В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Взяв ' $„=7" (х„), и ~ 14, мы получаем последовательность (5,; и ~ 1Ч) точек пространства (5х,' т(), которая, как видно из (11), имеет . своим пределом именно з ее 5. Докажем теперь полноту пространства (5; д). Пусть (з„; пеег()— произвольная фундаментальная последовательность пространства (5; !(). Для каждого п ЕЕ К подберем элемент $„из (5х, д) так, что з((з„, $„)(!(п. Тогда последовательность ($„; и ее (т), так же как и последовательность (з„; и ее (ч) окажется фундаментальной. Но в таком случае будет фундаментальной в (Х; дх) и последо..Вательность (х„ =' 1-Т(Е„); и ее г().' Последовательность (х„; и ее г() определяет некоторый элемент з ее 5, к которому в силу (11) н ,сходится данная последовательность (з,; и ы (ч).

Замечан не 1. После доказанных утверждений 1 и 2 становится понятно, что пополнение метрического пространства- в. смысле определения 5' действительно является наименьшим полным пространством, содержащим (с точностью до изометрии) данное метрическое пространство. Этим мы 'уточнили и оправдали исходное определение 4. Замечание 2. Построение множества (т действительных ч(!- сел, исходя из множества 1(;) рациональных чисел, можно было бы провести в полном соответствии с проведенным выше в общем виде построением пополнения метрического пространства. Именно так переход от ч,"( к й был осуществлен Кантором. !а- Гл. !Х.

НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ьОБШЛЯ ТЕОРИЯ) т Е. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРЛЖЕНИЯ Замечание 3. В примере 6 мы показали, что пространство еЖ'(а, Ь] интегрируемых по Риману функций не является полным в есзрствеиной интегральной метрике. Его пополнением является важное пространство ю" 1а, Ь) функций, интегрируемых по Лебегу. Задачи и упражнении П а.

дока)ките следующую лемм у о вложе н ных шарах. Пусть . (Х; й) — метрическое пространство и В [хб с,) ~ ... => В (х„; г„) =>...— последовательность замкнутых вложгннык шаров в Х, радиусы которых стрвмнтсн к нулю. Пространспво (Х; й) полно тогда и- только тогда, когда дла любой такой последовательности существует и притом единственнал точка, принадлежащая всем шарам мной последовательности. Ь., Покажите, что если из условий сформулированной выше леммы исключить требование ло†0 при' и -ь со, то пересечение последовательности вло. женных шаров может оказатьса пустым даже в полном пространстве.

2. а. Множество Е <: Х метрического пространства [Х! й) называетса нигде не плотным в х, если -оно не плотно ии в одном шаре, т. е если для любого шара В [х; г) найдется другой шар В [хп с,) ~ В [х; с), свободный от точек мнржества Е. Множество Е называется множеством первой категории в Х, если его можно представить в виде счетного объединении нигде не плотных-множеств. Множество, не аалаюшееса множеством первой категории, называют мно. местном второй категории в Х. Покажите, что полисе метрическое пространство есть множество второй категории [в себе). Ь.

Покажите, что если функпнп Гш Скь' [а, Ь) такова, что !!схсн[а, б) Ь~ ея ш [ч Угп ) и [гы' [х) =О), то функции ! — многочлен. 5 6. Непрерывные отображения топологических пространств Этот и следующий параграфы содержат наиболее важные с 'точки зрения анализа результаты настоящей главы. Основные понятия и утверждения, которые здесь изложены, являются естественным, а иногда просто дословным переносом ,уже хорошо известных нам понятий и утверждений иа случай отображений произвольных топологических или метрических пространств.

Для многих фактов при этом оказываются почти идентичными с уже рассмотренными не только формулировки, ио и доказательства, которые в этих случаях, разумеется, опускаются со ссылкой на соответствуюшне утверждения, изложенные подробно ранее. .1. Предел- отображ ния. а. Основное определение и его частные случаи. Определение 1. Пусть ): Х-ь-У вЂ” отображение множества Х с фиксированной в Х базой то=(В) в топологическое пространство У. Говорят, что точка А ен У является пределом атабражепил г;, Х-ь У па базу Ю и пишут Ишу(х) =А, если для ,'азюбой окрестности У (А) точки Л в У существует элемент В ~ л[ :базы ш'!, образ которого прн отображении 1 содержится в У (Л).

В логической символике определение 1 имеет вид 1пп ~ (х) = А: = УУ (А) с: 1' ВВ ен Я (1 (В) ~ У (А)). ге [й ;.,: . Чаще всего нам будет встречаться случай, когда Х, как и ";У! — топологическое пространство, а то — база окрестностей или )(ргоколотых окрестностей некоторой точки а ~ Х. Сохраняя для ,:йвзы проколотых окрестностей (() (а)) точки а прежнее обозначе- 'Ме х-ъа, можно конкретизировать определение 1 для этой базы: 1пп у (х) = А: = )т У (А) с: У 3 О (а) ь=: Х () (()' (а)) ~ У (А)).

,т а с,' .Если (Х; йх) и (У; с[г) — метрические прбстранства, то послед. гй)ЕЕ ОПрЕдЕЛЕНИЕ- МОЖНО ПЕрЕфсриуЛИрОВатЬ ужЕ Иа ЯЗЫКЕ Б — 6: :ажп у (х) = А: = тг'Б ~ 0 х(б ) 0 ![Гх ж Х д! (О а. йх (а, х) (б ==у с[г (А, ) (х)) ( Б). Иными словами, 1цп р (х) = А с=э Игп 4 (А, 1(х)) = О. к о л в Мы видим, таким образом, что, имея понятие окрестности, ;:Можно определить понятие предела отображения 1: Х- У в то- -;»плогнческое или метрическое пространство У так же, как это 'яо сделано в случае У=й или, более общо, в случае У=Як.

Ь. О свойствах предела'отображения.' Сделаем некоторые замеё '' ' пия относительно общих свойств предела. '„:; Отметим прежде всего, что получавшаяся ранее сама собой ';ЯЕ»»ственность предела в случае, когда У не является хаусдор- 'фйым пространством, уже не имеет места. Если же У вЂ” хаус- 'фЦф()ово пространство, то единственность предела имеет место и -'.„='([)(улазательство ее ничем не отличается от уже проведенного в част- ьуй[[хл случаях У = 1с или У = (с"..

'тггт-':.''Далее,-если ~ Х- У вЂ” отображение в метрическое простран- 'яуйп, то можно говорить об ограниченности отображения (что (ййначает ограниченность множества )(Х) в У) и о финальной "Й)вйиичеппаспти отображения по базе,З' в Х (что означает суще- "увование элемента В базы л), на котором у ограничено). .'.'". Иэ самого определения предела отображения вытекает, что -л)йл» отображение ~: Х-ь У множества Х с базой то в метриче! :скве пространство у имеет предел по базе,9, то оно финально :'бграничено по этой базе. .': с. Вопросы существования предела отображения.

' 'Ут ве р жде н и е 1 (о пределе композиции отображений). 'ЛКстпь У вЂ” множество с базой тот, а йп У-ьЯ вЂ” апюбраясенис У : б.Папалагическас пРастРанстйа 2, имеюЩее пРедел па базе врвг. 41 Гл. ТХ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОВЩАЯ ТЕОРИЯ) Ь В. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Пусть Х вЂ” множество с базой Мх и Г": 'Х -«У — такое отображение Х в У, что для любого злемента Вг ен %„базы %Т суи(ествует влемент Вх ен,%х базы,%х, образ крторого содержится в Вх (п.

е, )(Вх) с=ВР Прй зтих условиях композиция д (: Х-«2 отображений )' и д определена, 'имеет предел 'по базе,%х и Вш д ) (х) = 1пп д (у). мх Я1 Доказательство см. в гл. Ш, й 2, теорема 5. Другим важным утверждением о существовании предела является критерий Коши, к которому мы теперь переходим. На сей раз речь будет идти уже об отображении г: Х вЂ” У в метрическое и даже в полное метрическое пространство.

В случае отображения (: Х-«У множества Х в метрическое пространство (У; й) естественно принять следующее Определение 2. Комбанием отображения Г: Х-«У на множестве Е с: Х называется величина а(г; Е)= гнр й(~(хт), г" (х,)). Ф«»,ав Имеет место Утверждение 2 (крнтерий Коши существования предела отобрвжения).

Пусть Х вЂ” множество с базой,%; Г: Х-» 1' — отображение Х в полное метрическое пространство (У; й). Для п1ого чтобы отображение Г имело предел по базе %, необходимо и достаточно, чтобы для любого е> 0 нашелся такой зле. мент В базы %, на котором колебание отображения меньше е Короче: =(1ппГ(х)<=э'чв>0'ЭВея %(ьт(Г; В) Се). Доказательство см. в гл. 1П, й 2, теорема 4. Полезно заметить, что полнота пространства У нужна только при переходе от правой части последнего соотношения к левой.

Характеристики

Список файлов книги