В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Ж. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ определенную на всей числовой прямой у Е К и возрастающую на ней в пределах интервала — ~ ~) своих значений. Чтобы доказать непрерывность 2'2~ функции х = агс~~ р в любой точке у() ее области определения, возьмем точку ха —— агс$д ре и отрезок [хр — е, х() + к), содержащий х() внутри и содержащийся е иитериеле| — е, е[. Если хе — и = ессср(ро — бс) и хо ее = ессср(ро 4.
бо), то ввиду возрастания функции х = агой р можно утверждать, что при любом р Е К таком, что р() — о1 < р < р() + В~о будем иметь х() — ~ < агсф~у < х() + к. Итак, ~агой у — агсЫ ре~ < а при — б1 < р — и() < дг и тем более при ~у — уе~ < < о = ш1п(д1, о2), что и проверяет непрерывность функции х = агля р в точке Ро Е К. П р и м е р 11. Рассуждениями, аналогичными проведенным в предыдущем примере, устанавливаем, что поскольку ограничение функции р = с~~х на интервале ~ О, я [ есть убывающая от +оо до — оо непрерывная функция, то она имеет обратную функцию, обозначаемую х = агссФд у, определенную на всей числовой оси К, убывающую на ней в пределах интервала своих значений ~1О, я [ от к до О и непрерывную на К. Задачи и упражнения 1.
Покажите, что: а) Если ~ Е С(А) и В С А, то Яв Е С(В). Ь) Если функция Г: Е1 0 Ее -+ Й такова, что Дяб Е С(Е;), р = 1, 2, то не всегда У Е С(Е1 (.) Ее). с) Функция Римана К, как и ее ограничение %~о на множество рациональных чисел, разрывна в каждой точке множества ф кроме нуля, и все точки разрыва при этом устранимые (см. ~ 1, пример 12). 2. Покажите, что если функцик ~ Е С[а, Ь1, то функции т(х) = шш У(Ф), М(х) = шах ДФ) ое(р~х также непрерывны на отрезке [а, Ь].
3. а) Докажите, что функция, обратцак функции, монотонной на интервале, непрерывна на области своего определения. Ь) Постройте монотонную функцию со счетным множеством точек разрыва. 3 а меч ание. При построении графиков взаимно обратных функций у = = Дх) и х = ~ 1(р) полезно иметь в виду, что точки плоскости с координатами (х,~(х)) = (х, р) н (у, ~ ~(р)) = (р,х) в одной и той же координатной системе (в которой лишь указана первая и вторая оси координат, а не ось х или ось р) симметричны относительно биссектрисы первого координатного угла. Таким образом, графики взаимно обратных функций, изображенные в одной системе координат, оказываются симметричными относительно этой биссектрисы. $2.
СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 167 с) Покажите, что если функции ~: Х -+ У и у ': У -+ Х взаимно обратны (здесь Х, У вЂ” подмножества Ж) и у непрерывна в точке хо Е Х, то из этого еще не следует непрерывность функции у ~ в точке уо = Дхо) Е У. 4. Покажите, что: а) Если У Е С[а, Ь] и у Е С~а, Ь], причем Яа) < у(а) и у(6) > у(6), то существует точка с Е [а, Ь], в которой у(с) = у(с). Ь) Любое непрерывное отображение у: [О, Ц -+ [О, Ц отрезка в себя имеет неподвижную точку, т. е. точку х Е [О, Ц такую, что у(х) = х. с) Если два непрерывных отображения 1' и у отрезка в себя коммутируют, т. е.
У о у = у о У, то они имеют общую неподвижную точку. с1) Непрерывное отображение у: Ж -+ й может не иметь неподвижной точки. е) Непрерывное отображение у: ]О, 1[-+ ]О, Ц может не иметь неподвижной точки. Е) Если отображение у: [О, Ц -+ [О, Ц непрерывно, у(0) = О, Д1) = 1 и (у оу)(х) я = х на [О, Ц, то Дх) ь х. 5. Покажите, что множеством значений любой непрерывной на отрезке функции является отрезок. б. Покажите, что: а) Если отображение у: [О, Ц -+ [0,1] непрерывно, ДО) = О, ~(1) = 1 и при некотором и Е 1ч ~" (х):= ( уо... оу )(х) = х на [О, Ц, то Дх) я х.
в раз Ь) Если функция 1": [О, Ц -+ [О, Ц непрерывна и не убывает, то для любой точки х Е [О, Ц реализуется по крайней мере одна из двух возможностей: либо х — неподвижная точка, либо у" (х) стремится к неподвижной точке (здесь у" (х) = 1'о...о1'— тв-я итерация 1). 7. Пусть |: [О, Ц -+ й — непрерывная функция такая, что у(0) = у(1). Покажите, что а) при любом ть Е 1Ч существует горизонтальный отрезок с концами на графике о 1 этои функции, длина которого равна —; 1 Ь) если число 1 не имеет вида —, то наидется функция указанного вида, в график которой уже нельзя вписать горизонтальный отрезок длины 1. 8.
Модулем непрерывности функции у: Е -~ Ж называется функция ш(о), определяемая при Ю > 0 следующим образом: шИ) = зпр 1У(х~) — У(хх)!. 1*1-хэ1(б аьаэее Таким образом, верхняя грань берется по всевозможным парам точек х~, хэ множества Е, удаленным друг от друга меньше чем на о. Покажите, что: а) Модуль непрерывности — неубывающая неотрицательная функция, имеющая пределц и(+0) = 1пп ш(о).
6-++О Ь) Для любого е > 0 найдется о > 0 такое, что для любых точек х~,ха Е Е соотношение ]хь — хэ] с о влечет ]у(х~) — у(хэ)] < ш(+0) + е. Ц Поэтому модуль непрерывности обычно рассматривают при Ю > О, полагал м(0) = = ш(+О). 1бв ГЛ. 1У. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ с) Если Š— отрезок, интервал или полуинтервал, то для модуля непрерывности функции 1: Е -+ й имеет место соотношеняе ы(Ю~ + 62) < ы(А) + ы(дг). й) Модулем непрерывности функций х и вшх~, рассматриваемых на всей числовой прямой, являются соответственко функция ы(б) = б и постоянная ы(б) = 2 в областя б > О, е) Функция у равномерно непрерывна на множестве Е тогда я только тогда, когда со(+0) = О.
9. Пусть у и д — ограниченные функции, определенные на одном и том же множестве Х. Величина 1л = впр Щх) — д(х)] называется расстоянием между Функциями хЕХ у я д. Она показывает, насколько хорошо одна функция аппроксимнрует другую на данном множестве Х. Пусть Х вЂ” отрезок [а, Ь). Покажите, что если у, д Е С[а, Ь), то Эхо Е [а, Ь), где 1л = )У(хо) — д(хо) [, и что для произвольных ограниченных функций это, вообще говоря, не так.
10. Пусть Р (х) — многочлен (полипом) степени п. Будем приближать ограш~- ченную функцию у: [а, Ь] -+ й многочленвми. Пусть МР ) = впр Щх) — Р„(х)) и Е„(у) =ш1'1!1(Р ), хе~а,Ь1 Р» где нижняя грань берется по всевозможным многочленам степени и. Многочлен Р„ называется многочленом (полиномом) наилдчтаего приближения функции у, если для него Ь(Р„) = Е„(у). Покажите, что: а) Существует мкогочлен Ро(х) = ао наилучшего приближения степени нуль. Ь) Средя многочленов Ял(х) вяда Л Р„(х), где Є— фиксированный многочлен, найдется такой многочлек Я~ц„что Ь(4Ь,) пЬ(Ял) с) Если существует мкогочлен наилучшего приближения степени и, то существует также мкогочлек наилучшего приближения степени п + 1, 6) Для любой ограниченной на отрезке Функции и любого и = О, 1, 2, ... найдется многочлек наилучшего приближения степени и.
11. Покажите, что: а) Многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один вещественный корень. Ь) Если Є— многочлен степени и, то функция вв,п Р„(х) имеет ке более п точек разрыва. с) Если на отрезке [а,Ь] имеется и+ 2 точки хо < х~ < ... < х»+~ такие, что величина вяп [Щх;) — Р„(х;)) (-1)'] постоянна при а = О, ..., н+ 1, то Е„Ц) > пив [Дхс) — Р (х1)[ (тпеоремо Воллг- о««.+~ ПрссенаЦ). (Определение Е„Ц) см. в задаче 9.) '> Ш. Ж, ла Валле-Пуссен (1866 — 1962) — бельгийский математик и механик.
$2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ сРУНКЦИЙ 1б9 12. а) Покажите, что при любом и Е 1Ч функция Т„(х) = сов(иагссовх), определенная на отрезке ( — 1, 1], является алгебраическим многочленом степени и (иолиномы Чебышева). Ь) Найдите явное алгебраическое выражение полиномов Т1, Т2, Тз, Тл и нарисуйте их графики. с) Найдите корни многочлена Т„(х) на отрезке ~ — 1, 1] и те точки отрезка, где величина ]Т (х) ) достигает максимума. с1) Покажите, что среди многочленов Р„(х) степени и с коэффициентом 1 при х" многочлен Т„(х) является единственным многочленом, наименее уклоняющимся от нуля, т.
е. Е„(0) = шах ~Т (х)~ (определение Е„(1) см. в задаче 9). ~ж~(1 13. Пусть 1 Е С(а, Ь]. а) Покажите, что если для полинома Р„(х) степени и найдутся и + 2 точки хо ( .. ( х„+1 (называемые тпочками чебышевского альтпернанса) такие, что 1(х;) — Р„(х;) = ( — 1)'Ь(Р„) - о, где 1л(Р ) = п1ах ]1(х) — Р„(х)~, а а — постоянная, ле~ь,ь] равная 1 или — 1, то Р„(х) является и притом единственным полиномом наилучшего приближения функции 1 степени и (см. задачу 9). Ъ) Докажите теорему Чебышева: многочлен Р„(х) степени и тогда и только тогда является многочленом наилучшего приближения функции 1 Е С(а, Ь], когда на отрезке [а, Ь] найдется по крайней мере и+ 2 точки чебышевского альтернанса.
с) Покажите, что для разрывных функций предыдущее утверждение, вообще говоря, не верно. Й) Найдите многочлены наилучшего приближения нулевой н первой степени для функции ~х~ на отрезке ( — 1,2]. 14. В 2 2 мы обсуждали локальные свойства непрерывных функций. Настоящая задача уточняет понятие локального свойства. Две функции 1 и д будем считать эквивалентными, если найдется такая окрестность У(а) фиксированной точки а Е й, что Ух Е 11(а) имеем 1(х) = д(х).
Это отношение между функциями, очевидно, рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е. действительно является отношением эквивалентности. Класс эквивалентных между собой в точке а функций называется ростком функций в данной точке а. Если рассматривают только непрерывные функции, то говорят о ростке непрерывных функций в точке а. Локальные свойства функций — это свойства ростков функций. а) Определите арифметические операции над ростками числовых функций, заданными в одной и той же точке.
Ь) Покажите, что арифметические операции над ростками непрерывных функций не выводят из этого класса ростков. с) Покажите, учитывая а) и Ь), что ростки непрерывных функций образуют кольцо — кольцо ростков непрерывных функций. й) Подкольцо 1 некоторого кольца К называется идеалом кольца К, если произведение любого элемента кольца К и элемента подкольца 1 лежит в 1. Найдите идеал кольца ростков функций, непрерывных в точке а.
15. Идеал кольца называется максимальным, если он не содержится ни в каком большем идеале, кроме самого кольца. Множество С~а, Ь] функций, непрерывных на отрезке, образует кольцо относительно обычных операций сложения и умножения числовых функций. Найдите. максимальные идеалы этого кольца. ГЛАВА 'Ч ДИсФсйуЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ З 1. Дифференцируемая функция 1. Задача и наводящие соображения. Предположим, что, следуя Ньютону' ), мы хотим решить кеплерову2) задачу двух тел, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
