В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 102
Текст из файла (страница 102)
(10) Отсюда следует, что (Р(22! 2Г) ( 1)' 22 ~ (Р ч2(22!) где т=(т„..., т„) — мультииндекс и (т~= ~", т!. длЕ длЕ Естественно проверить, что — =, . Но это следует из дх' дх! дхг дх! равенства правых членов соотношений (,. (Р д Е, )„дАР дх! дх' / ! дх! дхт ) вытекающего из классического равенства = —, справедд242 д242 дх! дхв дхв дх' ливого для любой функции !р ее У. П р и м е р 10. Рассмотрим дифференциальный оператор 0 = л, 1д!л2 а„0"', где т=(т,, ..., т„) — мультииидекс, 0 =Х" (='~' 222 —, а — числовые коэффициенты, а сумма распространяется иа некоторый конечный набор мультииндексов. Транс!!онированным по отношению к оператору 0 или сопрязсенным к 0 называется оператор, обозначаемый обычно символом Если бы функцяя (2(х) была определена только на поверхности 5, то равенство (10) можно было бы рассматривать как определение обобщенной функции рбю Так вводимая обобщенная функция по естественной аналогии называется простым слоем на поверхности 5 с плотностью р.
Дифференцирование обобщенных функций в многомерном случае определяется по тому же принципу, что и в одномерном, но имеет некоторую специфику. дЕ Если Ран У'(6) и Ос Р", то обобщенная функция — „,. определяется соотношением $ К КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 70 или 0л и определяемый соотношением (0Р, 2р) =: (Р, '02р), 477 которое должно быть выполнено при любых 2р я У н Реп У'. Исходя из равенства (11), можно теперь написать явную фор- мулу ((дх2~' '2,) (дх! 'Ч2) (х) с(х' Ел для оператора, сопряженного к указанному дифференциальному оператору О. В частности, если все значения )т ~ четны, оператор 0 ока- зывается самосопряженным, т.
е. для него '0 = О. Ясно, что операция дифференцирования в У'(Р") сохраняет все свойства дифференцирования в У'(Р). Рассмотрим, однако, следующий специфически многомерный и важный Пример 11. Пусть 5 — гладкое (и — 1)-мерное подмиогообра. зие Р", т. е, 5 — гладкая гиперповерхность. Предположим, что опре- деленная на Р" ', 5 функция 7' бесконечно дифференцируема и все ее частные производные имеют предел в каждой точке х ен 5 при одно- стороннем подходе к х с любой стороны (локально) поверхности 5. Разность между этими пределами будет скачком ! —, рассматриваед) мой частной производной в точке х, соответствующим определенному направлению прохода сквозь поверхность 5 в точке х.
При изме- нении этого направления меняется знак скачка. Скачок, таким образом, можно считать функцией на ориентированной поверхно. сти, если, например, условиться, что направление прохода зада- ется ориентирующей поверхность нормалью, Функция —, определена, непрерывна и локально ограничена д) вне 5, причем в силу сделанных допущений 7' локально является Финально ограниченной при подходе к самой поверхности 5. По- скольку 5 — подмногообразие Р", как бы мы ни доопределили —, д) иа 5, мы получим функцию с разрывами разве что на 5, и по- тому локально интегрируемую в Я". Но интегрируемые функции, отличающиеся на множестве меры нуль, имеют равные интегралы, поэтому, ие заботясь о значениях на 5, можно считать, что д) порождает некоторую регулярную обобщенную функцию ! — (, действующую по закону 47З Гк.
ХЩ1. ИнтЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ От ПАРАМЕТРА Э 2 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 479 Покажем теперь, что если ( рассматривать как обобщенную функцию, то в смысле дифференцирования обобщенных функций имеет место следующая важная формула: д 11 = (д —,1+(Х))эсоза1бз (12)' где последний член понимается в смысле равенства (10); (Х1)з — ' скачок функции Г в точке хен 5, соответствующий любому (из двух возможных) направлению единичной нормали п к 5 в точке х, а сози1 — проекция и на ось х' (т. е. п=(созс2„..., соз222)).
4 Формула (12) обобщает равенство (17) из Э 4, которое мы и используем при ее выводе. Рассмотрим для определенности случай, когда 1=* 1. Тогда (д~х ' 'Р) ' (~' дхк/ д ~ дх') яп ~ г(х2 Дхп ~ 1 ~ 2(х2 кк, кп — — кп -1...1кп...п [(12 к-1хк~']= = ~,— ~, рд +~" ~(Х1)рд~'" 2(". кк...кк Здесь скачок Хг функции 1 берется в точке х=(х1, х', ...,.хп) ~ ен 5 при прохождении через нее в направлении 1-й коордийатной оси. В этой же точке берется значение функции ф при вычисле'нии произведения (ХД2р. Значит, последний интеграл можно записать в виде поверхностного интеграла первого рода ~ (Х)) 2р соза1 2(о, где а1 — угол между направлением оси х, и нормалью к 5 в точке х, направленной так, что при прохождении через точку х еи 5 в направлении этой нормали функция 7 имеет именно полученный нами скачок Х1.
Это означает всего-навсего, что сова,)0. Остается заметить, что если выбрать другое направление нормали, т о для него одновременно изменят знак и скачок функции и 1 косинус угла между направлением оси х и направлением нормали, значит, произведение (Х1) созс21 при этом не изменится. > Замечание 1. Как видно из проведенного доказательства, формула (12) имеет место уже тогда, когда для функции 7" определен скачок (Х7)з в любой точке 'хан 5, а вне 5 существует частная производная —,, локально интегрируемая в 12" хотя бы д) в несобственном смысле, порождающая регулярную обобщенную Замечание 2.
В точках хан 5, в которых направление оси х' не трансверсально 5, т. е. касательно к 5, могут возникнуть затруднения в определении скачка Хг по такому направлению. Но из доказательства формулы (12) видно, что последний ее член получен в связи с интегралом ~... ~ (Х 1) ~р 2(хк... Йхп. кк «и Проекция на плоскость х', ..., хп множества Е указанных точек имеет (и — 1)-мерную меру нуль и потому не влияет на значение интеграла.
Значит, форму (12) можно считать имеющей смысл и справедливой . всегда, если при сов 221 = 0 символу (Х7)з созс2, приписывать значение нуль. Замечание 3, Аналогичные соображения позволяют пренебрегать и множествами, имеющими площадь нуль, поэтому формулу (12) можно считать доказанной и для кусочно гладких поверхностей. В качестве следующего примера покажем, как из дифференциального соотношения (12) непосредственно получается классическая интегральная формула Гаусса — Остроградского, причем в том наиболее свободном от излишних аналитических требований виде, о котором мы в свое время поставили читателя в известность.
Пример 12. Пусть С вЂ” конечная область в (к", ограниченная :КУСОЧНО ГЛадКОй, ПОВЕрХНОСтЬЮ 5; А =(А1, ..., Ап) — ВЕКтОрНОЕ ч2 дА1 поле, непрерывное в С и такое, что функция б(чА = 7 —, определена в С и интегрируема в С хотя бы в несобственном смысле. Вали считать, что вне 'б поле А равно нулю, то скачок такого : поля в любой точке х границы 5 области С при выходе из обла.
.сти С равен — А(х). Полагая, что и — единичный вектор внешней '-,;нормали к 5, применяя формулу (12) к каждой компоненте А' поля А и суммируя ати равенства, приходим к соотношению б)ч А - (б) ч А) - (А и) бз, ;з котором А и-скалярное произведение векторов А и 72 в соот'яетптвующей точке х ~ 5. ':1. Соотношение (13) — это равенство обобщенных функций. При,'.эгеним его к функции фен С,' ', равной единице на 6 (существо- з а ХРАтнЫЕ ИнтегРАЛЫ (йчА, чр) = — ~ (А Чф)«(х Ел (14) которое в классической записи 0 = ~ 6 ге А «(х — ~ (А и) «(а (15) (16') йч —, = 4пб.
х 3 (15) Е( «) Н(«) (р )««)л (д« вЂ” авЛ) Е = 6 . д д« вЂ” а'Л«) Е= О прн «=>О. 16 В А Зарвч. ч.' П 466 Гв. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСящИЕ ОТ ПАРАМЕТРА ванне и построение такой функции уже неоднократно обсужда- лось). Поскольку для любой функции фен м (что вытекает непосредственно из определения дифференпирования обобщенной функции), то для нашего поля А и функции ф, очевидно, (йчА, чр)=0. Но с учетом равенства (13) это дает соотношение 0 = ((йч А), ф) — ((А м) бз, ф), совпадает с формулой Гаусса — Остроградского.
Разберем еще несколько важных примеров, связанных с дифференцированием обобщенных функций. Пример 13. Рассмотрим векторное поле А = — „, опреде)х|' ленное в Р' О, н покажем, что в пространстве лз'(1се) обобщенных функций имеет место равенство Заметим сначала, что при х ныл йч —,, = 0 в классическом ~ х ~в смысле. Теперь, используя последовательно определение йчА в виде соотношения (14), определение несобственного интеграла, равенство йч х = 0 при х Ф О, формулу (15) Гаусса — Остроградского ! х ~з и фннитность функции ф, получаем фт ! ~( —, .
ч ф (х)) «(х = ( г~( !х!в' 1 1 (~х!в = !)гп — ~ ( —, в«ф(х))«(х= х ~хи в<!к~<ив «1!ч( х, )«(х= ~ хф(х) ! е +а '! !х') ел.. !С!/в 11„„3( фрх) х'"! «1П=чпф(0)=(4пб, ф) ° (х л! ев )х ! ~в! е ДлЯ опеРатоРа А: вР'(6)-л '«т'(««), как и пре п«альным Реи«гнием назовем обобщенную фун „и 'Еч,р. и прежде, 'ундамендля которой А (Е) = 6, ию с-- ' (««) 14 Проверни что в Ы (('! ная вЬункция Е«х1=— 4п!х! ~~а~ется фУндаментальным решением оператора Лапласа Л = ( д ) -1- ( д '!~ ~ «д )в Действительно, Лч йчдга«), а дга«)Е(х) = 4 з п.ри ха 0~ поэтомУ Равенство йч дга«) Е= 6 вытекает из доказанно ' го соотМожно, как и в примрре 13, проверить, что при любом и 14' и е= апл«в и =г(„«2! — Площадь единичной сферы в 1эл. Отсюда с учетом соотношения Л=йчагаб можно заключить что Л!П~х~=2пб в р ! Л ..., = — (а — 2)а„б в Р', п)2, ПРимер 15 Проверни что функция где хенй", «енЯ, а Π— функция Хевисайда (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
