В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 82
Текст из файла (страница 82)
достаточных условий равномерной сходнмости ряда несколько более специальны и существенно связаны с вещественнозначностью определенных компонент рассматриваемых рядов. Но эти условия тоньше, чем признак Вейерштрасса, поскольку онн позволяют исследовать и такие ряды, которые сходятся, но неабсолютно. Определение 5. Говорят, что семейство.у функций 1: Х-~-3 равномерно ограничено на некотором множестве Е ~ Х, если существует такое число М ен(с, что для любой функции ? ен,У справедливо соотношение зцр ~ ?(х) ~ «М.
выг Определение 6. Последовательность функций (Ь„: Х- (с, п ен (!() называется неубывающей (невозрастоющей) на множестве — и— *) В исключвтельяеи случае, когда !ив у (с„! пп, считается, что Н О, и ю и круг й вырождается в едииствеииую точку гв. Е с: Х, если для любого х ~ Е таковой является числовая последовательность (Ь„(х), и ен (ч(): Неубывающие и невозрастающие на множестве последовательности функций называются монотонными последовательностями на этом множестве.
Напомним (в случае необходимости см. гл. Ч1, $ 2, и. 3) следующее тождество, называемое преобразованием Абеля: »$ ы — ! ,), а,Ь, = А Ь вЂ” А„,Ь„+ г,* А, (Ь, — Ь,+,),, (4) где а» = А» — А,, й = и, ..., т, Если Ь„, Ь„м, ..., Ь вЂ” монотонная последовательность вещественных чисел, то, даже если а„, а„„, ..., а комплексные числа или векторы какого-то нормированного пространства, на основании тождества (4) можно получить следующую нужную нам оценку: ! У, 'а»Ь, ~4 шах 1А»( птах ДЬ„(,!,Ь Ц. .-1~»« 4 В самом деле, !ж — ! !А Ь !-(-( А„!Ь„~+~ ~" А»(Ь» — Ь»+1) вг — ! ) А , ) (~ ! ! 1- ! Ь„ ) Ч- л ! ! — ! , 1) — ! «» «вг »= и !пах ! А» ~" (~ Ь !+ ~ Ь„1+ ~ ܄— Ь„, !) ~ и — гя,:»~!и ~4 шах ~А»~ !пах(!Ь„~, !Ь !).
и — !«»«„ В участвующем в этой выкладке равенстве как раз и использована монотонность последовательности чисел Ь,. Утверждение 3 (признак Абеля — Дирихле равномерной сходимости ряда). Для равномерной сходимости на множестве Е ряда г а„(х) Ь„(х), члены которого являются произведениями и=! комплексмозначмых функций а„: Х -1 1! ' и вещественнозмачмых функций Ь;! Х-+. й достаточно, чтобы выполнялась любая пара следующих условий". аг) частичные суммыз»(х)= ~Ч~ а„(х) ряда 'Я а„(х) равномерно и=! и=! ограничены ма Е; рт) последовательность функций Ь„(х) монотонна и равномерно стремится к нулю на множестве Е; или а») ряд г а„(х) равномерно сходится на Е, п ! Гл.
ХЧ!. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ $ В РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЪ РЯДОВ ФУНКЦИЙ Зт! !)») последовательность функций Ьл(х) монотонна и раеномерно аераничена на Е. 4 Монотонность последовательности Ьл(х) позволяет при каждом х~Е записать аналогичную (5) оценку ! ~ а»(х)Ь„(х) =.4 тах !А»(х)! ° !пах()Ьл(х)), !Ь (х)(), (5') »=л л †!<»<л! Поскольку Е!лк ~ (7) то при !х —.0 для ряда (6) не выполнено необходимое условие сходимости и он расходится при любом значении х~ К. Таким образом, в дальнейшем можно считать, что е»)0.
Если а) 1, то из (7) на основании признака Вейерштрасса заключаем, что ряд (6) сходится абсолютно и равномерно на всей числовой оси (и. где в качестве А»(х) возьмем з»(х) — зл »(х). Если выполнена пара условий со!), р,), то, с одной стороны, существует такая постоянная М, что ! А» (х) ~ < М при любом йеп!"о и любом хяЕ, а с другой стороны, каково бы ни было число е)0 при всех достаточно больших значенИях и и т и любом х ВНЕ будет выполнено неравенство тах (~ Ьл(х) !, Ь (х) !) ( (4 .
Значит, из (5) следует, что при всех достаточно больших значениях и и т и любом х~Е будет )" „а»(х) Ь»(х) (е, т. е. для рассматриваемого ряда выполнен критерий Коши равномерной сходимости. В случае пары условий а,), ро) ограниченной оказывается величина тах (!Ьл(х), (Ь (х) ,'). В то же время в виду равномерной сходимости ряда )~ ал(х), по критерию Коши для любого л=! в)0 при любых достаточно больших значениях и и й)и в любой точке хопЕ будет (А»(х))=(е»(х) — ел,(х))<е. Учитывая это, из неравенства (5) вновь заключаем, что для рассматриваемого ряда выполнен критерий Коши равномерной сходимости.
Замечание 4. В случае, когда функции ал и Ьл постоянные, утверждение 3 превращается в так называемый признак Абеля— Дирихле сходимости числовых рядов. Пример 7. Исследуем при х ~ 1~ сходимость ряда ~! — „е!л (6) л=! л+! л+! о!и х 2 Р л »=о х ВП— 2 е 'о л+! х л Мп х 2 ! л . л е ' = „!Соз — +!з!и — х). (8) 2 2 »3п— 2 п+! Б!П— 2 х мп— 2 Значит, для любого и ~ Ь!) откуда по признаку Абеля — Дирихле вытекает, что ряд (6) при 0<а<1 сходится равномерно на любом множестве ЕсЙ на котором !п! ~з!и--~)0.
В частности, ряд (б) просто сходится кяе при любом хФ2ит, тенУ,. Если же х=2ит, то е'л'"'"=1 и %~ ! ряд (6) превращается в числовой ряд х — „, который при 0( л=! (м(1 расходится. Покажем, что из сказанного уже можно заключить, что при 0(с»(! ряд (6) не может сходиться равномерно ни на каком множестве Е, замыкание которого содержит точки вида 2ит, т ~ У,. Положим для определенности, что 0 яЕ. Ряд ~~ — „при 0< л=! (сс(! расходится. По критерию Коши найдется число е,'- 0 Для исследования сходимости при 0 (а 1 воспользуемся ! признаком Абеля — Дирихле, полагая а„(х) =е' и Ьл(х) = — „.
Поскольку при !В) 0 постоянные функции Ьл (х) монотонно и, очевидно, равномерно относительно х ен (к стремятся к нулю, то остается исследовать частичные суммы ряда ~„, е!и". л=! Для удобства дальнейших ссь!лок мы рассмотрим суммы ~, 'е!»к, отличающиеся от частичных сумм нашего ряда только »=о начальным слагаемым 1. Используя формулу геометрической прогрессии и формулу Эйлера, последовательно находим при хФ2пт, т ~У„ 372 % З.
СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ Гл. ХУ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ такое, что, какое бы А! ее)ч ни взять, можно будет подобрать 1 1 числа т)п) А( так, что („— „+ ... + — „() Ео)0. В силу непрерывности функций е'»" на )с отсюда следует, что в Е можно выбрать точку х, столь близкую к нулю, что !'— „„+...
+ — „!) Ео. Но это в силу критерия Коши равномерной сходимости ряда означает, что на указанном множестве Е ряд (6) не может сходиться равномерно. В дополнение к сказанному можно отметить, чго, как видно из равенства (7), ряд (6) сходится неабсолютно при 0 (сс':- 1, 3 а м е ч а н и е 5. Для дальнейшего полезно заметить, что, отделяя в (8) действительную и мнимую части, получаем следующие соотношения: л л . л+1 соз — х яп — х 2 2 сох йх пп— »=о 2 (10) л л . л+1 3!и — х а!и — х 2 л з(п йх х »1п— 2 справедливые при хчь2пт, т ее У,.
В качестве еще одного примера использования признака Абеля — Дирихле докажем следующее Утверждение 4 (так называемая вторая теорема Абеля чз степенных рядах). Если степенной ряд ~~', сл(г — г,) сходится »=о в некоторой точке Ь ее !Р, то он сходится равномерно на отрезке с концами г„ь.
4 Точки указанного отрезка представим в виде гл» го+(ь — гз)1, где 0(1 =. 1, Подставив это выражение для г в данный степенной РЯд, полУчим РЯд ~я~ сл(Ь вЂ” г,)л!". По Условию числовой РЯд л=о ~ с„(ь — г,)" сходится, а последовательность функций !л моно» о тонна и равномерно ограничена единицей на отрезке [О, 11. Значит, выполнены условия аз), йз) признака Абеля — Дирихле и утверждение 4 доказано.-) Задачи и упражиенна ( 1)л хл при О~х~!. л а. л =.! ь.
и »=1 с. ~~) — е лх при О х (+со, ( !)л л прн О ( х (+ со. ( 1)» (л+ х) л=! 3. Покажите, что если рлд Дирихле ~г — сходится в точке х»»п гс, то л лх л 1 он сходится равномерно на множестве х=-хз, причем, если х) х,+1, то ряд сходится абсолютно.
( — 1)л тхз 4. Проверьте, что ряд у з „ сходится равномерно на (;!, а рад (1+ ха)л Х +')л хз хотя и сходится на П но неравномерно. (1+ха)л л ! 3. а. На.примере рядов из задачи 2 покажите, что признак Вейерп!Трасса равномерной сходимости ряда является достаточным, но не необходимым условием равномерной сходимости ряда. Ь. Постройте ряд ~.лл(х) с неотрипательиыми непрерывными на отрезке л =.1 О»сх(! членами, который сходится равномерно на атом отрезке, и в то же время ряд ~ М„, составленный из величин Мл= щзх !пл(х)(, расходится.
л=! О<а<! $ 3. Функциональные свойства предельной функции 1. Конкретизация задачи. В этом параграфе будут даны ответы на поставленные в 2 1 вопросы о том, когда предел семейства непрерывных, дифференцнруемых или интегрируемых функ- 1. Исследуйте характер сходимостн на множествах Е ~ П прн различных ющачениях действительного параметра и следующих рядов. л=1 л=1 2. докажите, что следу!ощие ряды сходятся равномерно на указанных множествах: г .
хуг. Вялы и семеиствА Ф~нкции $ Х СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЪНОЙ ФУНКЦИИ ций является функцией, обладающей тем же свойством, и когда предел производных или интегралов от функций семейства совпадает с производной или интегралом от предельной функции этого семейства. Чтобы разъяснить математическое содержание обсуждаемых вопросов, рассмотрим, например, связь непрерывности и предельного перехода. Пусть Г„(х)-+.Г(х) на Я при и -л Оо, и пусть все функции последовательности (г„, и ен 14) непрерывны в точке х, я (к.
Мы интересуемся непрерывностью предельной функции Г в той же точке х,. Для ответа на этот вопрос нам нужно проверить равенство 11ш )(х) = г(хв), которое в терминах исходной последовах к, тельности переписывается в виде соотношения !Нп /11гп 7„(х)) = х к~к = !цп г„(х,) или, с учетом данной нам непрерывности функций г„ л со в точке х„записывается в форме следующего подлежащего проверке соотношения: 1цп (1!ш ~„(х)~ = !цп ~1!гп ~„(х)). к «,~л сл С л слгк хх В левой части этого соотношения сначала делается предельный переход по базе п-лоо, а затем предельный переход по базе х-с-хю а в правой части предельные переходы по тем же базам проводятся в другом порядке.
Изучая функции нескольких переменных, мы видели, что равенство (1) имеет место далеко не всегда. Видели мы это и на разобранных в предыдущих двух параграфах примерах, показывающих, что предел последовательности непрерывных функций не всегда является функцией непрерывной. Дифференцирование и интегрирование являются некоторыми специальными операциями предельного перехода. Значит, вопрос о том, получим ли мы одно и то же, если сначала продифференцируем (проинтегрируем) функции семейства, а затем перейдем к пределу по параметру семейства или сначала найдем предельную функцию семейства, а затем будем ее дифференцировать (интегрировать), снова сводится к проверке возможности изменения порядка двух предельных переходов.
2. Условия коммутирования двух предельных переходов. Теорема 1. Пусть (Р„! ЕнТ) — семейство функций Р;. Х вЂ” ~-С, зависящих от параметра 1; лах — база в Х, Яг — база в Т. Если при базе Я„семейство сходиспся равномерно на Х к функции Р: Х-х-С, а при каждом 1ЕНТ существует предел 1!ш(с(х)=А„ ЮХ спо существуют оба повспорньсх предела Иш г'1 !ш Рс (х) 1, 11гп (!! гп Р, (х)) лсх 'гмг / мг г,ксх и имеет место равенство 1цпД!гп Рс (х)1 =! Нп с'11гп Р, (х)). (2) "х (схт с' хсг 'Глси Эту теорему удобно записать в виде следующей диаграммы: /;гхс ~ лгх.г лх ~к((: з(лк ,4 А л лк в которой над диагональю указаны условия, а под диагональю их следствия. Равенство (2) означает, что эта диаграмма коммутативна, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
