В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Взяв ' $„=7" (х„), и ~ 14, мы получаем последовательность (5,; и ~ 1Ч) точек пространства (5х,' т(), которая, как видно из (11), имеет . своим пределом именно з ее 5. Докажем теперь полноту пространства (5; д). Пусть (з„; пеег()— произвольная фундаментальная последовательность пространства (5; !(). Для каждого п ЕЕ К подберем элемент $„из (5х, д) так, что з((з„, $„)(!(п. Тогда последовательность ($„; и ее (т), так же как и последовательность (з„; и ее (ч) окажется фундаментальной. Но в таком случае будет фундаментальной в (Х; дх) и последо..Вательность (х„ =' 1-Т(Е„); и ее г().' Последовательность (х„; и ее г() определяет некоторый элемент з ее 5, к которому в силу (11) н ,сходится данная последовательность (з,; и ы (ч).
Замечан не 1. После доказанных утверждений 1 и 2 становится понятно, что пополнение метрического пространства- в. смысле определения 5' действительно является наименьшим полным пространством, содержащим (с точностью до изометрии) данное метрическое пространство. Этим мы 'уточнили и оправдали исходное определение 4. Замечание 2. Построение множества (т действительных ч(!- сел, исходя из множества 1(;) рациональных чисел, можно было бы провести в полном соответствии с проведенным выше в общем виде построением пополнения метрического пространства. Именно так переход от ч,"( к й был осуществлен Кантором. !а- Гл. !Х.
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ьОБШЛЯ ТЕОРИЯ) т Е. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРЛЖЕНИЯ Замечание 3. В примере 6 мы показали, что пространство еЖ'(а, Ь] интегрируемых по Риману функций не является полным в есзрствеиной интегральной метрике. Его пополнением является важное пространство ю" 1а, Ь) функций, интегрируемых по Лебегу. Задачи и упражнении П а.
дока)ките следующую лемм у о вложе н ных шарах. Пусть . (Х; й) — метрическое пространство и В [хб с,) ~ ... => В (х„; г„) =>...— последовательность замкнутых вложгннык шаров в Х, радиусы которых стрвмнтсн к нулю. Пространспво (Х; й) полно тогда и- только тогда, когда дла любой такой последовательности существует и притом единственнал точка, принадлежащая всем шарам мной последовательности. Ь., Покажите, что если из условий сформулированной выше леммы исключить требование ло†0 при' и -ь со, то пересечение последовательности вло. женных шаров может оказатьса пустым даже в полном пространстве.
2. а. Множество Е <: Х метрического пространства [Х! й) называетса нигде не плотным в х, если -оно не плотно ии в одном шаре, т. е если для любого шара В [х; г) найдется другой шар В [хп с,) ~ В [х; с), свободный от точек мнржества Е. Множество Е называется множеством первой категории в Х, если его можно представить в виде счетного объединении нигде не плотных-множеств. Множество, не аалаюшееса множеством первой категории, называют мно. местном второй категории в Х. Покажите, что полисе метрическое пространство есть множество второй категории [в себе). Ь.
Покажите, что если функпнп Гш Скь' [а, Ь) такова, что !!схсн[а, б) Ь~ ея ш [ч Угп ) и [гы' [х) =О), то функции ! — многочлен. 5 6. Непрерывные отображения топологических пространств Этот и следующий параграфы содержат наиболее важные с 'точки зрения анализа результаты настоящей главы. Основные понятия и утверждения, которые здесь изложены, являются естественным, а иногда просто дословным переносом ,уже хорошо известных нам понятий и утверждений иа случай отображений произвольных топологических или метрических пространств.
Для многих фактов при этом оказываются почти идентичными с уже рассмотренными не только формулировки, ио и доказательства, которые в этих случаях, разумеется, опускаются со ссылкой на соответствуюшне утверждения, изложенные подробно ранее. .1. Предел- отображ ния. а. Основное определение и его частные случаи. Определение 1. Пусть ): Х-ь-У вЂ” отображение множества Х с фиксированной в Х базой то=(В) в топологическое пространство У. Говорят, что точка А ен У является пределом атабражепил г;, Х-ь У па базу Ю и пишут Ишу(х) =А, если для ,'азюбой окрестности У (А) точки Л в У существует элемент В ~ л[ :базы ш'!, образ которого прн отображении 1 содержится в У (Л).
В логической символике определение 1 имеет вид 1пп ~ (х) = А: = УУ (А) с: 1' ВВ ен Я (1 (В) ~ У (А)). ге [й ;.,: . Чаще всего нам будет встречаться случай, когда Х, как и ";У! — топологическое пространство, а то — база окрестностей или )(ргоколотых окрестностей некоторой точки а ~ Х. Сохраняя для ,:йвзы проколотых окрестностей (() (а)) точки а прежнее обозначе- 'Ме х-ъа, можно конкретизировать определение 1 для этой базы: 1пп у (х) = А: = )т У (А) с: У 3 О (а) ь=: Х () (()' (а)) ~ У (А)).
,т а с,' .Если (Х; йх) и (У; с[г) — метрические прбстранства, то послед. гй)ЕЕ ОПрЕдЕЛЕНИЕ- МОЖНО ПЕрЕфсриуЛИрОВатЬ ужЕ Иа ЯЗЫКЕ Б — 6: :ажп у (х) = А: = тг'Б ~ 0 х(б ) 0 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
