В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Рассмотрим дифференциальный оператор ач из-1 Р (х, — ): = — +а, (х) — +...-(-а, (х). ' Ех) ' ахч Ллч — 1 Покажите, что если аз=аз(х) такое решение уравнения Р (х, †) аз= О, ' а'х) которое удовлетворяет начальным условиям из(0) =... =из'" з'(0)=0, и!" Н(0)= о =1, то функция Е(х)=Н(х)и,(х) (где Н(х) — функция Хевисайда) является фундаментальным решением для оператора Р (х, --) . ' ах)' с Найдите указанным способом ундамента.чьные решения для операторов б. Используя полученные результаты и свертку, найдите решения уравнеЕма !Е 1м ний — 1, 1.-+а) =1, где )~ю С(Р, Р).
Лхм ' (ах $5. Кратные интегралы, зависящие от параметра В первых двух пунктах этого параграфа будут указаны свойства собственных и несобственных кратных интегралов, зависящих от параметра. Общий итог этих пунктов состоит в том, что основные свойства кратных интегралов, зависящих от параметра, по существу не отличаются от соответствующих свойств подробно рассмотренных выше одномерных интегралов, зависящих от параметра. В третьем пункте мы рассмотрим важный для приложений случай несобственного интеграла, особенность которого сама зависит от параметра. Наконец, в четвертом пункте будет рассмотрена свертка функций многих переменных и некоторые специфически многомерные вопросы обобщенных функций, тесно связанные с интегралами, зависящими от параметра, и классическими интегральными формулами анализа.
1. Собственные кратные интегралы, зависящие от параметра. Пусть Х вЂ” измеримое подмножество Я", например ограниченная область с гладкой или кусочно гладкой границей; У вЂ” некоторое подмножество Я'". Рассмотрим зависящий от параметра у ее У интеграл Е(у) = )1(х,'у)ах, (1) х где функция 1 предполагается определенной на множестве ХхУ и интегрируемой на Х при любом фиксированном значении у ~ У.
Для интеграла (1) справедливы следующие утверждения. Утверждение !. Если ХхУ вЂ” компакт в Из™, и 1ы ~С(ХхУ), то Е ее С(У). Утверждение 2. Если У вЂ” область в (с-, 1ееС(ХхУ) и —. Ен С(Х х У'), то функция Е. дифферениируема в У ло леремендвз ной у', еде у=(у', ..., у'...,, у ) и ф()= ~3'-„1(, И~ (2) Утверждение 3. Если Х и 1' — измеримые компакты вР" и (с" ссолметапвенно, а 1ЙЕС(ХхУ), то ЕЙЕС(У) сарк (У) и ~Е(у)йу:= ~йу ~1(х. у)йх= ~ (х ~1(х у)йу.
(3) р х Отметим, что значения функции 1 могут при этом лежать в любом векторном нормированном пространстве 2. Важнейшие частные случаи — когда 2 есть 'Я, $, (ч" или Ж". В этих случаях проверка утверждений 1 — 3, очевидно, сводится к их доказательству при Я=(с. Но при 2=(с доказательства утверждений ! и 2 дословно повторяют доказательства соответствующих утверждений для одномерного интеграла (см.
гл. ХУП, 3 1), а утверждение 3 является простым следствием утверждения 1 и теоремы Фубини (гл. Х1, $ 4). 2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметра. Если в интеграле (1) неограничены множество Х с:(с" или функция 1, то он понимается как несобственный кратный интеграл (см. гл. Х1, 3 6), т. е.
как предел собственных интегралов, взя.тых по множествам соответствующего исчерпания Х. При иссле, довании кратных несобственных интегралов, зависящих от параметра, как правило, интересуются специальными исчерпаниями, подобными тем, которые мы рассматривали в одномерном случае. В полном соответствии с одномерным случаем из области интегрирования Х при этом. удаляют е-окрестность множества особых точек *), находят интеграл по оставшейся части К, множества Х - и затем находят предел значений интегралов по Х, при е-а+О.
') То есть точек, в любой окрестности которых функция 1 неограничена, Если и множество Х неограничено, то из Х удаляется также окрестность бесконечности. 469 4 5. ЕРАтные интеГРАлы Р(Х) = 1 1е-А< *4-у*>бхбу и(д)= и(х, у)Р(х)б = (4) «»)у»»,це» «»+у») 1!е» 468 Гл. ХЧИ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Если указанный предельный переход является равномерным относительно параметра уев У, то говорят, 'что несобственный интеграл (1) сходится равномерно на У, Пример 1. Интеграл получается предельным переходом ~()Е А<к" ) у'<(Х<(у:= 1ПП .~~ Š— ><к»+у»><(Х<(у Е» е + 0 к».1-у».я 1»е» и, как легко проверить, используя полярные координаты, он сходится при Л)0.
Далее, на множестве Еы=() ен(Р!) «)е)0) он сходится равномерно, поскольку при А ~ Е>. О ( ~ ~ е — "<"'+'у*> <(х<(у» ~ ~ е — '<'*+у*> <(х<(у, а последний интеграл стремится к нулю, когда е-».О (исходный интеграл Г (А) сходится при ))=)<е)0). П р имер 2. Пусть, как всегда, В (а, Г) = (х ен й" ! ~ х — а<<(Г)— шар радиуса г с центром пена", и пусть у вне".
Рассмотрим интеграл (к — у~ . (' 1« — у! (у) .) () — ~к!)"~'= 1' 3 () — )кй"<( ' в<о, н в<о, ) — е> Переходя к полярным координатам в Яе, убеждаемся, что данный интеграл сходится лишь при а(1. Если значение а(1 фиксировано, то по параметру у интеграл сходится равномерно на любом компакте )«~Р", поскольку в этом случае )х — у(=. (М(У) ен(Р. Отметим, что в рассмотренных примерах множество особых точек интеграла не зависело от параметра. Таким образом, если принять указанное выше понимание равномерной сходимости несобственного интеграла с фиксированным множеством особых точек, то ясно, что все основные свойства таких кратных несобственных интегралов, зависящих от параметра, получаются из соответствующих свойств собственных кратных интегралов н теорем о предельном переходе для семейств функций, зависящих от параметра.
Мы не останавливаемся на переизложении этих в принципе уже знакомых нам фактов, а предпочтем использовать развитый аппарат при рассмотрении следующей весьма важной и часто встречающейся ситуации, когда особенность несобственного интеграла (одномерного или кратного) сама зависит от параметра.
3. Несобственные интегралы с переменной особенностью. Пример 3. Как известно, потенциал помещенного в точку хенР единичного заряда выражается формулой У(х, у) = —, ) )К вЂ” У!' где у — переменная точка пространства Ре. Если теперь заряд распределен в ограниченной области Х ~Р с ограниченной плотностью (<(х) (равной нулю вне Х), то потенциал (2'(у) так распределенного заряда (в силу аддитивности потенциала), очевидно, запишется в виде Роль параметра в последнем интеграле ' играет переменная точка у евое.
Если точка у лежит вне множества Х, то интеграл (4) собственный; если же у ен Х, то ~ х — у,' ». О при Х ~ х-+ у и точка у оказывается особой для интеграла. С изменением у эта особая точка, таким образом, перемещается. Поскольку (2'(у) = !Ип Уе(у), где е-+е У,(у)= ~ ~' ',<(х, К»,В<у, е) то естественно, как и прежде, считать, что рассматриваемый интеграл (4) с переменной особенностью сходится равномерно на множестве У, если (к',(у)=»()(у) на )к при е-Р+О. Мы приняли, что ((<(х) ((М ~Я иа Х, поэтому )» (к)»<к =.
М 1 — = 2ИМее. !к — у~,) )к — у! .кяв<у, е> В <у, е) Эта оценка показывает, что ! У (У) — ()е (У) ! (2ИМее пРи любом уе-=Р, т. е, в указанном смысле интеграл (4) сходится равномерно на множестве У = Р. В частности, если проверить, что функция У,(у) непрерывна по у, то отсюда уже можно будет из общих соображений сделать вывод о непрерывности потенциала (2' (у). Но непрерывность функции (2',(у) формально не вытекает из утверждения 1 о непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра, так как в нашем случае с изменением у меняется область интегрирования Х" В(у, е). Рассмотрим поэтому внимательнее вопрос о непрерывности функции (,<, (у).
Заметим, что при (у — уе,'(е )< (х) <)к (' )< (к)»(к )к — у~ ,) )К вЂ” У)' К',В <у,, 2е) <х ', вы, е)>яв <у», м) Первый из этих двух интегралов при условии, что,'у — уе'(е, непрерывен по у (как собственный интеграл с фиксированной 47! 4 6. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 470 Гл ХШЬ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА областью интегрирования). Второй же интеграл по абсолютной величине не превосходит — = 8ПМВ'.
М дх (х — д( В (да. 2Е1 Значит, при всех значениях у, достаточно близких к у„будет выполнено неравенство ! (7,(у) — (7,(уе) ((е+ 16ПМеь, устанавли- вающее непрерывность (7, (у) в точке уо ~ Р. Таким образом, показано, что потенциал (7(у) является непрерывной функцией во всем пространстве яе. Разобранные примеры дают основание принять следующее общее Определение 1. Пусть интеграл (1) является несобственным и как таковой сходится при каждом значении уев 1'. Пусть Х,— часть множества Х, полученная удалением из Х е-окрестности множества особых точек интеграла.-'"), а Р,(у) = 1('(х, у)дх. е Будем говорить, что интеграл (1) сходится равномерно на множестве У, если Р,(у)-. Р(у) на У при е-а.+О. Из этого определения и соображений, аналогичных тем, которые были продемонстрированы в примере 3, немедленно вытекает следующее полезное Утвержден не 4.
Если функция 7" в интеграле (1) допускает ' оценку (7(х, у)! =. „, где М енЯ, хя Х сй", уев 1'с:(с" и у (ее а -и, то интеграл сходится равномерно на множестве )е. Пример 4. В частности, на основании утверждения 4 заключаем, что интеграл 1' (у)= р(1( д)дх у~а полученный формальным. дифференцированием потенциала (4) по переменной у' (1=1, 2, 3), сходится равномерно' на множестве У = Р, поскольку ~, (~ «а (е (х) (х' — д') 1 М ~х — дя х — у(' Как и в примере 3, отсюда следует непрерывность функции у,(у) на Ие. Убедимся теперь в том, что на самом-то деле функция (7(у)— д(7 . д(7 потенциал (4) — имеет частную производную — и что — (у) = дуг дуе = (7 (у) Для этого, очевидно, достаточно проверить, что ь ~ К (у' у', у') Ф= (7(у", у', у')(„' =. а ') См, сноску на стр, 467. Но действительно, ь ь (е,~е)ае (а,,~ <~( -е>а„ а а ь ь -~еаа ° ('*,' „',!аа-~ (ае (,— '(,„',)ее( ( е Ф *) ' а (е) ( Р(у) = ~ К(у — ер(х)) ф(х, у)дх, к (5) где Х вЂ” ограниченная измеримая область в й"; параметр у пробегает область У сК, причем а(т; ср: 'Х-ь-(к - — гладкое отображение, удовлетворяющее условиям гапяср'(х) =и, и )ср'(х) !» »с) О, т.
е. ср задает и-мерную параметризованную поверхность, точнее, п — путь в 14"; К~С(Я ' 0; Я), т. е. функция К.(г) непрерывна в Р" всюду, кроме точки г = О, около которой она может быть и неограниченной; ф: Хх У -2.Я вЂ” ограниченная непрерывная функция. Будем считать, что при каждом у ен У интеграл (5) (вообще говоря, несобственный) существует. В рассмотренном нами выше интеграле (4), в. частности, было п=т, <р(х)=х, ф(х, у)=)ь(х), К(гь)'=(г(-2. Нетрудно проверить, что при указанных ограничениях на функцию ер определение 1 равномерной сходимости для интеграла (5) означает, что по любому а)0 можно выбрать е)0 так, что Единственное нетривиальное место в этой выкладке — изменение порядка интегрирований.
В общем случае для перестановки несобственных интегрирований достаточно иметь абсолютно сходящийся по совокупности переменных кратный интеграл. В нашем случае это условие удовлетворено, поэтому выполненная перестановка законна. Ее, конечно, можно обосновать и непосредственно благодаря простоте рассматриваемой функции. Итак, показано, что потенциал ()(у), порожденный распределенным в пространстве Р зарядом ограниченной плотности, является функцией, непрерывно дифференцируемой во всем пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
