В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 86
Текст из файла (страница 86)
891 г . хть Ряды и семеиствл Функции с. Применительно к интегралу Римана можно сформулировать еще следующий вариант теоремы Лебсгз о монотонной сходпмости. Если лсслгдоваличьность (!„, л ои ЬЦ функций /и а итх [а, Ь[ сходитгл х нУлга монотонно, т. е, 0 :.=!„1кП/л и !„(х)-«О лри л-о.со длл любого ь хоп [а, Ь[, то (й) 1/„(х йх-«0. а Докажите зто утверждение, используя прз пеобходимостп следующее полезное нзбл1одоние. 1 Ш Пусть !оп 22[0, Ц,:/! ПМ в ~/(х) 'х)а)0.
Тогда множество Е=(хш [О, Ц1/(х) ~а/21 содержит конечное число таких интервалов, сум- ма ! длин которых пе меньше, чем а/(4А() Докажите зто, используя, например, интервалы такого разбиения Р отрезка [О, Ц, которому отвечает нижняя сумма Дзрбу о(!, Р), удозлетзорпю- 1 щзя соопюшенпю Ооц~/(х) йх — з(/, Р! ца/4 10. з. Покажите па примерах из у1, что не всегда аз сходящейся иа отрезке последовательности функций можно извлечь подпоследовзтельность, которая сходилась бы равномерно на атом отрезке. Ь.
Гораздо труднее пепосредстзенпо проверить, что из последовательности' (/ки л ои Р[) фУнкций !„ (х) = Уп лх пельза извлечь подпоследоззтельпостьь которая сходилась бы з любой точке отрезка [О, 2л[. Докажите, что зто, однако, именно так (пспользуйтс результат задачи 9Ь и то обстоятельство, тл что ~ (Мпльх — йпль+,х)ойх~ 2птьО прп ль<льод. с. Пусть (/„, лш [4) — равпомерно ограпп шпиля последовательность функ- ций /„ш атг [а, Ь[ Пусть Р„(х) $ /„,(О йг (а ми а„Ь). о Г!окажите, что пз последовательности (Роь л ои РЦ можно иззлечь подло. следозательпость, равномерно сходящуюся нз отрезке [а, Ь[. 11, а Покажите, что если /, /л ш ихг([а, Ь1, Р) и !л- ! нз [а, Ь! при .л- со, то длз любого числа е) О найдется такой помер Н ои р[, что при любом л) /У будет выполнено соотношение ь ) (/-/и) (х) йх <е(Ь-а).
о з. Пусть /л он С'1' йа, Ь[, Й), л шЬГ. Используя формулу /„(х) !„(хо)-[- + ) /„' (О Ж докажите, что если /,', ор нз отрезке [а, Ь[ и существует точка к, хо ой [а, Ь[, длз которой последовательность (/„(хо) л ьх ЬГ) сходится, то последовательность (/ки л ш Ь[) функций /„ сходится равномерно нз [а, Ь[ к некоторой Ьуикции /шС'1'([а, Ь[, [2), причем /' ~«/' ор. 4[4 $4, Компактные и плотные подмножества пространства непрерывных функций Этот параграф посвящен более специальным вопросам, относящнмсп, однако. к вездесущему дли анализа пространству непрерывных функций. Все зти вопросы, как впрочем, и сама метрика 4 о пРОстРАнстВО непРеРывных Функций пространства непрерывных функций, тесно связаны с понятием равномерной сходимости ь).
1. Теорема Арцела — Асколи "*). Определение 1. Семейство В функций /: Х- г', определенных на множестве Х и принимающих значения в метрическом пространстве 1', называется равномерно ограниченным нп множе-дпвв Х, если множество [г= (у ен [к',3/~ В Зх ~ Х (у=/(х))) значений функций семейства ограничено в г'. Для числовых функций или для функций !: Х- (,'л это по'просту означает существование такой константы М ~Я, что для любого х ее Х и любой функции /ее В будет ~/(х)[~М. Определение 2. Пусть Х и )к — метрические пространства. Семейство Р функций /: Х вЂ” «т' называется равнсствлгнно непрерывным на множестве Х, если для любого е) 0 существует 6) О такое, что при х„х, ее Х соотношение дх (х„х,) ( 6 влечет кт(г(!(хо) /(хт)) Се какова бы ни была функция / семейства Пр имс р 1.
Семейство функций (х", и ~1[) не ивляетси рав'-Ностепенно непрерывным на отрезке [О, 11, но оно равностепенно непрерывно на любом отрезке вида [О, й[, где 0(о/ -1. Пример 2. Семейство функций (з[ппх, лен[1[) не равность пенно непрерывно ни на каком невырожденном отрезке [а, Ь) ~ [К.
Пример 3. Если семейство (/„: [а, Ь[-«Я, а ен А).ди$ферен.цируемых фуннций /„ таково, что семейство [/', а ~А) их произ'водных /„' равномерно ограничено постоянной, то, как следует из формулы конечных приращений, [/„(хз) — ! [хо)[ = М ~хз — х,[, и, ,"зпачит, исходное семейство равностепенно непрерывно на отрезке 1[а, Ь[. Связь введенных понятий с равномерной сходимостью непрерывных функций демонстрирует уже следующая ,: ' Л е м м а 1. Пусть оа" и 1' — метрические пространства, причем 'мь" — компакт. Для того чтобы последовательность (/„, и ее 6[) ,непрерывных функций /„: Ю-«1' сходилась на компакте Ю равно')!арно, необходимо, цтобы семейспыо (/„, и ~!4) было равномерно :ограниченным и равностепвнно непрерьюным. т Пусть /„=л! на а'. По теореме 2 из 9 3 заключаем, что ~еС(К, )').
Из равномерной непрерывности / на компакте уь" Лмгекает, что. для любого е- 0 найдется такое 6)О, что при :дх, хо ен оп' (дк(хт, хз) <б==рг(г(/(хо), /(хт)) -е). По атому же Ъ)0 найдем такой номер А/ ен(ч', чтобы при п)А/ в любой точке "и еп мь" иыеть ду (/(х), /, (х)) ~ е. Сопоставляя эти неравенства, ") Если зы еще не вполне освоились с общими понятиями пз глазы 1, то 4[оп потери содержательности дальнейшего можете считать, что всюду речь идет [и фуНКцюяХ, дойогзуЮщИХ ПЗ [г З [2, ПЛМ ИЗ О З О„ИЛИ ПЗ [!а З [2и. ' ) с[. Арцслз (1847 †!9!2)с Д.
Асхолп (/848=1898) †итальянск мате. 4нпнки, работавшие з области теории фунхцпй действительного переменного 392 ' Гь. ХУ!. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА. ФУНКЦИЙ Э С ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ З9З пользуясь неравенством треугольника, находим, что при любом п ) !т' и х„х, ее ьь" из йх (х„х,) < 6 следует йт (/„(х,), /, (х«)) < Зг. Значит, семейство (/„, и) А"! равностепенно непрерывно. Добавляя к нему равностепенно непрерывное семейство (/«, ..., /А), состоящее нз конечного числа непрерывных на компакте йь" функций, получим равностепенио непрерывное семейство (/„, и ее/!(). То, что оно равномерно ограничено, вытекает из ограниченности компакта /(«Ф") с: )' неравенства й (/(х), /„(х)) <г, справедливого при х ~ЛГ и п)А', а также из ограниченности множества Д /„(Х).
~ ь=! На самом деле справедлива следующая общая Теорема 1 (Арцела — Асколи). Пусть У вЂ” семейство 4ункиий /: «й'-+.)', Определенных на метрическом компакте «Ф" со значениями в полном метрическом пространстве У 'Для того чтобы любая последовательность (/„я У, и г- :/!1) содержала равномерно сходящуюся подпоследовательность, необходимо и достапючно, чтобы семейство У было равномерно ограни-.
ченным и равностепенно непрерывным. 4 Необходимость. Если бы У не было равномерно ограниченным семейством, то, очевидно, можно было бы построить такую последовательность функций /„ен У с неограниченным в совокупности множеством О /„(ЛГ) значений, из которой (см. ь=! лемму) уже нельзя было бы извлечь равномерно сходящуюся подпоследовательность. Если семейство У' не равностепенно непрерывно, то найдутся число г)0 и такие последовательность функций (/„ее,У', п ее(1() и последовательность ((х'„, х„"), п ее(!() пар (х,', х„") точек х,'„х„, сходящихся при и- со к некоторой точке х,~Х, что 4 (/„(х„'), /„(х„)) ) г,) О.
Тогда из последовательности (/„, и ен !" () "уже нельзя извлечь сходящуюся равномерно подпоследовательностес ведь по лемме ! функции такой подпоследовательности Должны были бы,составлять равностепенно непрерывное семейство, Достаточность Компакт «Ф" будем считать бесконечным множеством, иначе утверждение тривиально. Фиксируем в «Ф" счетное всюду плотное подмножество Š— последовательность (х„ ее «й;, и ее М). Такое множество Е легко получить, взяв, например, объединение точек конечных В-сетей в Ю, получаемых при В = = 1, 1/2, ..., !/и, ...
Пусть (/„, и ен ٠— произвольная последовательность функций семейства У . Последовательность (/„(х,), и ее /т() значений этих функций в точке х, по условию ограничена в У и, поскольку )г — полное пространство, нз нее можно извлечь сходящуюся подпоследова- тельиость (/,„(х,), й ге/!((. Функции полученной последовательности, как будет видно, удобно обозначить через /'„и ~ (ч.
Индекс 1 показывает, что это последовательность, построенная по точке х,. Из полученной последовательности извлечем подпоследовательность (/.'„, яее/!((, которую обозначим через (/„', не-:/!(), такую, что последовательность (/1„(х,), й ~/!(( является сходящейся. Продолжая этот процесс, получим серию (/ь„, п ее !т(~, й = 1, 2,..., последовательностей. Если теперь взять «диагональнук!ь последовательность (д„=/„", и ее/!((, то она, как легко видеть, будет сходиться в любой точке всюду плотного множества Е ~ Ъ".
Покажем, что последовательность (д„, и ~ /!)) сходится в любой точке компакта Л' и что ее сходимость равномерная на Ю, Для этого фиксируем г)0 и подберем 6)0 в соответствии с определением 2 равностепенной непрерывности семейства,У . Пусть Е,=(е!, ..., $„) — конечное подмножество Е, образующее 6-сеть в Ж. Поскольку последовательности (д. (Ь!), и ее М), !' = 1, 2, ..., й, сходятся, найдется такой номер А!, что при т, и ) АГ будет 4 (й„ Я!), д„ ($!)) < В для ! = 1, 2, ...,* й. Для каждой точки х ен йь найдется такая точка $т ~ Е,, что йх(х, $,) < 6. В силу равноетепенной непрерывности семейства,У' отсюда следует, что й (д„(х), у„($у))<В при любом и ~!"!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
