В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 123
Текст из файла (страница 123)
задачу 5 в конце параграфа. 2. Общие сведения об асимптотических рядах. а; Единственность асимптотического разложения. Говоря об асимптотическом поведении функции при некоторой базе =%, мы интересуемся лишь характером предельного поведения, функции, поэтому если какие-то две, вообще говоря, различные, функции ! и у совпадают на некотором элементе базы йд, то они имеют одинаковое асимптотическое повеление при базе,% и в асимптотическом смысле должны считаться совпадающими.
593 592 Гл Х!Х АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 2 1. АСИМПТОТИЧЕСКИИ РЯД Далее, если заранее фиксировать асимптотическую последовательность (ф,), по которой . желательно вести асимптотическое разложение, то надо считаться с ограниченными возможностями любой такой системы функций (ф„).
гг именно, найдутся функции, которые при данной базе бесконечно малы в сравнении с любым членом ф„асимптотической последовательности (ф„). Пример 10. Пусть гр„(х)= — „, п=О, 1, ..., тогда е-'= ! Х = о(гр„(х)) при х — г-+оо. Таким образом, естественно принять Оп р еде лен не 5. Если (ф„(х)) — асимптотическая последовательность при базе З,~то функция 1 такая, что для каждого п=О, 1, ..., 1(х)=о(грл(х)) при базе .%, называется асимптотическим нулем относительно последовательности (гр„(х)). Определение 6. Функции ( и д будем называть асилитотически совпадаюгцими при базе оЗ относительно последовагпельноспги функций (ф„), асимптотической при базе .%, если разность 1 — д этих функций является асимптотическим нулем относительно последовательности (гр„). Утверждение 1 (о единственности асимптотического разложения).
Оуспгь (гр„) — асимптотическая ггоследовавельность функций при некоторой базе З. а) Если функция г' допускает асилттотическое разложение по последовательности (ф,) при базе 2%, то вто разложение единственно. Ь) Если функции'1 и д допускают асимптотическое разложение по системе (ф„), во вти разложения идентичны в том и волька в вом случае, когда функции г' и у асимптотически совпадают при базе 2% относипгельно последовательности (ф„). ~ а) Пусть функция гр не раина нулю тождественно на элементах базы '%. Покажем, что если )(х) =о(ф(х)) при базе % и одновременно Г" (х)=сф(х)+о(гр(х)) при базе:З, то с=О. ДЕйСтВИтЕЛЬНО, г г (Х) ~ =ь / Сф(Х) ', — ~ О (гр (Х)) ~ = ~ С ~ 1 гр (Х) ',— — о(,'гр(х)/) при базе З, поэтому, если /с~)0, то найдется элемент В, базы %, в любой точке которого будет выполнено нера~с~ венство ~ г' (х) ~ ~ — ~ гр (х) ~. Если же г" (х) = о (ф (х)) при базе,%, то найдется элемент В, базы %, в любой точке которого ~((х)1- 1с~ « — ~ф(х),'.
Значит, в любой точке хееВ,ПВ, должно быть гс1, , гс' выполнено неравенство — , 'гр(х)1« — '~гр(х)~ или, в предположении, что >~с)ФО неравенство 3!ф(х)'«2гф(х)~. Но это невозможно, если ф(х)~0 хотя бы в одной точке хееВ ПВ . Р 1 2 ассмотрим теперь асимптотическое разложение функции ( по последовательности (гр„).
ПУсть ! (х) = софо (х) + о (фо (х)) и гг (х) = софо (х) + о (фо (х)) прн базе %. Вычитая второе равенство из первого, получаем, что 0=(со — со) гро(х)+о(гро(х)) при базе:.%. Но О=о(гро(х)) при базе 2%, значит, по доказанномУ со — со — — О. Если совпадение коэффициентов с,=со, ..., с„,=с,, двух разложений функции 1 по системе (р„) уже доказано, то из равенств 1(х) = софо (х) +... + с„гф„г (х)+ с„гр„"(х)+ о (ф, (х)), Р (х) = софо (х) +...
+ с„ггР,, (х) + с„ф„(х) + о (1Р„(х)) тем же способом получаем, что и с„=с„. Ссылаясь на принцип индукции, заключаем, что утверждение а) верно. Ь) Если при любом п=-О, 1, ... )(х)=софо(х)+...+с,ф„(х)+ +о(гр„(х)) и у(х)=ссср,(х)+...+ссср„(х)+о(гр„(х)) при базе %, то.при любом я=О, 1, ... )(х) — д(х)=о(гр,(х)) при базе:З, и, значит, функции 1 и д асимптотически совпадают относительно асимптотической последовательности (ф„(х)).
Обратное утверждение следует из а), поскольку асимптотический.нуль, в качестве которого мы возьмем разность 1 — 'д, должен иметь только нулевое асимптотическое разложение. Замечание 4. Мы обсудили вопрос о единственности асимптотического разложения. Подчеркнем, Однако, что само по себе асимптотическое разложение функции по заданной наперед асимптотической последовательности возможно далеко не всегда, Не всегда же две функции 1 и д вообще должны быть связаны одним из асимптотических соотношений )=0(у), (=о(д) или 1 д при базе %. Довольно общая асимптотическая формула Тейлора, например, указывает конкретный класс функций (имеющих при х= 0 производные до порядка и), каждая из которых заведомо допускает асимптотическое представление г'(х) =г(0) + г-('(О) х+...
+ -(1"'(0) х" + о(х") при х — 1-0, Но вот уже функции х'г' нельзя дать асимптотическое разложение по системе 1, х, х', ... Таким образом, асимптотическую последовательность и асимптотическое разложение не следует отождествлять с некоторым каноническим базисом и разложением по нему любой асимптотики.
Возможных видов асимптотического поведения много болыпе того, что может описать фиксированная асимптотическая последовательность, поэтому описание асимптотического поведения функции это не столько разложение по заранее заданной асимптотической системе, сколько ее отьгскание. Нельзя, например, вычисляя неопределенный интеграл от элементарной фушсции, заранее требовать, чтобы ответ был АсимптОтический Ряд ь94 Гл.
Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ композицией определелных элементарных функций, потому что он вообще может не быть элементарной функцией. Поиск асимптотических формул, подобно вычислению неопределенных интегралов, представляет интерес лишь в той степени, в какой ответ проще и доступнее для иеследования, чем исходное выражение. Ь. Допустимые действия с асимптотическими формулами. Элементарное арифметическое свойство символов о и 0 (такие, как о(д)+о(д)=о(д), о(у)+0(й)=0(д)+0(а) 0(д) и т. п.) были рассмотрены еще в теории предела (гл.
П1, 9 2, утверждение 4). Из этих свойств и определения асимптотического разложения вытекает очевидное У т в е р ж де н и е 2 (о линейности асимптотических разложений). Если функции / и й допускают асимптотические разложе- ниЯ / ~ а,ф„, д ~Ч ЬлкР» по асимптотической последователь- ' »=о «О ности (ф„) при базе З, то их линейная комбинация а/+()а также допускает такое разложение, причем (а!+ Ц) — „У, (аа»+ рЬ») ф ° л=с Дальнейшие свойства асимптотических разложений и вообще асимптотических формул будут относиться ко все более специальным случаям.
Утверждение 3 (об интегрировании асимптотических равенств). Пусть / — функция, непрерывная на промежутке 1 1а1 в1 (или на промежутке 1=1в, а1). а) Если функция д' непрерывна, неотрицательна на проме- И жутке /; а интеграл ~ д(х) йх расходится, то из соотношений а /(х)=0(у(х)), /(х)=о(д(х)), /(х) й(х) при /еэх- в вытекает соответственно, что Е(х)=0(6(х)), Е(х)=о(6(х)) и Е(х) . 6(х), где к к г (х) = г)/ Я й/ и 6 (х) = г)й (/) й/. а а Ь) Если непрерывные положительные на промежутке 1=(а, в( функции фл(х), п=О, 1, ..., образуют асимптотическую последовательность при 1 ~ х — в, а интегралы Фл(х)=~фа(/)й/ при к хее 1 сходятся, то функции Ф„(х), и =О, 1, ..., тоже образуют асимптотическую последовательность при / ~ х -~- в.
с) Если, интеграл,г' (х) = 1/ (х) йх сходится и функция / имеет асимптотическое разложение /(х) „У~ с„кр„(х) при !=-зх-~-в по «=0 указанной анной в Ь) асимптопшческой последовательности (фл(х)), то а« для г' справедливо асимптотическое разложение г'(х) ~ с»Ф» (х). л=0 4 а) Если /(х)=0(а(х)) при ! =эх- в, то найдутся точка х,ее ! и постоянная М такие, что )/(х))~М~у(х) ! при.
хен И непрерывности функций / и д на отрезке (а, х»1 ство следует, что тог а о о да на всем отрезке l имеет место неравен ~р<л~ с~к<», ° .„, 1р~~>ж/~сДк«>а~!=«»1«р>аг). а а Для доказательства оставшихся двух соотношений можно воспользоваться (как и -в примере 7) правилом Лопиталя, учитывая, что 6 (х) = ~ д(1) й/- ОО при 1 ~ х- в.
В результате получим, что г (к) . г ' (к) ,. / (х) гэк ь (к) Ь) Поскольку .Фл(х)- О при 1~х- в (и О, 1, ...), то, вновь применяя правило Лопиталя, находим, что Ф (к) Ф„' (к) олы (х) Фл (К) Г „Ф'„(К) 1 к, „~р„(К) с) Функция г„(х) в соотношении / (х) = сь (х) + сефе (х) +. ° ° + слкрл (х) + г» (х) как разность непрерывных на 1 функций, сама непрерывна на / и, очевидно, //„(х)=)г„(1)й/- О при 1ых- в.
Но гл(х) = о(ф„(х)) при !=эх- в и Фл(х) — «.О при /=эх- в, поэтому из того же правила Лопиталя следует, что в равенстве г (х) = с»Ф»(х)+с,Ф, (х)+, +С„Ф„(х)+ Е„(х) величина Я„(х) есть о(Ф»(х)) при ! ~ х- в. 3 а м е ч а н и е 5. Дифференцирование асимптотических равенств и асимптотических рядов, вообще говоря, незаконно. Пример 11. Функция /(х) е-кз(п(ек) непрерывно дифференцируема на Я и является асимптотическим нулем относительно асимптотической последовательности Я при х- + со. Производ- 1 ные от рункци ф нкций „вЂ” „снова с точностью до множителя имеют вид — „, Гл.
Х1Х АСИМПТОТИЧЕСКИЕ.РАЗЛОЖЕИИЯ О 1, АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД ОДиаКО ФУНКЦИЯ 1'(Х) = — Екэ1П(Ек)+СОЗ(гк) НЕ ТОЛЬКО НЕ ЯВЛЯ- ется асимптотическим нулем, но вообще не имеет асимптотического !1! разложения по последовательности т„—,! при х- +со. 3, Степенные асимптотические ряды. Остановимся в заключение на степенных асимптотических разложениях, которые встре-. чаются особенно часто, хотя порой и в некотором обобщенном виде, как это было в примере 8. Мы будем рассматривать разложения по последовательности (х"; п=О, 1, ...[, асимптотической при х — 1-0, и по последова- 11 тельности [-„-; п=О, 1, ...~, асимптотической при х — 1-со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
