В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 6
Текст из файла (страница 6)
а. Докажите подробно, что рассмотренное в примере 4 пространство ростков непрерывных функций «е хахсдорфово, 26 Ь. Объясните, почему зто топологнческое пространство не иегрнзуемо. с. Каков вес этого пространства?- 6. з. Сформулируйте аксиомы топологического пространства .на языке замкнутых множеств Ь. Проверьте, что повторное замыкание множества совпадает с его за. мыканием. с. Проверьте, что граница любого мнакества явлиется множеством замкнутым. в. покажите. что если р замкнуто, 'а О открыто в [х; т), то множество О~,У открыто в (Х; т), е. Если (г'; тг) — подпространство топологнческого пространства(Х; т„), з множество Е таково, что Е ~= г' <= Х н Езитх, то Еевт, 8. а.
Докажите, что в любом топологнческом пространстве им«шея всюду плотное множество, мощность кои)рого не превосходит веса пространства. Ь. Проверьте сепврзбельность метрических пространств С [а, Ь[, С'»' [л, Ь[, Я, [л, Ь), евгя [а, Ь) (формулы соотаетствукхцнх мегрнк см. н 4 1), с. Проверьте, что если на множестве ограниченных -вещественнозначных функций„определенных на отрезке [а, Ь), ввести метрику соотношением (6) нз 4 1, то получится ие сепарабельное метрическое пространство.
З 3. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 5 3. Компакты ') Тб понятие компакта, которое вводит определение 1, в топологии вногла нмеиукп бнкомпактом 1е Опредеаенне и общие свойства комнакта. Определение 1. Множество йГ в топологическом пространстве (Х; т) называется компактом (бикомпактом ')), если из любого покрытия»)ь множествами, открытыми в Х, можно выделить конечное покрытие вй'.
Пример !. Отрезок [а, Ь) множества Я действительных чисел, рассматриваемого в стандартной топологии, является ком. пактом, что 'немедленно вытекает из доказанной в гл. 11, 2 1, п;3 леммы о возможности выделить конечное пОкрытие из покрытия отрезка интервалами. И вообще т-мерный промежуток 1м* [х я Р"' [а'м~х м~Ь), 1 1, ..., т) в Р" является компактом, что было установлено в гл. У11, 5 [, п. 3. В гл. У11, 5 [, п. 3былодоказанотакже, что подмножеством™ является компактом в том и только в том случае, кбгда оно замкнуто н ограничено. В отличие от Относительных свойств множества быть открытым нли замкнутым в топологическом пространстве, свойство множества быть компактом абсолютно в том смысле, что не зависит от объемлющего пространства.
Точнее, имеет место следующее Утверждение !. Подмножество йь" топологичВкого пространства-(Х; т) являеп)ся компактом в Х тогда и только тогда, Когда йй' являеп)ся' компактом в себе как в топологическом пространстве с индрг[ироваляой ив (х; т) топологией. 4 СфОрмулированное утверждение следует из определения компакта и того Обстоятельства, что каждое множество 6()3;. яв Гл. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ !ОБЩАЯ ТЕОРИЯ! 9 К КОМПАКТЫ открытое в Ю, получается пересечением»ч" с некоторым множеством бх, открытым в Х. $ Таким образом, если (Х; тк) и (У; тг) — два топологических пространства, индуцирующих одинаковую топологию на множестве Ю ~(ХП 1'), то й" одновременно компактно или нет как в Х, так и в У.
Пример 2. Пусть й — стандартная метрика на Я, а = (х я Р ~ О ( х - 1) — единичный интервал в К. Метрическое пространство (1; й) замкнуто' (в себе) и ограничено, однако это не компакт, ибо, например, оно не является компактом в Я. Установим теперь важнейшие свойства компактов. Л е м м а 1 (о замкнутости компакта). Если Л' — компакт в хаусдорфовом пространстве (Х; т), то л» вЂ” за кнутов подмножество Х.
4 В силу критерия замкнутости множества достаточно проверить, что любая предельная для Ю точка кьенХ принадлежит Ю. Пусть х„гд Ю. Для каждой точки х ~ Ф' построим такую ее открытую окрестность 6(х), что х, Обладает окрестностью, не пересекающейся с 6(х). Совокупность 6(х), хге!»Р", всех таких окрестностей образует открытое покрытие»ч,", из которого выделяется конечное покрытие 6(х,), ..., 6(к„). Если теперь 01(кг) такая окрестность точки х„, что 6 (х!) П О! (хв) = ф, то множество 0(х) = П 01(хв) также является окрестностью точки хм причем 1=! 6(х!)1)0(кь)=ф при любом 1=1, ..., и.
Но это означает, что йГД 0(х„) = ф и х, не может быть предельной точкой для Ю. Лемма 2 (о вложенных компактах). Если 'й,"»:зЮ,:з... ...:з Ю„:з... — последовательность нгпустых вложенных колтон! »» тов, то пересечение П МГТ непуста. ! 1 4 В силу леммы 1 множества 61=_#_!'~Л'1, 1=1, ..., л, ... »» открыты в УГ!. Если пересечение П Ю! пусто, то последователь.
1 ность ОТсб,с...~б„с... в совокупности образует покпытие Ю!. Извлекая из него конечное покрытие, найдем, что неко. тарый элемент б„последовательности уже покрывает !л,"!. Но по условию йГ =Ю,~,б чь ф. Полученное противоречие завершает доказательство леммы 2. 1 Лемма 3 (о замкнутом подмножестве компакта).
Замкнупюв подмнозсгство .У' компакта Ю само является компактом. 4 Пусть (6; а ее »1() — открытое покрытие У . Добавив к нему открытое множество 6 = Ю'~ У, получим открытое покрытие всего компакта Ю. Из этого покрытия можно извлечь конечное покры- ,"итып йГ. Поскольку 6П У = ф, то, значит, из системы (6»й а~6) :,выделяется конечное покрытие множества У . 2. Метрические компакты. Далее мы установим некоторые свай- етний метрических компактов, т. е. метрических пространств, являю- ".»цихея компактами, как топологические пространства с топологией, АЯТидуцированной метрикой бпределение 2. Говорят, что множество Ес: Х является ййчмтью в метрическом пространстве (Х; й), если для любой точки )';кте-Х найдется точка е ЕБЕ такая, что й(г; х) (е.
'". -'Лемма 4 (о конечной е-сети). Если метрическое просяраи- ;,~яю (Ю; й) — компакт, то для любого а) О в нгм имеется конгч- "';й)ая е-сеть, ч Длй каждой точки кяЮ берем открытый шар В(х; е). п(4з открытого покрытия Ю этими шарами выделяем конечное ьпокрытне В(х!, 'Б), ..., В(х»й е). Точки х„..., х„, очевидно, образуют искомую е-сеть Ь »! ' 'Наряду с рассуждениями, в которых выделяют конечные по-: ,-»Крмтия, Б анализе часто встречаются рассуждения, в которых из '.произвольной последовательности извлекают сходящуюся подпо- :"юледовательность. Оказывается справедливо следующее Утверждение 2 (критерий метрического компакта). !т(гт- :::рйчгског пространство (Й"; й) является компактом в том и только йз том случае, когда из любой послгдовшпгльиости гго точек можно "извлечь подпослгдоватгльнасть, скодящуйТся к некоторой точке из»ч".
Сходимость последовательности (х„) к некоторой точке а~УГ, '.как и прежде, означает, что для любой окрестности (1(а) тачки ;:атяпУГ найдется номер й( ен (4 такой, что при' и)-й( будем иметь '-'Ж, У. (а). ":Ъ одробнее о пределе мы будем говорить ниже в й 6. »;»: Доказательству утверждения 2 предпошлем две леммы. Лемма 5. Если метрическое пространство (Ю; й) таково, чапа из лк!бой последовательности гго точек можно выделить ско- Зяи(уюся в»ч» подпослгдоватгльиость, яо для любого е О в Ю !Фмгется конечная е-сеть. .4 Если бы для некоторого ев)О в»ч" не было конечной „'Мь-.сети, то в Ю можно построить последовательность (х„) точек ((ак; что й(х„, х!))Бь при любом пя(4 и любом значении ! Ее ";'.И(1, ..., и — 1). Из этой последовательности, очевидно, нельзя у!ыделить сходящуюся подпоследовательность.
~ :: . Лемма 6.' Если метрическое пространство (Ю; й) таково, и!по из любой !юслгдоватвльности гго точек можно выдглшпь схо- .дяи(уюся в Л' подпослгдовап!гльность, то любая последовательность вложенных замкнуяык нгпустых подмножеств такого простран- йп)ва имеет игпустог лергсгчгииг. 1 Если )РТ:з... ~,У „~... — указанная последовательность замкнутых в Ачг множеств, то, взяв.в каждом из них по точке, 2З Гл.
!ж НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ !ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) получим последовательность хх, ..., х„, ..., Нз которои извлечем-. сходящуюся подпоследовательность (х„,). Ее предел а вне)Г по построению обязан принадлеакать каждому из замкнутых множеств р;, ! ~К. й Теперь докажем утверждение 2, 4 Сначала проверим, что если (уь; с() — компакт, а (х„] — последовательность его точек, то из нее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке Уь.
Если последовательность (х„) имеет всего конечное число различных значений, то утверждение очевидно, поэтому можем считать„что последовательность (хл) имеет бесконечно много различных значений: Для е,=1/1 строим конечную 1-сеть и.берем тот замкнутый шар В(аь, 1), который содержит бесконечное число, членов последовательности. По лемме 3 шар В(а,; 1) сам является компактом, в котором существует конечная е,= 1/2 сеть и ее шар В(а„1/2), содержащий бесконечно много элементов последовательности. Так возиикаег последовательность В(а), 1) =э В (а,; 1/2).=)... ... ~ В(а„; 1/н) ~... вложенных компактов, имеющих по лемме 2 общую точку а ~ Ю.
Выбирая в шаре В(ах, '1) точку х„, последовательности, затем в шаре В(а,; 1/2) точку х„, последовательности с номером лз~ и, и т'. д„ получим подпоследовательность (х, 1, которая по построению сходится к а. "О' Докажем теперь обратное утверждение, т. е. проверим, что если из любой последовательности (х„) точек метрического пространства (уь; с() можно выделить сходящуюся в йГ подпоследовательность, то (Ю; г() — компакт. В СаМОМ ДЕЛЕ, ЕСЛИ ИЗ НЕКОтарОГО ОтКрЫтОГО ПОКрЫтИя (бо; аегд) пространства (Ю; г() нельзя выделить конечное покрытие; то, построив в силу леммы 5 конечную е! -— 1-сеть в мь", найдем замкнутый шар В(а„1), коюрый тоже нельзя покрыть конечным набором множеств системы (бо; а е=й). Этот шар В(а„1) теперь можно считать исходным множеством и, построив в нем конечную 1/2-сеть, найти в нем шар В(а,'; 1/2)„ который не допускает конечного покрытия множествами системы (бо. .а.= 4().
Получаемая таким образом последовательность вложенных замкнутых множеств В (а), 1) ~ В(а,; 1/2) =э .. „=э В(а„; 1/н) =з... в силу лем1ч(я б имеет, н как видно из построения, только одну общуЮ точку а ец еа). Эта точка покрыта некоторым множеством б, нашей системы, и, цоскольку б, открыто, все множества В (а,; 1/н) при достаточно больших значениях н должны лежать в б,. Полученное противоречие завершает доказательство утверждения 2. й з к связные топологическне пространства Задачи н упражнення !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
