В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 128
Текст из файла (страница 128)
! Тсй 6 1 )'2 3 36)с2 620 Гл. х1х, Асимптотические РАзложения 62! О Е АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ Таким образом, Ь(0) = — —.. й'(0) = — —, Й" (О) =— у~', 3 18~ 2 (й (х) А)'(й (х))! ( ()-„) ( ())! =-3-, Ф (й(х) — „) (й(х)) $ ео — — — 2Г ( -) ( — =1= ) 2п, Значит, при Л-« ОО Г (Л) =)' 2п Л-и'(1+12 Л- +0(Л-')), т. е. при Л вЂ” «+Ос Г(1+1) )~ 2 Л(~)~(1 ! ! Л-е ! 0(Л-2)). (26) Полезно иметь в виду, что асимптотические разложения (16), (!7) 'можно находить также, следуя доказательству теоремы 2, без привлечения указанных в формулировке теорем 2 выражений для коэффициентов. В качестве примера получим вновь, но несколько иначе, асимп- тотику интеграла (25). Используя принцип локализации и делая в окрестности нуля замену ' х=ер(у) такую, что О=ер(0), 5(ер(у)) =!п(1+ее(у))— — 1р(у)= — у', сводим вопрос к исследованию асимптотики инте- грала ~ ер' (у) е — АР* е(у =) ф(д) е — Ам г(у, -е е Где ф(д) = Гг' (у)+ее' ( — у).
Асимптотическое разложение послед- него интеграла получается на основании леммы Ватсона е ее ф(у)е ~~ е(у — ~ — Г( — ) Л !ем!1' при Л +со, А=.О что с учетом соотношений ф1'""'1(0)=0, ф1221(0) =2191"м1(0) дает асимптотический ряд л-о Итак, для интеграла (25) получаем асимптотическое разложение У (Л) = Л-112 )Гп ~~ '~ ! ) Л-', М 222 (27) А=О где х=ер(у) такая гладкая функция, что х — 1и (1+х)=уо в окрестности нуля (по х и по у). Если мы хотим найти первые два члена асимптотики, то в общую формулу (27) надо подставить конкретные значения ер'(0) и «213) (О). Быть может, не бесполезно продемонстрировать следующий прием для вычисления этих значений, который вообще можно использовать для получения тейлоровского разложения обратной функции по разложению прямой функции.
Считая, что х)0 при у>0 из соотношения х — !п(1+х) =у', последовательно получаем — хе (! — — х + — х + 0 (х )) = д', 1 1 2 1 х =)/2 у (1 — 3 х+ 2 х'+0(хо)) =$ 2У(1+эх 12х+О(х))= =) 2 у+ 3 ух — 12 ухо+0(ухе). Но х- )'2У при у-«О- (х-«0), поэтому, используя уже пол)Р ченное представление х, можно продолжить эту выкладку и полу- чить, что при у — «О х = )/2 у + 3 у (Р' 2У + 3 ух+ 0 (у')) — — у ()/2 у)2+ 0 (у') = 3 9 .
6 =)Г2У+ — уо+ — у х — — д'+0(у )— — 2 2 )е2 =ф 2У+-зд+9у(ф 2У) 6 д+0(у)= — 2 2 — 1 2 =)'2У+ 3 у + рз до+0(ул). Таким образом, для интересующих нас величин ер'(0), 1рии(0) у'6 ПОЛуЧаЕМ СЛЕдуЮщИЕ ЗНаЧЕНИя: р' (0) = ): 2, гр12! (0) = — ". Подставляя их в формулу (27), находим, что г (Л)= Л-1124~ 2п(1+ — Л-'+0(Л-2)) при Л-«+со, откуда вновь можно получить формулу (26). б23 622 Гл Х!Х ЛСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ $2. ЛСИМПТОТИКЛ ИНТЕГРЛЛОВ В заключение сделаем еще два замечания, относящиеся к об- суждаемым в этом параграфе вопросам.
Замечание 6 (о методе Лапласа в многомерном случае). Отметим, что метод Лапласа с успехом применяется и при исследовании асимптотики кратных интегралов Лапласа Р (Х) = ) 1 (х) ела !л! йх, х в которых х~(к", Х вЂ” область в Р", г, Я вЂ” вещественнозначные функции в Х.. Для таких интегралов справедлива лемма ! об экспоненци- альной оценке, в силу которой исследование асимптотики такого интеграла сводится к исследованию асимптотики его порции ) (Х) Ела<а! йХ, и <л,! взятой по окрестности точки х„максимума функции Я(х). Если это невь!рожденный максимум, т. е.
Я" (л,) чь0, то по лемме Морса (см. ч. 1, гл. Ч1П, 2 б) существует замена пере. менной х= ф (у) такая, что З(х,) — Я Ьр (у)) = ! у )е, где )у)е = =(у')'+ ... +(у")'. Тем самым дело сводится к каноническому интегралу ~ (7 ~р) (у) йе1 ер' (у) е — л ! а '* йу, который в случае гладких функций 1, Я, применяя теорему Фубини, можно исследовать, опираясь на доказанную выше лемму Ватсона (см. в этой связи задачи 8 — И).
Замечание 7 (о методе стационарной фазы). Метод Лапласа в его расширенной трактовке, как мы уже отмечали, это: 1' определенный принцип локализации (лемма ! об экспоненциальной оценке), а 2 способ локального приведения интеграла к каноническому виду (лемма Морса) и 3' описание асимптотики канонических интегралов (лемма Ватсона). Идея локализации нам уже ранее встречалась при изучении б-образных семейств функций, а также при исследовании ряда и преобразования Фурье (лемма Римана, гладкость функции и скорость убывания ее преобразования Фурье, сходимость ряда и интеграла Фурье), Важное место в математике и ее приложениях занимают интегралы вида г ()) = ~1(х) еелз!" йх, х где Х с: (ка, называемые итпегроеоми Фурье. Интеграл.
Фурье отличается от интеграла Лапласа лишь скромным множителем 1 в показателе. Зто приводит, однако, к тому, что прн вещественных )е н я(х) получается (е"-э<л>(= ! и, значит, идея доминантного максимума при исследовании аснмптотики интеграла Фурье непригодна. Пусть Х =[а, Ь1с:(кл, [ ~ С', '([о, Ь[, Р) (т. е.
1 — финитна на' [а, Ь[, 5 е= С!"'([и, Ь[, Р) и Я'(х) чь 0 иа [о, Ь[. Интегрируя по частям и используя лемму Римана (см. задачу 12), получаем, что ь ь =' 1,,() ) (х) е'лэ!"! йх = —,. [ —,") йеелэ!"! = !х,) 5' (х) а а ь = — — ~ — [ —,)(х) е'лз! 'йх — — Глад [в) ь ! г 1 = — ~ ) (х) е"з!"' йх = ... =- ~ ) (х) е'"'! ! йх= ела л а а =О(л. "). ПРН ).-е-ОО. Таким образом, если Я'(0)ФО на отрезке [и, Ь), то за счет все увеличивающейся при ) - Оэ частоты осцилляцин .функции е'лэ!л! интеграл Фурье по отрезку [а, Ь1 оказывается величиной типа О(),- ). Функция 5(х) в интеграле Фурье называется фазоеой функцией. Таким образом, для интеграла Фурье имеет место свой принцип локализации, называемый принципом стационарной фазы.
Согласно этому принципу асимптотика интеграла Фурье (в случае ) енС,' ') с точностью до величины О().--) при )е — е ОО совпадает с асимптотикой порции интеграла Фурье, взятой по окрестности (7 (ха) стационарной точки х, фазовоег функции (т. е. точки х„в которой 5'(ха) =О). После этого заменой переменной дело приводится к каноническому интегралу е Е (7.) = ') 1 (х) е'лл йх, е асимптотика которого описывается специальной леммой (Эрдейи), имеющей для интеграла Фурье ту же роль, что и лемма Ватсона для интеграла Лапласа.
Указанная схема исследования асимптотики интеграла Фурье называется 'методом стационарной фаза. Природа принципа локализации в методе стационарной фазы совсем иная, чем в случае интеграла Лапласа, но общая схема метода Лапласа, как видно, оказывается т!ригодной и здесь. Некоторые. подробности, относящиеся к методу стацнонарнон фазы, читатель найдет в задачах 12 — 17.
626 4 2 Асимптотикл иитегрллое Га Х!Х АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ Задачи и упражнения Метод Лапласа е одномерном случае. 1. а. Функция А(х)=е !"' при и) О достагает максимума, когда х=О, При этом А(х) есть величина порядка ! в 6-окрестности точки х=О размера 6-0 (Л-тги]. Используя лемму 1, покажите, что если 0(6 ( 1, ти„интеграл е йг (Л)= ) хр-г](х)е х» дх, »!х, 6! 6 — ! — лх' где с(Л, 6)=Л и имеет порядок 0(е 'чх ) прн Л-ь+со; А — положительная постоянная Ь. ](окажите, что если функция ] непрерывна при Х=О, то ]г" (Л)=а 'Г( — ) [](О)+о(1)]Л 6]~ при Л-ь+со.
с. В теореме 1, а), условие ](х)=](хе)+0(х-хе) можно ослабить, заменив его условием непрерывности ] в точке х,. Покажите, что при этом сохраняется тот же главный член асимптотнки, но, вообще говоря, не само равенство (2'), в котором теперь 0(х — х,) заменяется на о(!). 2. а. Числа Бернулли Зза определяются из соотношения — — — — — — '~ — Гга т, ! (] (2п. 1 ! ! Взй ! ! е-! 2 Ам (2й)! е=! Известно, что ( — ) (х)=1п х+ ~ ( — „— — ) е-!»дй о Покзжите, что (')— Г ! 1 'йтВ»з — ) (х) — !п х — — — г — х-'а прн х-ь+со.
Г] 2х л~е 2й А-О Ь. ](окажите, что при х-ь+оо 1ПГ(х) (х — ]!пх — х+ 1 2 + 1! Взэ 2 л'е 22А А(2у — 1) Это асимптотическое разложение называется рядом Стирлинга. с. Используи ряд Стирлинга, получите первые два члена асимптотики функции Г(х+1) прн х-ь+со и сравните ваш результат с полученным в примере 13. д. Следуя методу прнмера 13 н независимо от этого пользуясь рядом Стирлянга, покажите, что Г(х+Ц р 2пх ( — ), (!+12 + — з+ О( з)) при х-!-+со.
3. а, Пусть ] ыС(]0, а], (ч), 5 !м СпА (]О, а], )»), 5(х) ) 0 на ]О, а] и 5 (х) достигает максимума при »= О, пр!шем 5' (О) ~ О Покажете, что если ](0) чьО, то ((ц. Г ](х) Зх(х] дх — ](~) Зх»г(0) при Л- +со Л5' (0) Ь. Получите асимптотическое разложение ](Л) = ЗА»!(0] ~1Р ~азЛ-'ьэ!' при Л-ь+со, А=О если дополнительно известно, что ], 5 ем С(~'! иО, ао (]). 4.
а, Покажите, что я!2 з!п»(д]= )/ — (1+0(л )) прн а-ч.+оо. Используя полученный Результат и тожд т ество М и " е нг(ьд(, н Х - =1/ — "а езй]„-а 1Г""(1-~-0(п-!)) при а- +со 2 поквките, что Метод Лапласа е мнгмомеуно» слрч ь М = зи 5(х), н пУсть вРи й. Л м об экепоненциальной оценке, Пусть = з"Р некотором значении Л=Л» интегРал Р (Л] = ] . ](х] Х~! (ч) Оти» Ь, Выразите этот интегр ал через эйлеровы интегралы и покажите, что при (2л — 1) И л ы р] он разек ! (2а)!! с Получите формулу Валлисе "= !'ш „'(р~ — !)]]] ' д Найдите второ ч н й ле зснмптотнческого разложения исходного инте.
грела, при а-ь +со. ! б. а. Покажите, что ~ (! — х')" дх ~/ — при а-ь+со. — ! Ь. Найдите следующий член асимптотнки этого интеграла б. Покажите, что если а) О, то при х — ° -+со -]- о ! -1~ — ' г ]. а ]-а2!»д]- 1/ — хяи ехр ~ — х ех е о 7. а. Найдите главный член асимптотикн интеграла +оэ (1+]]»е а!д( при л-ч-+со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
