бе1 (хы ..., х„)) = бе( (дхм х„..., х„)+... + Йе1 (хн ..., ха м с(х„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
