В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Пример 2. Если (Х; й) — метрическое пространство, а (Х; т)— соответствующее ему топологическое пространство, то совокупность 3 (В(а; г)) всех шаров, где аенХ и г)0, очевидно, является базой топологии т. Более того, если брать систему 3' всех шаров с положительными рациональными радиусами г, то эта система также будет базой топологии т.
Итак, топологию т можно задать, опиеав лишь базу втой топологии. Как видно из примера .2, топологнческое пространство может иметь' много различных баз топологии. Определение 4. Минимальная мощность баз топологичгского пространства называется его весом. .Мы будем, как, правило, иметь дело с топологическими пространствами, допускающими счетную базу топологии (см., однако, задачи 4 и 6). Пример 3. 'Если в 14а взять систему 3" шаров всевозможных т рациональных радиусов г. — > 0 с центрами во всевозможных ра- Л циональных 'точках 1 —...,, — 1ен(са, то мы, очевидно; получим счетную базу стандартной топологии пространства 1са. Нетрудно проверить, что конечной системой открытых множеств стандартную топологию в (ча задать невозможно.
Таким образом, стандартное топологическое пространство 1са имеет счетный вес. О и р ед е хе н и е 5. Окрестностью точки топологического пространства (Х; т) называетоя открытое множество, содержащее эту точку. Ясно, что если на Х задана топология т, то для каждой точки определена система ее окрестностей. Ясно также, что система всех окрестностей всевозможных точек топологнческого пространства может служить базой топологии этого' пространства.
Таким образом, топологию в.Х можно ввести, описав окрестности точек множества Х.' Именно эта форма зада-, ния топологии в Х и была начальной в определении топологического пространства '). Заметьте, что, например, в метрическом ') Понятия метрического н топологнческого пространства были сформулнрораны в явном виде в начале нашего столетня. В 1996 г.
французский мате. матнк М, Р. Фреше (1878 — 1973) ввел понятна метрического пространства, а в 19Ы г. немецкий математик Ф. Хауслорф (!868 — 1942) опрслалнл тополо. гнческоа пространство зз Гл,!Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 1ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) пространстве саму топологию мы ввели по существу, указав лишь, что такое 6-окрестность точки.
Приведем еще При ме р ' 4. Рассмотрим множество С(К Я) вещественнозначных непрерывных функций, определенных на всей числовой прямой, и на его.основе построим новое множество — множество ростков непрерывных функций. Две функции 1, д ~ С®; !к) будем считать эквивалентными в точке а Бей, если найдется такая .окрестность (7(а) этой точки, что Чх ее(7(а) () (х) =у(х)). Введенное отношение действительно является отношением эквивалентности (оно рефлексивно, симметрично и транзитивно). Класс эквивалентных между собой в точке а ~ К непрерывных функций назовем ростком непрерывных функций в этой точке. Если Одна из функций! порождающих росток в точке а, то сам росток будем обозначать символом 7,. Определим теперь окрестность ростка, Пусть (7 (а) — окрестность точки а в П, 7 — определенная в У(а) функд х ция, порождающая росток ~„в точке а.
Эта же функция в любой У точке х Ее (7 (а) порождает свой росток '/„. Множество (1„) ростков, Рис. 66. отвечающих точкам х ее (7 (а), на- зовем окрестностью ростка ),. Приняв множество таких окрестностей всевозможных ростков за базу топологии, мы пргвратим множество ростков непрерывных функций в топологнческое пространство. Полезно заметить, что в полученном топологическом пространстве две различные точки (ростки) 1„ у, могут не иметь непересекающихся окрестностей (рис. 66). Определение 6. Топологическое пространство называется хаусдорфогым, если в нем выполнена аксиома Хаусдорфа любые две различные точки пространства обладают непересекающимися окрестностями.
П р и и е р 6. Любое метрическое пространство, очевидно, является хаусдорфовым, поскольку для любых двух точек а, Ь ее Х 1 таких, что й(а, Ь))0, их шаровые окрестности В(а; — й(а, Ь)), В (Ь; — й(а, Ь)) не имеют общих точек. 1 Вместе с тем, как показывает пример 4, бывают и не хаусдорфовы топологические пространства. Мы будем работать исключительно с хаусдорфовыми пространствами. Оп ределен ие 7. Множество Е ~ Х называется всюду плотным в топологпческом пространстве (Х; т), если для любой точки х ~ Х и любой ее окрестности (7(х) пересечение Е(1 У(х) непусто. $ а топологическое пРОстРАнство .Пример 6. Если в й рассмотреть стандартную топологию, - го множество $ рациональных чисел является всюду плотным в Я. .диалогично множество $" рациональных точек 1с" всюду плотно -"'Н-6 .
Можно показать, что в каждом топологическом пространстве имеется всюду плотное множество', мощность которого не пре- :восходит веса этого топологического пространства. ' . Определение 8. Метрическое пространство, обладающее сяетным всюду плотным г(ножеством, называется сепарабельным пространством, Пример 7. Метрическое пространство (Р"; й) в любой из стандартных метрик является сепарабельным пространством, по- ' скольку множество Я' всюду плотно в нем. ' Пример 8.
Метрическое пространство (С(10, 11; Р); й) смет- 'рикой, определенной соотношением (6), также сепарабельно, ибо, язк следует из равномерной непрерывности функций7ЕНС(10, 1]; )с). ''график, любой такой функции сколь угодно точно можно аппрокси- мировать конечнозвенной ломаной, вершины которой имеют рацио-' нальные координаты. Множество таких ломаных счетно.
Мы будем иметь дело главным образом с сепарабельными пространствами. Отметим теперь, что поскольку определение окрестности точки .и топологическбм пространстве дословно совпадает с определением ,окрестности точки в метрическом пространстве, то, естественно, рассмотренные в З 1 понятия внутренней, внешней, граничной„ предельной точКи множества и понятия замыкания множества, .Использующие только понятие окрестности, без изменения пере- Носятся на случай произвольного топологического пространства. Кроме того (как видно из проведенного в гл. П1, З ! дока- зательства утверждения 2), справедливо также утверждение о том, что множество,в топологическом пространстве замкнуто в том и только в том случае, когда оно содержит все свои предельные точки.
2. Подпространство топологического пространства. Пусть (Х;, тх) — топологическое пространство, а 1' — подмножество в Х. Топология тх позволяет определить следующую топологию тг в У, Называемую индуцироганной или отнасшпгльной топологией в У~ Х. .Открытым в У назовем любое множество б„вида бг-УД бх, где бх — множество, открытое в Х. Нетрудно проверить, что возникающая система тг подмножеств У удовлетворяет аксиомам открытых множеств топологи.ческого пространства.
Определение открытых в 1' множеств бг, как видно, согласуется с тем, которое мы получили в п, 3 предыдущего параграфа в случае, когда У было подпространством метрического пространства Х. 24 . Гл. )Х, НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ !ОВЩАЯ ТЕОРИЯ) Определение 9. Подмножество г'с=Х топологического пространства (Х; т) с индуцированной в )г топологией тг называется подпростринством топологического пространспша (Х; т).
Ясно, что множество, открытое в ()'; тг), уже не обязано быть оп!рытым в (Х; тх). 3;. Прямое произведение топологическнх пространств. Если (Х)1 т)) и (Х,; тз)-два топологических пРостРанствас системами т) —— [6)), т,=(6») открытых множеств, то в Х,х Хз можно ввести- топологию, считая ее базой всевозможные множества вида 6,х6,.
Определение 10. Топологическое пространство (Х,хХ,; т) Хта), баЗУ ТОПОЛОГИИ КОТОРОГО СОСтаВЛЯЮт МНОжЕСтВа ВИДа 6,х6„где 6) — открытое множество в топологическом пространстве (Х)1 т)), 1=1, 2, называется прямым произведением топологических пространств (Х,; т,), (Хз! г,). Пример 9. Если [с=м) и [«з рассматривать со стандартной топологией, то, как видно, Р является прямым произяедением РхР, ибо всякое открытое множество в [сз можно получить, например, как .объединение «квадратных» окрестностей всех его точек.
Квадраты же (со сторонами, параллельными координатным, осям) являются прямым произведением интервалов — открытых в [ч множеств. Следует обратить внимание на то, что множества вида 6,х6„ где 6) еи тг и 6, ен т,, образуют лишь базу топологии, а не все открытые множества прямого произведения топологических пространств. Задачи и упражнении 1. Проверьте, что если [Х; В) -метрическое пространство, то.'[Х; — ~— ' 1+0) в тоже метрическое пространство, причем метрики о' н — нидуцнруют на Х !+в одну н ту же топологию.
(См. также задачу 1 нз предыдущего параграфа.) 2. а. В множестве Ь[ натуральных чисел окрестностью числа п)я ?[, назо- вем арифметическую прогрессюо с разностью Л. взаимно простой с л. являешься ли возникающее при этом топологическое пространство хаусдорфовым? Ь. Канова топология Ы как подмножества [? действительных чисел, взятых со стандартной топологией? с.
Опишите все открытые подмножества [«. 3. Если на одном и том же множестве заданы две топологии т, н тз, то говорят, что топология т, сильнее топологии т,, если т» ш гз, т. е. в т„кроме открытых множеств, составляющих,систему тм содержатся еще некоторые мно жества, не вошедшие в ть а. Соавннмы лн две топологии на Ь[, рассмотренные в предыдущей задаче? Ь. Если на множестве С [б, Ц, непрерывных веществениозначных функций, определенных на отрезке [О, Ц, ввести метрику сначала соотношением (6) нз 4 1, а затем соотношением (7) нз того же параграфа, то на' С [л, Ь) возник. нут, вообще говоря, две топологии. Сравнимы лн онн? 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
