В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 125
Текст из файла (страница 125)
Асимптотнка интегралов (метод Лапласа) 1. Идея метода Лапласа. В этом параграфе будет изложен метод Лапласа †од нз немногих достаточно общих методов построения асимптотики интеграла, зависящего от параметра. Мы ограничимся рассмотрением интегралов вида о. г" (Л) = г)1(х) е'э<к) <(х, (1) а где 5 (х) — вещественнозначная функция, а Л вЂ” параметр. Такие интегралы обычно называют интегралами Лапласа. П р и м е р ! . Преобразование Лапласа Ь (1) а = $1( ) х 1 о является частным случаем интеграла Лапласа.
Пьв имер 2. Сам Лаплас Применял свой метод к интегралам вида ~(Лх)<р" (х)с(х, где 'лен!Л), а <р(х)) 0 на 1а, Ь[. Такой инте- а грал тоже является частным случаем-общего интеграла Лапласа (1), поскольку <р" (х) = ехр (и!и <р(х)). Нас будет интересовать асимптотнка интеграла (!) при больших значениях параметра Л, точнее, при Л- +Ос, Лен(ч, Чтобы при описании основной идеи метода Лапласа не отвлекаться на второстепенные детали, будем считать, что в интеграле (1) [а, Ь]=1 — конечный отрезок, функции )(х) и 5(х) гладкие на <', причем 5 (х) имеет единственный и' притом строгий максимум 5(х,) в точке хо ы <'. Тогда функция ехр(Л5'(х)) тоже имеет строгий максимум в точке х„который тем более резко возвышается над остальными значениями этой функции на отрезке 1, чем больше значение.
параметра Л. В результате, если.г(х)дьО в окрестности х„то весь интеграл (1) можно заменить интегралом по сколь угодно малой окрестности точки х„допуская при этом относительную погрешность, стремящуюся к нулю при Л-а.+со. Это 'наблюдение называется принципом локализации.
Обращая историческую последовательность событий, можно было бы сказать, что этот принцип локализации для интегралов Лапласа очень Выполнив в последнем интеграле замену — Л5 (х,) р = — и' (ведь 5" (х,) ( 0), получаем ! 2 е о<Л. е) — е — о п„е) где <р(Л, е) = у — е -«+со при Л вЂ” «+со. Л5" (хо) Учитывая, что ~ е — а*<(и [/ я переменной напоминает принцип локального действия 6-образных семейств функций и самой б-функции. Теперь, кс<гда интеграл берется только по малой окрестности точки х,, функции 1(х) и 5(х) можно заменить главными членами их тейлоровских разложений при ! ~ х-а.хо.
Остается найти аснмптотику <юлучаемого канонического интеграла, что делается без особого труда. В последовательном выполнении этих этапов и состоит по существу метод Лапласа отыскания асимптотикп интеграла. Пример 3. Пусть х, = а, 5' (а) Ф 0 и 1(а) Ф О, что бывает, .например, когда функция 5(х), монотонно убывает на отрезке [а, Ь). При этих условиях 1(х)=!'(а)+о(1) и 5(х)=5(а)+ + (х — а) 5'(а)+о(!), когда < ~ х-ьа. Реализуя идею метода Лапласа, при малом Е»О и Л вЂ” ь+сс находим, что а -<- е е р (Л) ~ )(х)е«з оп с(х )(а) ехз<а) ~ ел<а <а) <(( и о (1 е«э' <а) е) < (а) Еьж<а) Л5' (а) Поскольку 5' (а) (О, отсюда следует, что в рассматриваемом случае 1 (п) е«Я <а) г (Л) —, при Л -ь+ сс. (2) Л5 (п) Пример 4.
Пусть а(хо~Ь. Тогда 5'(хо)=0, и мы предположим, что 5" (х,) ЗАО, т. е. 5" (хо)(0, поскольку х,— точка максимума. Используя разложения 1(х) =)(хо)+о(х — х,) и 5(х) = 5(хе) + + — 5" (х,) (х — х,)'+о((х — хо)'), справедливые при х — а-х„нахо- 2 дим, что при малом е) 0 и Л-а-+со на+ и — АЗ" <к,) П г".(Л) ~ 1(х)ела<к)<(х )(хо)еха<"а) ~ ез ' '<(1. 664 Ь Е АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (6) )!(х, Х)О(х при Х вЂ” «+со, х (б) а ~~О 1 > (» О ) (7) Га. Х>Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ находим теперь главный член асимптотики интеграла Лапласа в рассматриваемом случае: Р(Х) ' 1/ — — „"" !(ха)елзон при Л- +со. (2) '1 Пример б.
Если х,=а, но 5'(х,)=0 и 5" (хь)(0, то, рассуждая, как и в примере 4, на сей раз получим, что а+О О > лз-ы >, Р(Х) ~ !(х) еле < "> йх !(хь) еле Рн> ~ е' ду, а О и, значит, Е (Х) — л> — —. ! (хь) елз > " при Х-~-+ со. (4) 2 $' ЛБ" (ХО) Мы получилй на эвристическом уровне три наиболее употребительные формулы (2) — (4), относящиеся к асимптотике интеграла (1) Лапласа. Из приведенных рассмотрений ясно, что метод Лапласа с успехом можно использовать, при исследовании асимптотики любого интеграла если: а) для этого интеграла имеет место принцип локализации (т.
е. весь интеграл можно заменить эквивалентным ему при Х- -«+оо интегралом, взятым по сколь угодно малым окрестностям некоторых выделенных точек) и Ь) если в локализованном интеграле подынтегральную функцию удается заменить более простой, для которой асимптотика, с одной стороны, совпадает с искомой, а с другой стороны, легко находится. Если, например, в интеграле (1) функция 5(х) имеет на отрезке )а, Ь] несколько точек локального максимума х„х„..., х„, то, используя аддитивность интеграла, заменим его с малой относительной погрешностью суммой таких же интегралов, но взятых по столь малым окрестностям (! (х!) точек максимума хь, х„..., х„, что в них содержится только по одной такой точке. Асимптотика интеграла ((х) елз <к> йх при Л->--1-со, о (~>) как уже говорилось, не зависит от величины самой окрестности У(х!) и потому асимптотическое разложение этого интеграла при Х-« — +со обозначают символом Е(Х, хт) и называют вкладом п>очки х! в асимптотику интеграла (1), Принцип локализации в его общей формулировке, таким образом, означает, что асимптотика интеграла (5) получается как сумма Р(Л, х>) вкладов всех критических в том или ином отношении точек подынтегральной функции.
Для интеграла (1) это точки максимума функции 5(х) и, как видно из формул (2) — (4), основной вклад вносят только те точки локального максимума, в которых достигается значение абсолютного максимума функции 5(х) на отрезке Ла, Ь). В следующих пунктах этого параграфа мы разовьем выска. ванные здесь общие соображения и затем рассмотрим некоторые полезные приложения метода Лапласа. 2. Принцип локализации для интеграла Лапласа. Лемма 1 (об экспоненциальной оценке). 11усть М = зир 5(х)(оо, и пусть при некоторомзначенииХО)Оинтеа(»(ь грал (1) сходится абсолютно. Тогда он сходится абсолютно при любом Х))>О и имеет место оценка ь Р(Х) > ~) (1(х) елз'к> ~ йх~ Ае'" (Л~Ле)„ а где А ~(к, 4 Чействительно,' при Х) ХО >ь ь 1 р (Л) ~ = ~ ! (х) елз ы> йх = ~ ! (х) е' з ">е л -' > з и> йх ( а а ь ь ~>~»*> **»а "-'и"-> " >а.> ' ~»*)~.
« Лемм а 2 (об оценке вклада точки максимума). Пусть интеграл (1) сходится абсолютно при некотором значении Х= ХО, и пусть внутри или на границе промежутка ! интегрирования нашлась такая точка хь в которой 5 (хь) = знр 5 (х) = М. аек(Ь Если функции !(х) и 5(х) непрерывны в точке хь, причем !(хь) Ф ФО, то для любого е' 0 и любой достаточно малой окрестности (I>(хь) точки хь в 1 имеет место оиенки ,с постоянной В~ О, справедливая при Л'= шах(ЛО, О).
< При фиксированном е ) 0 возьмем любую окрестность У>(хь), в пределах которой П(х)~==- ~1(хь) > и 5(х,) — е=.5(х)~5(хь) Считая ! вещественнозначной, можем заключить теперь, что в пределах (!>(х) значения функции ! одного знака. Зто позволяет 607 к ь Асимптотикк интвгРАлов гк. х(х. ксимптотичвскив гязложвния записать, что )(х)'е~з("(йх = ~ (1(х) ~ез(">йх) и, (кк) и( (кк) 1 — (/ (х ) ( ех (з ( к> — к' йх = Век гз (кк> >.
и ( ( к к ) Утверждение 1 (принцип локализации). - Пусть инте- грал (1) сходится абсолютно при некотором значении Л=Ль, и пусть внутри или на границе промежутка 1 интегрирования нашлась такая точка хь опо вне любой окрестности (1 (хь) точки х, зпр 5 (х) ( 5 (хь). (,и (кв Если при зоюм функции ) (х), 5(х) непрерывны в точке х, и 1(х,) Ф О, то Р(Л)к Еи,(„,) (Л)(1+0(Л- )) при Л +со, (8) где (1((хь) — произвольная окрестность хь в 1, Ри((:,1(Л):= ~ 1(х) екз '"'йх, и( (кк) а 0(Л ) — функция, которая есть о(Л ') при Л вЂ” к.+со и любом и я (ч. 1 Пусть (Г((хь) — такая окрестность-точки х, в 1, в пределах которой функция 1(х) всюду положительна или всюду отрица- тельна в соответствии со значением 1(хь).
Тогда, очевидно, ( ((.(~* * к -( 1 ((*(~ * к*~, '( (кк) ~ и((к,) какова бы ни была окрестность(1((хь) с: (г,(х,). Из леммы 2 теперь следует, что, каково бы ни было е)0, найдется такая постоян- ная В~О, что Г(х)ехз(«йх~=- Век(з( и " прн Л~+оо. ( ((кк) Тем самым. мы доказали, что если в пределах окрестности (1г(хь) точки хь функция 1(х) ие меняет знака, то, каково бы ни было число е) 0 при Л вЂ” «+со финально выполняется неравенство ) (Л) ~) ехсз (кв — ю (9) Вместе с тем в силу леммы 1 для любой окрестности (1(хь) точки х, справедлива оценка (1(х) (ехз го ах ~ Аехк при Л-(-+ со, (10) (,и (ки где А «О и р= зпр 5(х)(5(х). к а г кк и (кк) Сопоставляя эту оценку с неравенством (9), легко заключить, что оно фннально при Л-«+со имеет место на самом-то деле для любой окрестности (1((х,) точки х„а не только для такой, в пределах которой функция )(х) не меняет знак. Теперь остается написать, что Р(Л) =Р((Л) = Ри, (,) (Л)+Р(,и(.,)(Л) и, сославшись на оценки (9), (10), заключить о справедливости соотношения (8).
Итак, установлено, что с относительной- погрешностью порядка 0(Л вЂ” ) при Л-«+со можно, описывая асимптотику интеграла Лапласа (1), заменить его интегралом по сколь угодно малой окрестности (/((хь) точки хь абсолютного максимума функции 5(х) на промежутке интегрирования 1. 3. Канонические интегралы и ик асимптотика. Лемма 3. Если вещественнозначная функция 5(х) в окрест- ности (полуокрестности) точки хе енЯ принадлежит классу'глад- кости.С(""' причем 5 (хь) = 5(к и (хь) = 0~ 5(Ю (хр) ~ О, а я ен(((( или й=оо, то существуют такие окрестности (полу- окрестности) 1, тоиси х„1„точки 0 в 1с и такой диффеомор- физм (р енС(ь((1, 1 ), что 5((р(у)) = 5(хь)+зу", когда уев 1„и з=зяп 5("'(хь), При этом р(0)= и р'(0)=(,~,„, ) 4 Воспользовавшись формулой Тейлора ( 5(хь+Й) = 5(х )+~и 1 5("'(хе+а)(("й( 1 о и теоремой о дифференцировании интеграла г(х)= —, ~ 5("((х,+(х — х„) 1)й( ( г л! по параметру х, представим разность 5(х) — 5(х,) в виде 5 (х) — 5 (х,) = (х — х,)" г (х), где г (х) — функция класса гладкости С("', причем -г (хь) = = — 5(к>(хь) чьО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
