В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 118
Текст из файла (страница 118)
ХЩП. РЯД ФУРЬЕ И ПВЕОВРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 5 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ) Функция ~' иптегрируема на Р, то ((х) имеет предел и при х — Р— сю, и при х — у-+со; Ь) функции ) и )' интегрируемы на Я, то ) (х)- 0 при х — О. 4 П При указанных ограничениях на функции (, (' имеет место формула Ньютона — Лейбница г(х) = — ((0)+ ~ )' (г) сп. ь В условиях а) правая часть этого равенства имеет предел как при х- -1-:ю, так и при х-~.— сс. Если же имеющая пределы на бесконечности функция г инте.грируема на 1,', то оба эти предела, очевидно, обязаны быть равны нулю. Теперь докажем Утверждение 1 (о связи гладкости функции и скорости убывания ее преобразования Фурье).
Если (ее Спи=(Р, К) (к = =О, , 1, ...) и все функции 1', )', ..., 1Чю абсолютно иптегрируемы яа Р, то а) при любом и ~ (О, 1, ..., /г) ~~"' Я) = ((э)" 1 (5), (28) Ь) )($) =о~-;,) при $- О. М Если й=О, то а) тривиально верно, а Ь) следует из леммы Римана. Пусть й)0. По лемме 2 функции,', Г, ..., Гм-м стремятся к нулю при х- сс. Учитывая это, выполним интегрирование по частям: ('"'(ь): =- =-- 1!А'(х) е-ц" дх 1'2л,1 А1 ==~~'ь-м(х)е-ц'/+ -! (!$) ~ )!А-м(х)е-над Таким.
образом, равенство (28) установлено.' Мы показали, что (($) = (!6)-Ар!ю Я), но по лемме Римана )чь) (6)-~-0 при $- О, поэтому утверждение Ь) тоже доказано. В виду почти полного совпадения прямого и обратного п еобразований Фурье справедливо следующее, дополнительное к ут- реовержденню 1. Утверждение 2 (о связи скорости убывания функции и гладкости ее преобразования Фурье).
Если локально интегрируемая Функция !': Р- Я такова, что функция хьт'(х) абсолютно интегрируема ка Р, то: а) преобразование Фурье Функции !' принадлежит классу СА1Е, ()): Ь) имеет место неравенство ((ю ($) = ( — ()ь,у (хь((х)] ($) (29) м Для к=О соотношение (29) тривиально выполнено, а непрерывность (($) уже была доказана в лемме 1. Если й)0, то при п(Й на бесконечности имеет место оценка !х"!(х) ~-= ~хь)'(х) (, из которой следует абсолютная интегрируемость функции х")'(х). Но' !х'1(х) е-"'~ « ~ х"((х) (, что позволяет, ссылаясь на равномерную по параметру $ сходимость соответствующих интегралов, последовательно провести их дифференцирование под знаком интеграла: Ф 1($) == ( ((х)е-и" йх, )/2л ~' ф = ~ хг (х) е ц' ах, ((А! (6) = ( ~ хь((х) е-'ь" с(х.
1' 2л Последний интеграл по лемме 1 является функцией, непрерыв- ной по $ на всей числовой прямой. Значит, действительно, Г ~ еп С!А! (!к, 1В). с. Пространство быстро убывающих функций. Определен ие 4. Обозначим символом Ф'(Я, !о) или более коротким символом У' совокупность всех функций ! епС< ~((,', Щ, удовлетворяющих условию зцр !ха(! (х)!<со, У~в каковы бы ни были неотрицательные целые числа а и р. Такие функции называют быстро убываюи(ими (при х- со). Совокупность быстро убывающих функций, очевидно, образует линейное пространство относительно стандартных операций сложе- ния функций и умножения функции на комплексное число. Пример 7.
Функция е-" и все финитные функции класса С,' '(Я, Я) входят в х'. Ле м м а 3. Ограничение преобразования Фурье на е9' является автоморфизмом ег' как линейною прострапспма. 666 Гл. ХЧП! РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОБАННЕ ФУРЬЕ 4 Проверим, что ДАРУ)~(~еееу'). Для этого .заметим сначала, что по - утверждению 2а) ~С< <(Я, $), Далее заметим, что операция умножения на х" (а)0) и операция 0 дифференцирования не выводят из класса быстро убывающих функций. Значит, при любых целых неотрицательных значениях а и р из того, что ! Ен ь9', следует, что функция О«(А ~(х)) принадлежит пространству еУ'.
Ее преобразование Фурье по лемме Римана стремится к нулю иа бесконечности. Но по формулам (28), (29) Р(О«(х")(х))](6) =<' «07<"<(й), и мы показали, что $«)<"<(с)- 0 при $- со, т. е. ! ~Фу'. Покажем теперь, что преобразование Фурье Р: Ф' — ».Ф' отображает РР' на все множество »9'. Напомним, что прямое и обратное преобразования Фурье связаны простым соотношением к [цд)= р'И( — $) или, короче, ) (6) * < ( — $). изменение знака аргумента функции, очевидно, является операцией, переводящей множество ФР' в себя.
Значит, Оператор У (обратное преобразование Фурье) тоже переводит про- СтраиетВО ьу. В СЕбя. Наконец, если ) — произвольная функция нз ФУ', то, по доказанному, <р =! Ен а9' и по формулам (24») получаем, что г= ф. Линейность отображения «: ФК- ьг очевидна, поэтому лемма 3 теперь полностью доказана. 3. Важнейшие аппаратные свойс<лка преобразования Фурье. а. Некоторые определения, обозначения и примеры. Выше мы достаточно подробно рассмотрели преобразование Фурье заданной на вещественной прямой функции ~: Р— е,. В частности, мы уяснили связь, существующую между свойствами регулярности самой функции и соответствующими свойствами ее преобразования Фурье. Теперь, когда этот вопрос в принципе решен, мы будем рассматривать преобразования Фурье только достаточно регулярных.
функций, чтобы в концентрированной форме н без технических осложнений изложить фундаментальные аппаратные свойства преобразования Фурье. Взамен мы рассмотрим не. только одномерное, но и многомерное преобразование Фурье и выведем его основные свойства практически независимо от изложенного выше.
Определение 5. Пусть г: )кл-».< — локально интегрируемая на Цл функция. Функция 1(й):=,~.Щ(~):=, '„„11( )~- ц *~бх (30) Р» называется преобразованием Фурье Функции <. « Е ПРЕОБРАЗОБАНИЕ ФУРЬЕ При этом имеется в виду, что х=(хм "° * хл) ь=(ь!. "° Ьл)* ($, х)=Б<х<+...+$„х„, а интеграл считается сходящимся в следующем смысле главного значения: ~ <«1х„..., х„)<(х! ... <(х,: = Ел А А )<ш ~ ... ~ <р(х„..., хл)<(х! ...
<(хл. А -<-сл В таком случае многомерное преобразование Фурье (30) можно рассматривать как и .Одномерц)ех преобразований Фурье, проведснных по каждой из переменных х„..., хл. Тогда, когда функция ( абсолютно ннтегрируема, вопрос о томь в каком смысле понимается интеграл (30). очевидно, вообще не возникает. Пусть <х= (а„ ..., ал) и р = (р„ ..., 8„) — мультииндексы, состоящие из неотрицательных целых чисел ау, ~у, )=1..., п, и пусть, как всегда, В" обозначает оператор дифференцирования а< "< порядка <а~: =а<+...+а„, а х«: =х,' ... хлл Определение 6.
Обозначим символом ФУ(Р», <В) или, если не возникает недоразумений, символом ьг", совокупность всех функций ) ее С< "<(й", $), удовлетворяющих условию Бпр <х«О"~(х) < (со, »ее~ каковы бы ни были неотрицательные мультниндексы а и р. Такие функции называют быстро убывающими (при х- со). Множество ФР' с алгебраическими операциями сложения функций и умножения функции на комплексное число, очевидно, является линейным пространством.
Пример 8, Функция е-«'', где ~х<л=х,*+...+х„", и все финитные функции класса С,', <(Р, <Б) входят в ФУ. Если ~~ФР', то интеграл в соотношении (30), очевидно, схо- х дится абсолютно и равномерно по $ на всем пространстве Ял. Более того, если )'ее ФУ, то в соответствии со стандартными правилами этот интеграл можно дифференцировать сколько угодно раз по любой из переменных,$„ ..., $„. Таким образом, если 16= ех", тО 16= С<к»)(Р», О.
П р и м е р 9. Найдем преобразование Фурье функции ехр ( — ~ х <'/2). При интегрировании быстро убывающих функций, очевидно, можно пользоваться теоремой Фубнни и, если требуется, то можно беспрееятственно менять порядок несобственных, интегрирований. Гл. ХЧП1 РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В данном случае, используя теорему Фубнни и пример 4, находим 1 Е-1» "/2 Е-/ц '1 ПХ= (2я)л/2 Рл л»к л 1 — к /2 — ц.к/ 1 И Л//2 Ц 1 — к /2 — Ц.к — 22/2 )'2я ) 1'= 1 'ОЭ /=1 Теперь выделим и докажем основные аппаратные свойства преобразования Фурье, считая, чтобы избежать технических осложнений, что преобразование Фурье применяется к функциям класса лу'.
Ь. Линейность, Линейность преобразования Фурье очевидна: она следует из линейности интеграла. с. Взаимоотношения оператора дифференцирования и преобразования Фурье. Имеют место формулы й' 10»1] ($) (1) а ььа1 (ьь) . (3П Р 1Х 1 (Х)1 (й) = (1) а 0 1(З), (32) 4 Первая из иих получается, как и формула (28), интегрирова(/нем по частям (разумеется, с предварительным использованием теоремы Фубини, если речь идет о пространстве Рл размерности и) 1).
Формула (32) обобщает соотношение (29) и получается прямым дифференцированием интеграла (30) цд параметрам 51, ..., $„. Р Замечание 1. Ввиду очевидней оценки 17(В)) ~ — „',„— „~!1(х)!пх<+,, Ел из равенства (31) вытекает, что 1(е)-РО при $ — ~-ОО, какова бы ни была функция 1 я Ру', поскольку 0"1 ев д'. Далее, совместное использование формул (31), (32) позволяет написать, что Р 10З(х»1(х))](~) =(1)) а +~ з ~~0,1(З) откуда следует, что если 1ев »У, то при любых неотрицательных мультииндексах а и )) зз0»1(а)- О, когда а- ОО в йл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
