В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 105

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 105)

1 21 пейна выражаются друг через друга, т. е. алгебраически эквивалентны. По этой причине систему экспонент «е'~; а~о)) танже называют тригонометрической системой или точнее триеонометрической системой е комплексной записи. Соотношения (4) — (7) показывают, что рассмотренные системы 'хх. ортогональны, но не нормированы, а системы [='е!"ч; пе=Е~, )!гзп ~=, — созах, =з!пах; а ее «А)~ уже ортонормироваеы. 1 1 1 )/'Ь' )лй ' уй Если вместо отрезка [ — а, и] взять произвольный отрезок [ — 1, 1] с: Р, то заменой переменной можно получить аналогичные 1 ! — хх х п . и системы)е '; а~Я) и [1, соз — ах, з!п — ах; аыф ортого- НаЛЬНЫЕ В еаз([ — 1, 1], С) И е)т,([ — 1, 1], К)! а таКжЕ СООтВЕтетвующие ортонормированные системы . ( 1-" * ] 11 ! и =е '; а~Я~, 1=, =соз — пх, =з)п ах аенЬ1( У!21 ' ~' (')!27' У1 1 ' )Я Т П р и м е р 2. Пусть 1„— промежуток в Р", а 1„— промежуток в Р, н пусть «11(х)) — ортогональная система функцйй в РЯ, (1„, Я), а «д1(у)) — ортогональная система функций в Ж(1У, Р).

Тогда, еак следует. из теоремы Фубини, система функций «иу(х, у): =)!(х)У1(У)) оРтогональна в е)!ез(1хХ1„, Я). Пример 3. Заметим, что при ачь«! 492 Гл. ХУ!И. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ й!. ОснОВные ОБщие предстАВления 493 и ен«!4] ортогональна на отрезке [О, 1]. В частности, при с= О получаем знакомую систему [з(п! — их) и ~ Ь«~. Пример 4. Рассмотрим уравнение ~„—,;+д(х)) и (х) = Ли(х), где д ен С! ! ([а, Ь], «ч), а Л вЂ” числовой коэффициент. Предположим, что функции и„и„...

класса С!" [а, Ь], «ч) обращаются в нуль на концах отрезка [а, Ь]и кав(дав из них удовлетворяет данному уравнению со своим значением Л„Л„... коэффициента Л. Покажем, что если Л)~Лап то функции и„!(., ортогональны на [и, Ь]. Действйтельно, интегрируя по „чаетям, находим, что ь ь ~ ~~~з+д(х)) и!(х)~и;(х)с(х = ~ и!(х)~~~~+!)(х)) и, (х)]с(х. В соответствии с уравнением отсюда получаем, что Л! (и1, и,) = Л, (ио и,) и, поскольку Л!чьЛ!и теперь заключаем, что (из, и,) =О. В частности, если д(х) — = 0 на [а, Ь], а [а, Ь]=[0, и], мы вновь получаем ортогональную на [О, и] систему «з)оих; п.енЬ(].

Дальнейшие примеры, в том числе и примеры важных для математической физики ортогональных систем читатель найдет в задачах к этому параграфу. с. Ортогонализация. Хорошо известно, что в конечномерном евклидовом пространстве на основе любой линейно независимой системы векторов каноническим образом (с помощью процесса ортогонализации Грама *) — Шмидта **)) можно построить ортого° иальную и даже ортонормированную систему векторов, эквивалентную данной.

Этим же способом, очевидно, и в любом линейном пространстве со скалярным произведением можно ортонормировать любую линейно независимую систему его векторов ф„з«1„... Напомним, что процесс ортогонализации, приводящий к ортонормированной системе !р„!р„т.., описывается следующими ') И. П. Грам (1850 — 19!6) — датский математик, продолживший исследовання П.

Л, Чебышева н выявивший связь между разложениями в ряды по ортогональным системам н проблемой наклучшего квадратичного пркблкження (см. далее ряды Фурье). Именно в этих исследованиях возникли процесс ортогоналнзацнн и известная матрнца Грама (см. стр. 189 н систему (10) на стр. 495.

*') Э. Шмидт (1876 — 1959) †немецк математик, изучавший теометрнш гнльбертова пространства н -опнсыйавшнй ее язьгком евклидовой геометрии. соотношениями: )зР!1 ' Й вЂ” <'Ь !р!> !р!1 ' л-'! Ь вЂ” Е (зр. ФЬ>ЧА а=! !Рл= ! „, «1 ° ч! Х <!р !рь> !рь ь=! Пример б.

Процесс ортогонализации линейно независимой системы «1, х, х', ...] в еже([ — 1, 1], (ч) приводит к так называемой системе ортогональных лемогочленов Лежандра. Отметим, что многочленами Лежандра принято называть все же не сами многочлены получаемой при этом ортонормированной системы, а им пропорциональные. Множитель пропорциональности выбирается так, чтобы сделать равным единице коэффициент при старшей степени многочлена. Ортогоналвность системы при этом, очевидно, не нарушится, ну а нормированность, вообще говоря, теряется. Многочлены Лежандра нам уже встречались, и мы знаем формулу для многочлена Лежандра степени и. Выпишем несколько первых многочленов Лежандра Р,(х) = 1, Р, (х) = х, Р, (х) = х' — †, Р, (х) = ха — — х. 1 3 5 Прямым вычислением можно убедиться в их ортогональности на отрезке [ — 1, 1].

Принимая указанную выше формулу за определение многочлена Р„(х), проверим ортогональность системы «Р„(х)] многочленов Лежандра на отрезке [ — 1; 1]. Для этого достаточно проверить, что многочлен Р„(х) ортогонален многочленам 1, х, ..., х"-', линейными комбинациями которых получаются многочлены Р,(х) степени и с.и. Интегрируя. по частям при и = п, действительно получаем, что 1' ! — ! — 1 Некоторые представления об источнике ортогональных систем 'функций в анализе будут даны в последнем .пункте этого параграфа и в задачах к нему, а сейчас мы вернемся к общим алгебраическим вопросам, связанным с разложением вектора по векторам заданной системы в линейном пространстве со'скалярным произведением.

494 4 !. основные овшие предстлвления Гл, ХШП. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 495 2. Коэффициенты Фурье. а. Определение коэффициентов Фурье. Рассмотрим линейное пространство Х со 'скалярным произведением (, .) и с индуцированной им в Х нормой )х)= ре (х, х) (см. 9 1 гл. Х). Пусть 1е!) — ортонормированная система векторов в Х. Определение 5. Числа ((х, е!)) называются коэффициентами Фурье вектора х ен Х в ортонормированной системе (е!).

С геометрической точки зрения т-й коэффициент Фурье (х, е!) вектора х ~ Х есть проекция этого вектора на направление единичного вектора е!. В знакомом случае трехмерного евклидова пространства Ез с заданным в нем ортонормированным репером е„е„е, коэффициенты Фурье х'=(х, е;), 2=1, 2, 3, суть коор. динаты вектора х в базисе е„е„е„возникающие в разложении х = х'е, + х'в, + х'ез. Если бы вместо трех векторов е„е„е, нам было дано только два е„е„то разложение х=х'е,+х'е, по иим уже имело бы место далеко не для каждого вектора х ~Е'. Тем не менее коэф. фициенты Фурье х'=(х, е!), 3=1, 2, определены и в этом случае, а вектор х,=х'е,+х'е, в этом случае является ортогональной.

проекцией вектора х в плоскость Е векторов е„е,. Среди всех векторов этой плоскости вектор х, наиболее близок вектору х в том смысле, что для любого вектора уеей будет ))х — у~)1х — Х,1; Аналогичные свойства коэффициентов Фурье имеют место и в общем случае. Лемм'а !. Если система векторов е„..., ел пространства Х ортонормирована, то для любого вектора х~Х вектор Й=х— л —,У, (х, е!) е! ортогонален плоскости. векторов е„..., е„, с-! 4 Достаточно проверить, что для любого вектора е! нашей л системы (Й, еу) = О.

Но в самом деле (Й, еу) = (х, ез) — 5', (х, е,) х ! ! *х (ет, еу)=(х, ез) — (х, ех)=0. в Таким образом, любой вектор Х~Х допускает разложение х=х,+Й, (8) где х, — вектор плоскости Е, порожденной системой векторов ет, ..., ел, а вектор Й ортогонален плоскости Е, т. е. ортогонален любому вектору вида и,е, +...+алел. Ь. Аппроксимация вектора элементами надпространства. Покажем теперь, что вектор х,= (х, е,) ет+...+(х, ел) ел является наилучшей аппроксимацией вектора х~Х элементами атез+... ...+алел нодпространства Е, натянутого на векторы ортонормированной системы е„..., е,, Заметим сначала, что справедлива следующая Ле м')на 2 (теорема Пифагора *)). Если векторы у и г ортого. нальны, а х=у+г, то (х)в=)у)2+~г12.

Ь В самом деле, (х, х) =(у, у)+(у, г)+(г, у)+(г, г)=(у, у)+(г, г). ~ Проверим теперь, что справедлива Лемма 3 (об экстремальном свойстве коэффициентов Фурье). Если е„..., ел — ортонормированная система векторов (наде- ленного скалярным произведением (, )) линейного пространства Х, то для любого вектора х ~ Х и любого вектора у=азет+...+а ел имеет"место неравенство л л х —,У, '(х, е!) е! ~ =- ~х —,5' пает, (9) а-! с ! в котором равенство возможно только при условии, что аз = = (х, е;) для всех значений ! = 1, 2, ..., п. л 4 Пусть х,:= ~', (х, е;) еь Воспользовавшись леммой 1 и е=! представлением (8), получаем, что х — у = (х, — у)+Й, где вектор Й ортогонален вектору х, — у, лежащему в плоскости Е векторов ет, ..., е . Тогда по теореме Пифагора 1Х ур )ехе у12+1Й12 1Хе у12+)Х Хе13)1Х Хе(~ 9 Несколько отвлекаясь от нашей основной цели — изучения разложений по ортогональным системам, предположим, что име- ется произвольная система линейно независимых векторов 1„1„...

Характеристики

Список файлов книги