В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 39
Текст из файла (страница 39)
е. хотим объяснить закон движения одного небесного тела т (планета) относительно другого тела М (звезда). Выберем в плоскости движения декартову систему координат с началом в М (рис. 13). Тогда положение т в момент времени 1 можно охарактеризовать численно координатами (х(Ф),р(1)) точки т в зтой системе координат.
Мы хотим найти функции х(1), р(1). Движением т относительно М управляют два знаменитых закона Ньютона: общий закон движения Рнс. 13 та=У, связывающий вектор силы с вектором вызванного ею ускорения через коэффициент пропорциональности т — инертную массу тела~), и закон всемирного тяготения, позволяющий найти гравитационное воздей- '>И.
Ньютон (1642 †17) — английский физик, механик, астроном и математик, крупнейший ученый, сформулировавший основные законы классической механики, открывший закон всемирного тяготения, разработавший (наряду с Лейбницем) основы дифференциального и интегрального исчисления. Оценен был уже современниками, которые на его могиле начертали: «Здесь покоится то, что было смертного у Ньютона». з> И. Кеплер (1571 — 1630) — знаменитый немецкий астроном, открывший законы движения планет (законы Кеплера).
з> Мы обозначили массу символом самого тела, но это не приведет к недоразумениям. Заметим также, что если «и «М, то выбранную систему координат можно считать инерциальной. $1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ ствие тел п1 и М друг на друга по формуле шМ У=С вЂ” г, ~ .~з где г — вектор с началом в теле приложения силы и концом в другом теле, ~г! — длина вектора г, или расстояние между т и М. Знал массы т, М, по формуле (2) без труда выражаем правую часть уравнения (1) через координаты х(й), у(й) тела т в момент й, чем исчерпываем всю специфику данного движения.
Чтобы получить теперь соотношения на я($), у(Ф), заключенные в уравнении (1), необходимо научиться выражать левую часть уравнения (1) через функции ю(Ф), р(Ф). Ускорение есть характеристика изменения скорости ч(~), точнее, просто скорость изменения скорости; поэтому для решения задачи прежде всего необходимо научиться вычислять скорость У(Ф), которую имеет в момент й тело, движение которого задается радиус-вектором г(й) = (х(Ф), р(й)).
Итак, мы хотим определить и научиться вычислять ту мгновенную скорость тела, которую подразумевает закон движения (1). Измерить — значит сравнить с эталоном. Что же в нашем случае может служить эталоном для определения мгновенной скорости движения'? Наиболее простым видом движения является такое, которое совершает по инерции свободное тело. Это движение, при котором за равные промежутки времени происходят равные (как векторы) перемещения тела в пространстве. Это так называемое равномерное (прямолинейное) движение. Если точка движется равномерно, г(0) и г(1) — ее радиус-векторы относительно инерциальной системы координат в моменты Ф = 0 и Ф = 1 соответственно, то в любой момент времени будем иметь г(й) — г(0) = м.й, (3) где м = г(1) — г(0). Таким образом, перемещение г(Ф) — г(0) оказывается в простейшем случае линейкой функцией времени, причем роль множителя пропорциональности между перемещением г(8)-г(0) и временем 1 играет в данном случае вектор м перемещения за единицу времени.
Этот вектор и называется скоростью равномерного движения. То, что движение прямолинейно, видно из параметрического уравнения его траектории: г(Ф) = г(0) + м й, являющегося (см. курс аналитической геометрии) уравнением прямой. Мы знаем, таким образом, скорость У равномерного прямолинейного движения, задаваемого формулой (3). По закону инерции, если на тело не действуют внешние силы, оно движется равномерно и прямолинейно. Значит, если в момент Ф экранировать действие тела М на тело т, то последнее продолжит свое движение уже равномерно с некоторой определенной скоростью. Таким образом, естественно считать, что именно она является (мгновенной) скоростью нашего тела в момент Ф.
172 ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Однако такое определение мгновенной скорости оставалось бы чистой абстракцией, не дающей никаких рекомендаций для конкретного вычисления этой величины, если бы не следующее обстоятельство первостепенной важности, которое мы сейчас обсудим, Оставаясь в рамках того (как сказали бы логики, «порочного») круга, в который мы вошли, написав уравнение движения (1), а затем принявшись выяснять, что такое мгновенная скорость и ускорение, мы все же заметим, что при самом общем представлении об этих понятиях из уравнения (1) можно сделать следующие эвристические выводы.
Если силы отсутствуют, т. е, Р = О, то ускорение тоже равно нулю. Но если скорость а(~) изменения скорости ~(Ф) равна нулю, то, по-видимому, сама скорость ~(Ф) вообще не меняется со временем. И мы приходим к закону инерции„по которому свободное тело действительно движется в пространстве с постоянной во времени скоростью. Из того же уравнения (1) видно, что ограниченные по величине силы способны создать только ограниченные по величине ускорения. Но если на отрезке времени (О, $1 абсолютная величина скорости изменения некоторой величины Р(Ф) не превьппала некоторой постоянной с, то, по нашим представлениям, изменение ~Р($) — Р(0) ~ величины Р за время 8 не превышает с ~, т.
е. в этой ситуации за малый промежуток времени величина мало меняется (во всяком случае, функция Р(Ф) оказывается непрерывной). Значит, реальная механическая система за малый промежуток времени мало меняет свои параметры. В частности, скорость ~(8) тела т во все моменты времени ~, близкие к некоторому моменту 1в, должна быть близка к значению ч(~о), которое мы желаем определить. Но в таком случае само движение в малой окрестности момента 1о должно мало отличаться от равномерного движения со скоростью ч(1о), причем тем меньше отличаться, чем меньше мы уходим от 1в. Если бы мы сфотографировали траекторию тела т через телескоп, то в зависимости от его силы мы получили бы примерно следующее: Рис. 14 Представленный на фотографии с участок траектории соответствует столь малому интервалу времени, что на нем уже трудно отличить истинную 173 5 1.
диФФВРенциРуемдя Функция траекторию от прямолинейной, так как она и в самом деле на этом участке похожа на прямолинейную, а движение — на равномерное прямолинейное. Из этого наблюдения, кстати, можно заключить, что, решив задачу об определенки мгновенной скорости (а скорость — векторная величина), мы одновременно решим и чисто геометрический вопрос об определении и нахождении касательной к кривой (кривой в данном случае служит траектория движения), Итак, мы заметили, что в нашей задаче должно быть У(Ф) м ч(Фо) при Ф, близких к Фо, т. е. ч(Ф) + ч(Фе) при Ф -+ Фо или, что то же самое, ъ(1) = = ч(Фе) + о(1) при $ -+ Фо.
Тогда должно быть также г(г) — г(го) - ч(йо) (г — ~о) г(8) — г(Йе) = ч(Йе)(~ — ~е) + о(ч(Фо)(à — ~о)), (4) где о(ч(йо) (й — йе)) есть поправочный вектор, величина которого при й -+ йо стремится к нулю быстрее, чем величина вектора ч(Фе)(Ф вЂ” 1е). Тут следует, естественно, оговорить тот случай, когда ч(Фо) = О. Чтобы не исключать этот случай из общего рассмотрения, полезно заметить, что Ц ~ч(Фо) (Ф вЂ” Фо) ~ = = ~м(йо)~(й — йе~.
Таким образом, если ]ч(йо)~ ф. О, то величина ~м(Фо)(Ф вЂ” Фо)~ того же порядка, что и $й — йо~, и поэтому о(ч(йе) (й — йо)) = о(Ф вЂ” Фо). Значит, вместо (4) можно записать соотношение г(г) — г(го) = ч(Йо) (г — ~о) + о(г — го) (5) которое не исключает также случая ч(Фо) = О. Таким образом, от самых общих и, быть может, расплывчатых представлений о скорости мы пришли к соотношению (5), которому скорость должна удовлетворять. Но из (5) величина ~(Фе) находится однозначно: г(Ф) — г(ФО) ч(Фе) — 1пп (6) поэтому как само фундаментальное соотношение (5), так и равносильное ему соотношение (6) можно теперь принять за определения величины ч(~е) — мгновенной скорости тела в момент Фе.
Мы не станем сейчас отвлекаться на подробное обсуждение вопроса о пределе векторнозначной функции и ограничимся сведением его к уже рассмотренному во всех подробностях случаю предела вещественнозначной функции, Поскольку вектор г(й) — г(йе) имеет координаты (х(Ф) — х(йо), у(й) — у(йо)), то г(1) — г(1е) /х($) — х($о) р($) — у($е) ~ ) и, значит, если считать, что векторы '1 Здесь ~Ф вЂ” 1е~ — модуль числа Ф вЂ” 1е, а ~ч~ — модуль, или длина вектора ч. при Ф, близких к йо, точнее, величина смещения г(й) — г(йе) эквивалентна ~(~о)(г — йо) при ~ -+ ~о, или 174 ГЛ. ~.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ близки, если их координаты близки, то предел в (6) следует понимать так: ч(~о) = 11ш г(~) — г(~о) / . х® — х(~о) . у(~) — уело) ~ = ~ 1пп, 1пп — ~~ м а о(1 — 1о) в (5) надо понимать как вектор, зависящий от Ф и такой, что вектор о(Ф вЂ” Фо) стремится (покоординатно) к нулю при 1 -+ 1о. $ — Фо Наконец, заметим, что если ч(1о) ф О, то уравнение г — гав) = ч(1о) . (8 — $о) (7) т г(1) = У(1), откуда для нашего движения в поле тяжести получаем в координатном виде х(1) ~ г(р) + г(р)1з~г ' = — ам () [ г(~) + уг(~)1зуг ' (8) Это точная математическая запись нашей исходной задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
