В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 11
Текст из файла (страница 11)
(1) Те о р е м а (принцип неподвижной точки Пикара *) — Ванаха вз)). л) Ш. Э. Пикар (!856 — 494!) — фрвнцузский математик, которому принядлежит ряд важных результатов в теории дифференциальных уравнений н теории знвлитнческих фуикинй. *") С. Бзизх (!892 — И45) †польск математик, один из создателей функцнонзльного анализа. Сжимающее отображение 1: Х-ьХ полного метрического пространства (Х; й) в себя имеет и притом единственную неподвижную точку а.
Более того, для любой точки хз ее Х итерационная последовательность хго х,=?(хз), ..., х„+,—— 1(х„), ... сходится к а. Скорость этой сходимости дается оценкой ,?л д(а, х„) = — й(хы хз). (2) 4 Возьмем произвольную точку х, ее Х и покажем, что последовательность хго х,=((х,), ..., х„,,=)(х„), ... фУндаментальна. Отображение 1 сжимающее, поэтому в силу (1) й(х„от, х„) (ой(х„, х„з) ~...(д'д(хы хз) и й(х„+ю х„) ~й(хсо хлы)+...+д(х„+~ ы х„+А) з ч» :(ч»+и»+т+...+с?л+А-з) й(хз, хз) ( — й(хы ха). Отсюда видно, что последовательность хз, хм ..., хсо ...
дей- ствительно фундаментальная. Пространство (Х; й) полное, поэтому указанная последователь- ность имеет предел 1пп х„=а ее Х. » со Из определения сжимающего отображения видно, что сжимаю- щее отображение всегда непрерывно, поэтому а = 1!пз х„„= 1(гп ) (х„) =.1('1)пт х„) =1(а). л со л со то о» Таким образом, а — неподвижная точка отображения 1. Другой неподвижной точки отображение 1 иметь не может, поскольку из а;=1(аз)„1=1, 2, с учетом (1) следует О~й(а,„а,)=й(? (ат), 1(аз)) ~дй(аы аз), что возможно только при й(а,, аз)=О, т. е.
при аз — — аз. Далее, из соотношения ч» й (х„,ю х„) ~ — й(х„ха), ,переходя к пределу при й-» ОО, находим, что ч» й(а, х„)~! й(хы хз). В.дополнение к этой теореме докажем следующее Утвер жде ни е (об устойчивости неподвижной точки). Пусть ,(Х; й) — полное метрическое пространство; (ьз; т) — топологическое , пространство, играющее в дальнейшем роль пространства параметров. ов У (Хо) = Уо, (3) « у(х)=уо+) И у(!))йу (5) Гл, )Х, НЕПРЕРЫВНЫВ ОтОВ)«ЛжВНИЯ 1ОВШЛЯ тВО)«ИЯ) Пусть каждому значению параметра ! е= Й отвечает сжимающее отображение 1й Х -~ Х пространства Х.
в себя, причем выполиены следующие условия: а) семейство (1ь ! ен Й) равномерно сжимающее, т. е. существует такое число ц, 0( д (1,что каждое отображение 1«являли)ся д-сжимающим; Ь) при каждом х еп Х отображение 1) (х): й:-о. Х как функция от ! непрерывно в' некоторой пючке 1о е= Й, т. е. !пп ~, (х) =1и(х). и ' Тогда реи)еиие а(!) ен Х уравнения Х=1) (х) в точке 1, непрерывно зависит от 1, т.
е, 1!ш а(1) =а(1о). )-и 4 Как было показано при доказательстве теоремы, решение а(!)- уравнения Х=1)(х) может быть получено как предел последовательности (х«„=1(х ), и=О, 1, ...), исходя из любой точки хоеп Х, Пусть х,=а(1о)=1и(а.(1,)). С учетом оценки (2) и условия а), получаем -й (а (1), а (1,)) = й (а (1), хо) 1 1 — й(хы хо)= — й(1)(а((о)) 1и(а((о))) Последний член в атом соотношении в силу условия Ь) стремится к нулю при 1-)-(,. Таким образом, доказано, что 1пп й(а(1), а(14)) ='О, т. е, 1!)па(1)=а(!о).
) и ) и Пример 1. В качестве важного примера применения принципа сжимающих отображений докажем, следуя Пикару, теорему существования решения дифференциального уравнения у' (х) = 1(х,' У'(х)), УдовлетвоРЯющесо начальномУ Условию У(хо) Уо. Если функция 1' еп С(Р; И) такова, что ! '1 (и, о,) — 1 (и, оо) ! ( М ! о, — оо ), где М вЂ” некоторая постоянная, то, каково бы ни было начальное условие существуют окрестность 41 (хо) точки хо ~ Я и,определенная в ней единственная функция у = у (х), которая удовлетворяет уравнению у'=)(х, у) ' (4) и начальному условию (3).
~ Уравнение (4) совместно'с условием (3) можно записать в виде одного соотношения 4 к ппинцип сжимлюших отоволжвиия Обозначая через А (у) правую часть последнего равенства, находим, что А: С(У (хо); Р)'«-С(У (х,); Р) есть отображение мно- жества определенных в окрестности У(х,) точки х, непрерывных функций в себя. Рассматривая С(У(х,); К) как метрическое про- странство с равномерной метрикой (см.
формулу (6) из з !), находим, что « й(Аум Ауо) гпах ~~ 1(1, у)(1))йу — ~ 1(1, уо(!))й! ~ «и )«(««) «в «, « ( шах ~ ~ М ! у, (1) —. у (1) ! й! ( М ~ х — хо ! й (ум у,), «яр(«6) ! *ю 1 Если считать, что !х — хо(( —,„, то на соответствующем от- резке 1 оказывается выполненным неравенство й (Аум Ауо) ~ ь й (Уп Уо) о 1 где й (уп уо) = п) ах ! у, (х) — уо (х) !.
Таким образом, мы имеем сжи.«пl мающее отображение А: С(1; К)-)-С(1; 1~) полного (см. пример 4 из 3 5) метрического пространства (С(1; 1,); й) в себя, которое по принципу сжимающих отображений должно, иметь и притом е)динственную неподвижную точку У=АУ. Но это означает, что найденная в С(1; Р) функция и будет той единст- венной функцией, которая определена в 1=э хо и удовлетворяет , уравнению (5). Пример 2. В качестве иллюстрации к сказанному будем :искать, исходя из принципа сжимающих отображений, решение уже знакомого нам уравнения у'=у при начальном условии (3).
В данном случае Ау Уо+~ У(!) й! «е и принцип применйм по крайней мере при !х — х,(~у<1, Исходя из начального-приближения у(х) = О, построим после- довательность О, у) А (0), ..., Уом(!)-= А (у„(!)), ... приближений: у. (!) у. в уо(!) =уо(1+(х — хо)) 1 у,(1) =У,~1+(х — хо)+ — (х — хо)о), 1 1 у«+)(!) — уо(1+(х — ло)+ з)(х — хо) + "+ (и хо) ) 48 й !. йяинцип сжимающих отонвлженип Гл. !Х, ИЕПРЕРЫН!!ЫЕ ОТОБРЛЖЕНИЯ !ОБЩЛЯ ТЕОРИЯ) нз которой уже видно, что у(с) у ел и Принцип неподвижной точки, сформулированный в приведен.
ной выше теореме, носит также название принципа сжимающих ' отображении. Он возник как обобщение рассмотренного в примере 1 доказательства Пикара теоремы существования решения дифференциального уравнения (4). В полной общности принцип сжимающих отображений был сфхрмулирован Банахом. П р и м е р 3. Метод Ньютона отыскания корня уравнения !(х) =О.
Пусть выпуклая с положительной производной на отрезке [сх, [1) вещественнозначная функция принимает на концах отрезка значения разных знаков. Тогда на этом отрезке она имеет и притом един. ственную точку а, в которой [(а) =О. Наряду с простейшим общим методом поиска точки а путем деления отрезка ! пополам существуют разные более тонкие и нх г л! ) — быстрые методы отыскания точки а, использу. ющие специфику функРнс. 68 ции [. Так, в нашем случае можно воспользоваться следующим методом, предложенным Ньютоном и называ. емым методом Ньютона или методом касательньи. Возьмем произвольную точку хе~[се, [)) и запишем уравнение у=[(ха)+ +)'(ха)(х — х,) касательной к графику нашей функции в точке (ха, ! (ха)).
Найдем точку хх=ца — [)'(ха))-! [(ха) пересечения касательной с осью абсцисс (рис. 68). Примем х, в качестве первого приближения корня а и повторим операцию, заменяя х, на хы Так мы получим последовательность хл+, —— хл — [?' (х,))-!. ? (х„) (6) точек, которые, как можно' проверить, в нашем случае будут монотонно стремиться к а. В частности, если ?(х)=ха — а, т. е. когда мы ищем у~а, где а> О, рекуррентное соотношение (6) имеет вид ха — а хл«! =.Хл —— йл~ что при А=2 преобразуется к знакомому выражению хл+, — — — (х„+ -)! Способ (6) образования последовательности (х„) называют методом Ньютона.
Если вместо последовательности (6) рассматривается последа. вательность, получаемая рекуррентным соотношением Хл+, —— Хл — [?' (Хз))-! . ! (хл), (?) то говорят о модифицированном методе Ньютона. Модификация состоит в том, что производная вычислена раз и навсегда в точке ха. Рассмотрим отображение х А (х) =х — [?' (ха)1-! [(х). (8) По теореме Лагранжа' ~ А(х,) — А(х,)[=! [1'(хз)) ' ['($)~ [х,— х,[, где $ — некоторая точка, лежащая между,х! и х,. Таким образом, если на некотором отрезке !' ~й выполнены условия А(?) с 3 (9) и [[?' (ха)1-'Г (х) [~ 6 ~1, ([о) то задаваемое соотношением (8) отображение А: ! — » 7 окажется сжимающим отображением этого отрезка.
Тогда по общему принципу оно имеет на отреЗке единственную неподвижную точку а. Но, квк видно из (8), условие А (а)=а равносильно соотношению [(а) =О. Значит, при выполнении условий (9) и (10), для любой функции 1 модифицированный метод Ньютона (?) на основании принципа сжимающих отображений приводит к искомому решению а .уравнения [(х) = О. Задача я унражненнн !. Покажите, что в прннннпе сжимающих отображений условие (!) нельзя заменять более слабым условием о'(1 [х!), ! (хз)) (о (хз, хз). 2.
а. Докажите, что если отображенне й Х -!. Х полного метрического пространства (Х; о) н себя таково, что некоторая его итерация рн Х-»Х является сжимающим отображением, то [ имеет н притом единственную непоквнжную точку. Ь. Проверьте, что рассмотренное в примере 2 отображение А: С(Л [2)-» -«С(Л [2) таково, что прн любом о!резке ! ~ [2 некоторая нтерапня Ал отображения А являегся сжимающим отображением. с. Получите нз Ь, что найденное в примере 2 локальное решение у=узел на самом деле являешься решением исходного уравнения на всей числовой прямой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
