В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Эта и есть принцип 'локализации, из кото- рого немедленно вытекает другая его форма, высказанная в теореме 2. м' Зл меч'а н ие 3. Как видно из доказательства (и это суьцест- венно!), если бь! тачка х, была концом отрезка [ — и, п), то для локального совпадения в окрестности точки хо продолженных на й функций / и д необходимо (и достаточно), Чтобы заданные лишь на отрезке [ — и, и! исходные функции 1 и у совпадали а окрестности обоих концов этого отрезка.
е.'Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке. О и р е де л е н и е 2. Говорят, чта функция 1: У (х) -з- С„задан. йая в проколотой окрестности точки х ее [~, удовлетворяет в точке х ' уеловиям Дини, если, а) в точке'х существукуг' оба односторонних предела 7(х )=!Нп [(х — !),, [(х„)= !Нп 7(х+1); ! +о с +о Ь) оба интеграла +ь 1 ((*-'(-((*-(л( ! ((*«!-((*.(л( ,) Фо оходятся абсолютно '). е *) ррместся в виду абсолютная сходнмость ннтегрьлн ~ хоть прн яьном- нибудь значении е ) О.
Пример 2. Если )"" — непрерывная в (/(х) функция, удовлетворяющая в точке х условию Гельдера )1(х+!) — Г(х)!«М,!!", 0~:и — 1, то, поскольку тогда справедлива оценка ,1(х+!) — 1 (х) ! М ! - ! - )! ч- ( функция 1 удовлетворяет в точке х условиям Дини. Ясно также, что если определенная в проколотой окрестности 0(х) точки х непрерывная функция ! имеет одйосторонние пределы 1(х ), 1(х„) и удовлетворяет-односторонним условиям Гельдера )1(х+ 1) — )" (х ) ! «М(", !) (х — !) — ) (х ) ! «М!о' где !)О, 0«аз--1, а М вЂ” положительная постоянная, то функция ) по тай же причине, что .и -выше, будет удовлетворять условиям Дини. Оп р еде лени е 3.
Вещественно- нли комплекснозначную . функцию 1 будем называтЬ кусочно непрерывной на 'отрезке.[а, Ц, если существует такой конечный' набор точек а.='хо«х! '... ...«х„=Ь этого отрезка, что функция ) определена, непрерывна на каждом интервале )хр„х![, 1=1, ..., и, и имеет односторонние пределы при подходе, к ега концам. Определение 4. Функцию, -имеющую на данном отрезке кусочно непрерывную производную, будем называть кусочно непреравно дифференцируемой функцией на этом отрезке., Пример 3.
Если функция кусочно непререлвно дифференцируема на отрезке, то она удовлетворяет условиям Гельдера с показателем а= 1 в любой точке этого отрезка (это вытекает нз теоремы-Лагранжа о конечном приращении). Значит, в силу Примера ! такая функция удовлетворяет условиям Дини в любой точке рассматриваемого отрезка. В концах отрезка, разумеется, проверке подлежит только соответствующая односторонняя пара : условий Дини. П р имер 4.
Функция 1(х) = зяп х удовлетворяет условиям Дини в любой тачке х~Р, в том числе и в нуле. Теорема 3 (достаточные 'условия сходимости ряда Фурье 'П точке). Пусть 1: !' — «$ — 2п-периодическая функция„абсолютно 'интегрируемая на отрезке [ — и, и|. Если функция 1 удовлетворяет )е точке х ен Гс условиям Дини, та ее ряд Фурье сходится в точке х, причем ч' (ьл"= ~ ( . (24( Л( ь '2 526 :гк хч>>! ояд а»лье и пововлхзовлнив ллльв ° в22 О о тоиго>!омвтоическин ояд фтлье Используя свойства ядра Дирихле проведем сначала сле- дующие простые преобразования интеграла (22'): «(х) — 2 ~' /( ) «() 1 Г о л — ~ /(х /) 0„(/) //-) — ~ /(х — /) 0„(/) //- — л о -,— ', ! > ! > о о >> > ж > —,' ) > >г - о о >>> лл ! = —,„~'(/(.-/)+/( +/)) О.
(() б/ = о — О„. (/) о(/+ + 1 ( //(» — !) — /(х ) + /1»+/)=/>х+>1р б /!х )+/(х+! 2 л 2«л> — ! 2нл — ! 2- 1 Поскольку 2о!и 2 1 1 при 1->-+О, то Г>лагодаря условиям Дини на основании леммы Римана можно теперь утверждать, что при п->-со последний интеграл стремится к нулю. Замечание 4.
Формула (24) показывает, что ряд Фурье, сходясь к полусумме .односторонних пределов функции / в точке х, совсем не реагирует 'на само значение /(х) функции в точке х. Ничего удивительного в этом не должно быть, если вспомнить, что коэффициенты Фурье, а значит, и сам ряд Фурье ре изме- ' нятся от изменения значения функции в индивидуальной точке. Пример 5. В примере 8 из 2 1 мы нашли ряд Фурье ( 1)о+1 х ~ 2 , з!и /ох (25) о=! функции /(х)=х на промежутке [ — и, и[.
Продолжая функцию /(х) периодично с интервала [ — и, и[ на всю числовую ось, можно считать, что ряд (25) является рядом Фуры этой.продол- .женной функции. Тогда на основании теоремы 3 получаем, что. Х 1)лм —, / х, если )х!(и, 2 о!пйх= [ О, если !х! =и. В частности, при х= —, отсюда следует, что 2' ( — '1)" л 2«+1 4 ' Прим.ер 6. Пусть„аоикб и !а!<1. Рассмотрим 2п-периодическую функцию /(х), задаваемую на отрезке [ — и, п) формулой / (х) =. соз ах. По формулам (4), (5) найдем ее коэффициенты Фурье: а„(/) =-- ) сова»сок пхо(х= 1 (' ! — 1)" ил ла 2а л л ' ак — лк' Ь„(/) = — ~ созихз(ппхо(х=0.
>)о теореме 3 в любой точке х ен [ — >о, п) имеет место равенство 2с! лл ла 1 < — 1>« созахл« вЂ”,+ ~ сових . л ) 2лк л',л ак — л' «=! При х=п отсюда получаем, что с1я па — — = —. т 1 2л л 1 (26) к сю к ~ (с1цяа — — )о(>х= о «=! 1п ~ = ~ !п,!а' — п'(~, «=! что дает !п — = 1! !п(1 — — „,), «! 'н окончательно — = И (1 — —,) при (х! „;1. «=! (2)- Если )а!~'ао(1, то ~ „, „, ~( „, „.„, поэтому стоящий в 1 1 — а( правой части равенства (26) ряд сходится равномерно по а на любом отрезке !а~ (ао~1. Значит, законно его почленное интегрирование, .т; е. г'. хугп Ряд Фурье и ппеовразовлние Фурье $2 ТРИГОНОМЕТРИЯ1ССКИЙ РЯД ФУРЬЕ 1'(ы доказали, таким образом.
соотношение (27), на которое в свое время . ссылались при выводе формулы дополнения для .функции Г(х) Эйлера. 1. Теорема Фейера *). Рассмотрим теперь, последовательность функций Я«(х)+:..+5 (х) и+ (28) являющихся средним арифметическим соответствующих частичных сумм Ео (х), „... Я„(х) тригонометрического ряда Фурье (6) периодической функции 11 И-~С Используя интегральное представление (22') частичной. суммы ряда Фурье, в результате простых преобразований получаем' .()= — „, ~.— ] У( —.~)0х(!)й(- 1 ! «о -и л / я л й = — '] ((х — 1) ~ —, !) О«(!)~ й! = — '] ((х — !) Р"„(() й!. где я ( я я-я е(п (й+ — ~ х «и ( ) 1 ~ «Щ ! Язкн) сне ах — сое(и+1) х Ч~ е!п -хя х мяя' 2 япе — х « 'о Ф «=о 2 1 япе'(л+ — ) х — Р „ (х)— я .3 ;и+!) япе — х тр неотрицательность б„(х) очевидна.
') Л. Фейер (1880 — !956) — известный венссрский математик 1 1 —,сел(л+!) х ( 2/ л+1; ! - ! 2 е1пе — х . (л-1-1; е(пе — х 2. ' ' 2 Функция )с„(х) называется ядром Фейера, точнее и-м ядром - Фейера. Лемма 3 (о свойствах, ядер' Фейера). Последовательность функций ! — Х„(х), если ',х(я=п, Л„(х) = 2л О, если (х!) п, является б-образмой на (с. я Поскольку Далее, 1 Л (х) й =- 1„1 р, (Х) йх = 1 — — 0«(х)йх= — (п+!) = 1. и+1 л~«г 2л л+1 «=о — и Наконец, прн любом б)О + оэ я б„(х)й = ~!р„(х)д = (я е!пе(л+ -) х при п-яоо.
Те о р ем а 4 (Фейера). Пусть (: 'Я-+- С вЂ” 2п-периодическая абсолютно интегрируемая на отрезке [ — и, и] функция. Тогда: -а) если на'множестве Е ~)с функция (' равномерно непрерывна, то оя(х) ~((х) на Е при п-~.оо; Ь) если (яС(И, С), то о„(х) — ( (х) на Я при п -«- со; с) если ( непрерывна в точке х ~ Я; то о„(х)-«.А(х) прй и — со, ' 4 Утверждения Ь) и с) являются специальными случаями утверждения а). Само же утверждение а) является частным случаем общего . утверждения б из 2 4 гл.
ХЧ11 о сходимости свертки, поскольку О„(Х) =х„- ~ ((Х вЂ” !))е„(!)й! =((ФЛ„)(Х). 1 Следств не 1 (теорема Вейерштрасса об аппроксимации тригонометрическими многочленами). Если функция !' [ — и, и]-«-С непрерывна на отрезке [ — и, и] и (( — и) =! (и), то ата функция может быть сколь угодно точно равномермо на отрезке [ — и, и] аппроксимирована тригонометрическими.
многочленами. 4 Продолжая ( 2п-перйодически, получим непрерывную периодическую на (с функцию, к которой по теореме Фейера равномерно сходятся тригонометрические многочлены о„(х). й э а тРНГОИОИВТРический Ряд ФуРье эзо Гд. ХЧИЕ РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Следствие 2. Если функция ) непрерывна в а<очке х, то ее ряд Фурье либо вовсе расходится в этой точке,-либо сходится к ! (х). 4 Формально в проверке нуждается только случай сходимости., Если'последовательность 5„(х) при п — <-ОО имеет предел, то тот же предел . имеет и последовательность о, (х) = „'+ Но по теореме Фейера о„(х»- г(х) при п- со, значит, и 5„(х)- — Г (х) при п - ОО, если вообще предел 5„(х) при п -д со существует. э Замечание 6.
Отметим, что ряд Фурье непрерывной функции и в самом деле может в некоторых точках расходиться. 3. Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов фурье. а. Оценка коэффициентов Фурье гладкой функций. Лемма 4 (о дифференцировании ряда Фурье). Еслц непрерывная функция ! Вн С ([ — и, л], С), принимаюи<ая на концах отрезка [ — и, и] равные, значения ()( — л) =)(И)), кусочно непрерывно дйфференцируема на [ — и, и], то ряд Фурье ее производной Г-Х с,())"" — СО мохсет быть получен формальнымдифференцированием 'ряда Фурье ~Ч, сд (7) е'"" самой функции, т, е.
сд(7"') = !йод(7), Й ен Я. (29) 1 Исходя из определения коэффициентов Фурье (!3), интегрированием по частям находим сд(!') = — [ 7'(х)е-'""йх= . 2л,) л ! . <л ы <' =--1(х)е<д ~, + — в! !(х)е-<д" йх =!йод(7), 2л ~ — ь 2л л поскольку )(и) е-"" — )'( — и) е'д" = О. Утверждение 1 (о связи гладкости функции и скорости убывания ее коэффициентов Фурье). 17усть 7ееС< -м([ — п, и], <Б) и !<<<.( — и)=!«<(и), !'=О, .1, ..., т — 1. Если функция ! имеет на отрезке [ — и, и] кусочно непрерывную производную [<"' порядка т, то с„(7< ') =(гй! с„(»), /галл„ (30) ьуг )сд(!)!= д„"=о( — „) при lг- ОО, й л„- (31) СО .лРичем ~ч, Уд ~ОО. М 4 Соотношение' (ЗО) получается в результате т-кратного егиспользования равенства (29) $ у,, сд(7<Ф<) =(!Ь)сд(!'< -") =...=(Й) сд(Д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
