В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 121
Текст из файла (страница 121)
Опираясь на полученный результат, истолкуйте теперь Физический смысл членов ряда Котельникова (46) и предложите принцип»гальку»о схему передачи сигнала ) (1), имеющего финитный спектр. основанную на «юрмуле Котельникова (46). 8. Пространство Л. Шварца. Проверьте, что; а. Если Ф»м ау«, а Р— полинам, то (Р Ф) ш а9'. Ь. Если»р ш а9', то 0гф ш а9' и 06 (Р0'гр) ш Р9, где а и () — произвольные неотрицательные мультииндексы, а Р— полипом. с. В аК вводится следующее понятие сходимости. Последовательность (ц»э) функций»рг»ы Р9' считается сходящейся к нулю, если для любых неотрицатель. ных мультииндексов а, () последовательность функций (хрЕю»рв) сходится к нулю равномерно на й«, Соотношение ц»э -«ц»»м а9 будет означать, что (Ф вЂ” гр») -«О в Р9' Линейное пространство г9г быстро убываю»цих функций, снабженное указан ной сходимостыо, называется пространспгвом Шварца.
Покажите, что если Фэ-«Ф в е9', то и уь-«4» неT при д-«о». Таким образом, преобразование Фурье является линеиным непрерывным преобразова. пнем пространства Шварца. 9. Пространства а9" обобщенных функций умгргннага раста. Линейные непрерывныефункционалы, определенные на пространстве а9'быстро убывающих функций, называют обобщенными функциями мгдлгннага или умеренного раста. Линейное пространство таких функционалов (сопряженное к пространству а9') обозначают символом а9"..Значение функционала Р»ы а9»' на функции 4» ш а9' будем записывать символом Р (4»).
а. Пусть Р: (2п .3 — полинам от л переменаых, а Е (2«-«С — локально интегрируемая фунипия, допускающая на бесконечности оценку ~ ) (х) ~ ( ( Р (х),' (т. е., быть может, растущая при х-«со, но уыеренно: не быстрее, чем степен- ным образом). Покажите, чга тогда ) можно считать (регулярным) элементом пространства а9", если положить Ц~Р) = ~ ) (х) Ф (х)г(х (Ф ш аул]. иа Ь. Умножение обобщенной функции Р ез а9" на обычную функцию Д (2«-«С определяется, как всегда, соотношением ()Р) (»р):=Р 9р). Проверьте, что для обобщенных функций класса Я" корректно определено умножение не только на функции 7»м Р9', но и на полиномы Р: (7«-«С.
с. Дифйере»широваиие обобщенных функций Р»м а9' определяется гради пионным способом: (0ар) (»р):= ( — 1) 'Р (0«Ф)- Покажите, что это определение норректно, т. е, если Р «и а9", то и 0ар ше9»» при любом неотрицательном целочисленном мультииндексе а (ап ..., а„] д. Еслд 1 и»Р достаточно РегУлЯРные ФУикции (иапРимеР, класса а9), »о, как видно из соотношения (88), имеет место равенство ) (»р) = ~ ) (х) гр (х) дх = ~ ) (х) Ф (х) дх =1 (»р). ил иэ 583 й З ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 582 (2п) л/Я (2Л)л/3 Ел 6(х — п) = !'пп ~ 6(х — п) Π— »О (-„ г =)/2п ~ ', 6(х — 2пл), Гл.
ХУ»Н. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОНРАЗОВАНИЕ ОУРЬЕ Это равенство (Парсеваля) и кладут в основу определения преобразования Фурье Р' обобщенной функции г еи ОУ'. полагая по опРеделению, что Р (ф);= Е (ф). Ьлагодаря ннвариантности пространства нтл относительно преобразонания Фурье, это определение корректно для любого элемента Г »и е»/ь'. Покажите, что оно не является корректным для обобщенных функций про. странства »И' фл), действующих на пространстве Я((ы) гладких фнннтных й ункций.
Именно этим обстоятельством н объясняется роль пространства еT варца в теории преобразования Фурье и его применении к обобщенным функциям, е. В задаче 7 мы получили начальное представление о п[/еобразовании Фурье 6-функции. Преобразование Фурье 6-фуннцин мбжно было бы наивно искать прямо по общему определению преобразования Фурье регулярной функции Тогда мы нашли бы. что Покажите теперь, что- при корректном отыскании преобразования Фурье обобщенной функции 6 ш О9'" (Пл), т. е., исходя из равенства 6(ф).=6(ф), 1 получается [то же самое), что 6 (ф) ф(0) —. Итак, преобразование (2п)л/а ' Фурье 6-функции есть постоянная функция.
(Можно перенормировать преобра. зование Фурье так, чтобы эта константа была равна единице, см задачу 10.) 1. сходимость в О5Р', как всегда в обобщенных функциях, понимается в следующем смысле: (Ел- Р в е»~' при а-Оса):=(ыф ш е5О (Е (ф) -ОЕ (ф) при и; со)) Проверьте формулу обращения (интеграл Фурье) .для 6-функцни: Я 6(х) Вш — ~ ... ~л3(Е)е" [ г[пй.
Л + ОО (2П)л/а,) — / ( й. Пусть 6(х — хэ), как обычно, означает сдвиг 6-функции в точку кэ. т. е. 6(х-х,)(ф) ф(х,) Проверьте, что ряд сходитсн в пространстве р7'((с) (здесь 6 шезл'((с) и пен Е). )» Используя возможность почленно дифйеренцировать сходящийся ряд обобщенных функций н учитывая равенство из задачи 131, й 2, покюките, что если Г ~ 6(х — а), то !. Используя соотношение Р' «р)=Е (ф), получите из предыдущего результата формулу Пуассона (4!). й Докажите следующее соотношение (0-((юрлулп) »О ОО - П* ~/" 1) .
" (1>0), играющее важную роль а теории эллиптических функции и теврии теплопро. водности. 10. Если преобразование Фурье' З' ()) функции й П -О С определить формулой 1(ч): =л. (Л(ч):= ) 1(/)е ' 'Кд 'то многие относящиеся к преобразованию Фурье формулы станут особенно простыми и изящными а.
Проверьте, что 1 (и) = = / ! — ~ . )/2ц ~2п~' Ь. Покажите, что Х(У(Л! (1)=1( — /), т е. /(1) ОО ) /(ч) е /»' »[ . Зто наиболее естественная форма разложения 1(В по гармоникам различных частот ю а /(ч) в этом разложении есть чостотный спектр функции 6 с.
Проверьте, что 6= 1 и 1=6. д. Убедитесь в том, что формула Пуассона [41) теперь принимает особенна изящный вид СО»О ф [а) - ~ ф(л). Гл. х!х Асимптатические РАзлОжения 885 ГЛАВА Х1Х АСИА4ПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ Большинство явлений, с которыми нам приходится сталкиваться, в математическом отношении характеризуется некоторым набором числовых параметров с довольно сложной зависимостью между ними. Однако описание явления, как правило, существенно упрощается, если известно, что некоторые из этих параметров или их комбинации очень велики или, наоборот, очень малы.
Пример 1. При описании относительных движений, происходящих со скоростями о, много меньшими скорости света (,'с! ~с), вместо преобразований Лоренца (гл. 1, 2 3, пример 3) .=~-;; =~~-:) можно использовать преобразования Галилея х' =х — ог, поскольку огс — О. П р и м е р 2. Период «и» Т=4 о колебаний маятника через параметр Й'=з!и»-28 связан с угло у, мгро максимального отклонения маятника от положения устойчивого равновесия (см. гл.
У1, 2 4). Если колебания малы, т. е. <ро=О, то для периода таких колебаний получается простая формула Т 2п 1«г / е Пример 3. Пусть на частицу массы т действует возвращающая ее в положение равновесия сила, пропорциональная величине отклонения (пружина с коэффициентом жесткости й), и сила сопротивления среды, пропорциональная (с коэффициентом а) квадрату скорости частицы. Уравнение движения в этом случае имеет вид (см гл У 2 6) тх+а(х)»+/гх= О.
Если среда «разрежается», то а- О и, надо полагать, движение становится близким к описываемому уравнением тх+/гх,—.. О ./ ь') 1гаРмонические колебаниЯ частоты "гл — и а если сРеда «гУстеет», ш г то а-+.оо и, поделив на а, получаем в пределе уравнение (х)' = = О, т. е. х(!) = — сопз!. Пример 4. Если п(х) — количество простых чисел, не превосходящих хан !«, то, как известно (см. гл. 1П, 5 2), при боль-" ших значениях х величину п(х) с малой относительной погрешностью можно находить по формуле Х п(х) -.—. 1а к ' Пример 5. Куда более тривиальными, но не менее важными являются соотношения з!и х= х или )и (1+х) =х, относительная погрешность в которых тем меньше, чем ближе х к нулю (см.
гл. У, 2 3). Эти соотношения при желании могут быть уточнены, 51ПХ Х вЂ” — Хо, !П(1+Х) Х вЂ” — Х 1 1 3! 2 приписыванием одного или более следующих членов, получаемых по формуле Тейлора. Итак, задача состоит в том, чтобы найти обозримое, удобное и в существенном правильное описание изучаемого явления, используя специфику ситуации, возникающей, когда какой-то характеризующий явление параметр (или комбинация параметров) мал (стремится к нулю).или, наоборот, велик (стремится к бесконечности). Значит, по существу речь снова идет о теории предельного перехода. Задачи такого рода называются асимптотическими. Они возникают, как можно понять, практически во всех отделах математики и естествознания.
Решение асимптотической задачи обычно состоит из следующих этапов: выполнение предельного перехода и отыскание (главного члена) асимптотики, т. е. удобного упрощенного описания явления; оценка погрешности, возникающей при использовании найденной асимптотической формулы, и выяснение области ее при- Гл Х1Х АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ $1. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД менимости; уточнение главного члена асимптотики, аналогичное (но далеко не всегда столь алгоритмичное) процессу дописывания следующего члена в формуле Тейлора. Методы решения асимптотических задач (называемые асимптотическими методами) обычно весьма тесно связаны со спецификой задачи. К числу редких достаточно общих и в то же время элементарных асимптотических методов, конвчно, относится фор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
