В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 107
Текст из файла (страница 107)
4=! 4 ! 4=! М Утверждение а) вытекает из'неравенства Коши — Буняковского (см. $ 1 гл. Х) ! (х — х, у — уь) !» ( [ х — ха 1'. [ у — у«1 . Из а) вытекает Ь), поскольку (х, у) = 'У, '(хь у) + ( 'У', хи у) 4=1 '4 = л а .У', х4-4-О при и-~-ОО. 4=л Утверждение с) получается повторным применением Ь) с учетом соотношения (х, у) =(у, х). Ь. Полные системы и условия полноты.
Определение 8. Система [х„, аенА) векторов нормированного пространства,Х называется полной по отношению к множесп4ву Е с Х (или полной в Е), если любой вектор х ен Е можно сколь угодно точно в смысле нормы пространства Х приблизить конечными линейными комбинациями векторов системы.
Если через Е[х„) обозначить линейную оболочку в Х векторов системы (т. е. совокупность всех конечных линейных комбинаций векторов системы), то определение 8 можно переформулировать следующим образом: . система (х„, и ен А) полна по отношению к множеству Е с: Х, если Е содержится в замыкании Е(ха) линейной оболочки век, торов системы. Пример 9. Если Х=Е', а е„е„е,— базис в Е', то система [е„е„е,) полна в Х, а система (е„е») уже не является полной в Х, но является полной.
по отношению к множеству Е[е„е») или любому его подмножеству Е. Пр имер 10, Последовательность функций 1, х, х', ... рассмотрим как систему [хь; й ЕЛО, 1, 2, ...) векторов пространства «Я'»([а, Ь1, Р) или е»«»([а, Ь1, 4В). Если С[а, Ь| — подпространство непрерывных функций, то эта система полна по отношению к мнод«еству С[а, Ь1. 4 Действительно, какова бы ни была функция 1ЕВС[а, Ь1 и каково бы ни было число е'= О, по теореме Вейерштрасса найдется алгебраический многочлен Р(х) такой, что .!пах (7(х)— «Ф»са, Ю вЂ” Р (х) ! < е..
Но тогда ге » 44' — Р[:= 144 $ !1 — Р !»(х)4(х(ВР'Ь вЂ” о а и, значит, линейными комбинациями функций системы можно сколь угодно точно приблизить функцию 1 в смысле нормы рессматриваемого пространства ай.'»[а, Ь!. Отметим, что, в отличие от ситуации примера 9, в нашем случае не каждая непрерывная на отрезке [а, Ь! функция является конечной линейной комбинацией. функций взятой системы, а всего лишь приближается такимн линейными комбинациями.
Итак, С[а, Ь)с:Е(хл) Б смысле нормы пространства вй'»[а, Ь1. 502 Ги. ХЧ!Н. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ $1. ОСНОВНЫЕ ОБШИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Пример 11. Если из системы функции (1, созйх, з)пйх; ленК] удалить одну из функций, например 1, то оставшаяся система (соз нх, з)п ях; и е Щ заведомо не будет полной в об'2([ — ' и, и]. С) или оу«йз ([ — и, и], Р). В самом деле, по лемме 3 наилучшую аппроксимацию функции 1'(х) =1 среди всех конечных линейных комбинаций и Т„(х) =,'У, '(а, соз йх+ Ь» з 1 и йх) »=! данной длины и дает тот тригонометрический многочлен Т,(х), в котором а» и 6» — коэффициенты Фурье функции 1 относительно рассматриваемой ортогональной системы (соз ях, 21П йх; й ен рч].
Но в силу соотношений (5) такой полипом наилучшего приближения должен быть нулевым. Значит, всегда и приблизиться к единице ближе чем на величину ]оп линейными комбинациями функций системы нельзя. й Те о р ем а (условия полноты ортонормальной системы). Пусть Х вЂ” линейное пространство со скалярным произведением (, ) а е„е„..., е„, ...— конечная или счетная ортонормированная система векторов в Х. Тогда следующие условия эквивалентны: а)' система (е!] полна по отношению к множгспму«) Ес:Х;.
Ь) для любого вектора х ен Е с: Х имеет л!есто разложение (в ряд Фурье) х =,У, '(х, е,) е1! 1 ! с) для любого вектора х ~ Е с: Х имеет место равенство (Парсеваля **)) ( х ~~ = ~ ', ! (х, е1) !в 1=! 4 а) =ю Ь) в силу экстремального свойства коэффициентов Фурье (см. лемму 3 и рассуждения в примере 11). Ь)~с) в силу утве ждения с) леммы 5.
и и с)~а) поскольку х — ' )~ (х, е,)ес =(х(' — ~ !(х, е1)(2-ьО 1 1 1=! ОО, $ при и-«. «) Множество Е может, в частности, состоять нз одного по тем нлн иным причинам представляющего интерес вектора. '*) М. А. Парсеваль(17йй — 1836) — франпузскнй математик, обнаруживший вто соотношение для трнгонометрнческой системы в 1799 г. с. Сходимость ряда Фурье и признак базиса в полном про'странстве.
О п р е де л е н и е 9. Система х„х„..., х„, ... векторов линейного нормированного пространства Х называется базисом пространства Х, если она состоит из линейно независимых векторов и любой вектор хан Х может быть представлен в виде х= ~ а!хп 1=! где а, — коэффициенты из поля констант пространства Х. В конечномерном пространстве Х 'полнота в Х системы линейно независимых векторов равносильна тому, что эта система является базисом в Х. В бесконечномерном случае это, вообще говоря, не так. Пример 12. Рассмотрим мнбжество С([ — 1, Ц, (с) непрерывных на отрезке [ — 1, Ц вещественнозначных функций как линей- ное пространство со скалярным произведением, определенным формулой. (3). Обозначим это пространство символом-С,([--1, Ц, Щ и рассмотрим в нем систему линейно независимых векторов 1, х, х', ...
Эта система полна в пространстве С,([ — 1, Ц, ьс) (см. пример 10), но ие является его базисом. М Действительно, если 7(х)= ~ а„х"! где сходимость пони»=о мается в смысле нормы С,([ — 1, Ц, (с), т. е. в смысле среднего квадратичного уклонения на отрезке [ — 1, Ц, то по.необходимому условию сходимости получаем, что (а»х»( — ьО при й — ~-оо. Но 1 (а»х»('= ] (а»х»)зйх=а»-. 2»+ 1 — 1 и, значит, при всех достаточно больших значениях я должно быть (а»!.с ~ 2й+1(1.
В таком случае степенной ряд,~' а»х» схог=о дится на интервале ] — 1, Ц н представляет на этом интервале ' бесконечно дифференцируемую функцию 1р, в то время как априори функция 7 могла не быть таковой. Заметим, что са 1В 1/2 0 =11 — '5~ а»Х»~ ~' $ (7' — ср)з(Х)дХ)0, »=О -!/2 откуда вытекает, что если 7" и 1р непрерывны, то обязательно ' 7(х)=ср(х) при )х( =.1/2. Таким образом, показано, что да))се в смысле сходимости в среднем разложение 7(х)= „У~ а»х» невоз»=о можно, если 7, например, не бесконечно дифференцнруема на отрезке [ — 1/2, 172]. 505 504 Гл.
ХУ1Н. РЯД ФУРЬЕ И ПРБОБРЛЗОВЛНИЕ ФУРЬЕ 5 1. ОснОВные ОБщие пРедстлВления Важно теперь отметить, в противовес примеру !2, что справедлива следующая простая и полезная Лемма б. Ортогональная система векторов полна в пространстве тогда и только тогда, когда она является его базисом. 4 Нетривиально только утверждение, что полнота такой системы влечет ее базисность. Очевидно, утверждение достаточно проверить для ортонормированной системы е„е,, ..., е„...
в Х. Но если линейными комбинациями векторов системы можно сколь . угодно точно по норме пространства Х аппроксимировать любой вектор х ~ Х, то в силу леммы 3 для любого такого вектора х и соответствующий ему ряд Фурье )~~ (х, е!) ео обязан схо1=1 диться к х. 9 Следующая лемма отвечает на вопрос о сходимости ряда Фурье н является естественным обобщением леммы 1. Напомним (см. 5 1, гл. Х), что линейное пространство Х со скалярным произведением называется гильберпювым просгпранством, если оно полно как метрическое пространство с метрикой, индуцированной в Х этим скалярным произведением. Лемма 7. Если Х вЂ” гильбертово пространство,аео,ео, ...— ортонормированная система в нем, то для любого вектора х~ Х: а) ряд Фурье л' ,(х, ео)ео сходится к некоторому вектору х,епХ; о=! Ь) справедливо разложение х=х,+Й, где вектор Й ортогонален линейной оболочке векторов системы.
4 а) Для ряда ~х„(х, ео)ео выполнены условия критерия Коши. 1=1 и / п действительно ~ ~ч~ ~(х, ео)е! = 1/ )~ ((х, ео)(', а в силу нера!!=и! о=оо венства Бесселя (1,1) ряд ~Х~ ~((х, ео) !о сходится. 1=1 Ь) По свойствам скалярного произведения (см. утверждение Ь) леммы б) для любого вектора е, нашей системы получаем (Й, еу) =(х, е,) — (х„еу)'=(х,' еу) — (х, е,) =О. В качестве полезного добавления к приведенной выше теореме об условиях полноты ортогональных систем докажем теперь следующее Утверждение 2. Пусть Х вЂ” линейное пространство со скалярным произведением, а хо, х„...— система линейно независимых векторов в Х.
Для того чтобы система (х!) была полной в Х: а) необходимо, чтобы в Х не было отличного от нуля вектора Й, ортогонального всем векторам системы (х!); Ь) в случае, когда Х вЂ” гильбертово пространство, достаточно, чтобы в Х не было отличного от нуля вектора, ортогонального всем векторам системы 4 а) Если бы нашелся вектор Й~О, ортогональный всем -векторам системы (х!), то для любой линейной комбинации а,хо+...+а„х, по теореме Пифагора получалось бы, что и и Й вЂ” )~ ~ах; =(Й(о+ ~ч, 'ахо )(!11(о)О, (=! о=1 и, значит, к вектдру Й нельзя приблизиться ближе чем на вели- чину !Й() О линейными комбинациями векторов системы.
Ь) Процессом ортогонализации из системы (х!) получим орто- нормированную .систему (е!), линейная оболочка которой Е(е!) совпадает с линейной оболочкой Е(х!) исходной системы. Берем теперь произвольный вектор х ен Х и, записав его ряд. Фурье по системе (е!), получим в соответствии с утверждением Ь) леммы 7 разложение х в сумму х=х,+Й, где х,=~ (х, ео)ен 1=1 а вектор Й ортогонален Ь(е!). Но поскольку Е(е!) =Е (х!), вектор Й должен быть равен нулю. Значит, х= ~" (х, е!)еь Таким обра1=! зом, любой вектор х ен Х допускает сколь угодно точную аппрокси- мацию векторами из Е (е!) или, что то же самое, векторами из Е (х!).
Условие полноты пространства Х в утверждении 2 Ь) является существенным, о чем свидетельствует следующий Пример 13. Рассмотрим пространство 1, (см. з ! гл. Х) таких вещественных последовательностей (а„ам ...), для которых ~~ а,' ( со. Скалярное произведение векторов а = (а„. а„...), 1=1 Ь=(Ь„Ь„...) из 1, определим стандартным образом: (а, Ь):= := Х аЬР 1=! Рассмотрим теперь в (о ортонормнрованную систему ео = = (о, о, ..., о, !. о. о..:О, о = о, о, ...
о - , о (1, О, О, ...). К системе (еи 1ЕБМ) добавим еще вектор е = ! ! ! (1, —, —;,;, ...) и рассмотрим линейную оболочку Це, ео, е„...) указанных Векторов. Эту линейную оболочку можно рассматри- вать как линейное пространство Х (подпространство 11) со ска- йярным произведением, взятым из 1,. Отметим, что вектор (1, О, О, ...), очевидно, не может быть получен конечной линейной комбинацией векторов системы е, е„ е„ ... поэтому он не лежит в Х, но вместе с тем он сколь 507 506. Га, ХЧШ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
